이론물리학과 표현론에서 마요라나 스피너(영어: Majorana spinor)는 특정 차원과 부호수에서 존재하는, 스핀 군의 실수 표현이다.[1]:Chapter 3[2] 마요라나 페르미온의 가능성을 제시하는 물리학적 모형이다.
차원의 부호수의 내적을 갖는 실수 벡터 공간
위의 클리퍼드 대수
를 생각하자. 즉,
![{\displaystyle \{\gamma ^{i},\gamma ^{j}\}=2\eta ^{ij}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AaDrDaNlEoDi1oqnFyje2otvCnArFzjnFaNaQate3atlCzNvFaNe1)
에서,
는
개의 +부호와
개의 −부호를 갖는다. 또한, 그 속에서 짝수 개의
만을 포함하는 항들로 구성된 부분 대수
가 존재한다.
그렇다면, 실수 클리퍼드 대수
는 다음과 같이 분류되며, 이는 스피너와 감마 행렬의 성질을 결정한다.
![{\displaystyle (s-t){\bmod {8}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9BzjoNyqo4nDzDoqo1o2o4yjdEnqi3ygrFytG0yjzFajoPz2sNztlC) |
![{\displaystyle \operatorname {Cl} (s,t)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80njhFntG4oAw1aNlCyqi4nto0aqwOatm2zNG1aqaNaDoOnjs4zDs3) |
![{\displaystyle \operatorname {Cl} ^{+}(s;t)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CygzDotJAaNmQaAhFoDhCzNiOatvEnAaQngw5ytzFzDm0ngw5oqeP) |
스피너의 성질 |
감마 행렬의 성질
|
±4 |
![{\displaystyle \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {H} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Pa2aQaAwQytlCnDJDotoOnDFAyteOaqs5a2vAyqzFajw4oNCPyjoP) |
![{\displaystyle \operatorname {Mat} (N/4;\mathbb {H} )\oplus \operatorname {Mat} (N/4;\mathbb {H} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81aAoOoti0oNvFyti2aNlCzta1aDi3oDvFzDiPnqo2nja0ots4oNC5) |
바일 스피너 (심플렉틱-마요라나-바일 스피너) |
복소수
|
+3 |
![{\displaystyle \operatorname {Mat} (N;\mathbb {C} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85ntFCoDiQnAzEaNrCnqa0z2i0yts0otoQagvEoAwOajdFoAdFotsQ) |
![{\displaystyle \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {H} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Pa2aQaAwQytlCnDJDotoOnDFAyteOaqs5a2vAyqzFajw4oNCPyjoP) |
디랙 스피너 (심플렉틱-마요라나 스피너) |
복소수
|
+2 |
![{\displaystyle \operatorname {Mat} (N;\mathbb {R} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DntdEaDFFaDsQyqrAoNGQytvFzDo0yqhDa2hFoNC0otaOage5zAeP) |
![{\displaystyle \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {C} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81njlAngoOaAnCags2aqe0ytm1ntFBaqhAotm0oqoNntnEnDdCaqw2) |
마요라나 스피너, 바일 스피너 |
실수
|
+1 |
![{\displaystyle \operatorname {Mat} (N;\mathbb {R} )\oplus \operatorname {Mat} (N;\mathbb {R} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80oAaPzjBBagzDaDs2aqs2njaOa2a0zDsOateOoNa0njhBo2nDzDBC) |
![{\displaystyle \operatorname {Mat} (N;\mathbb {R} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DntdEaDFFaDsQyqrAoNGQytvFzDo0yqhDa2hFoNC0otaOage5zAeP) |
마요라나 스피너 |
실수
|
±0 |
![{\displaystyle \operatorname {Mat} (N;\mathbb {R} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DntdEaDFFaDsQyqrAoNGQytvFzDo0yqhDa2hFoNC0otaOage5zAeP) |
![{\displaystyle \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {R} )\oplus \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {R} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EoNaOati5ztKPzNCNzjoNotwPaqi3nAhDotlAoDmQaAiNyqdEzNzA) |
마요라나-바일 스피너 |
실수
|
−1 |
![{\displaystyle \operatorname {Mat} (N;\mathbb {C} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85ntFCoDiQnAzEaNrCnqa0z2i0yts0otoQagvEoAwOajdFoAdFotsQ) |
![{\displaystyle \operatorname {Mat} (N;\mathbb {R} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DntdEaDFFaDsQyqrAoNGQytvFzDo0yqhDa2hFoNC0otaOage5zAeP) |
마요라나 스피너 |
허수
|
−2 |
![{\displaystyle \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {H} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Pa2aQaAwQytlCnDJDotoOnDFAyteOaqs5a2vAyqzFajw4oNCPyjoP) |
![{\displaystyle \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {C} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81njlAngoOaAnCags2aqe0ytm1ntFBaqhAotm0oqoNntnEnDdCaqw2) |
마요라나 스피너, 바일 스피너 |
허수
|
−3 |
![{\displaystyle \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {H} )\oplus \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {H} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84nDK0oAiPztK2njFFyti5nqs3zgwPaDaPaNsPoDvDytdEoqa0o2i5) |
![{\displaystyle \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {H} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Pa2aQaAwQytlCnDJDotoOnDFAyteOaqs5a2vAyqzFajw4oNCPyjoP) |
디랙 스피너 (심플렉틱-마요라나 스피너) |
복소수
|
여기서
![{\displaystyle N(s,t)=2^{\lfloor (s+t)/2\rfloor }}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82yjo1yqa4a2aNzNsOa2oQnjKPytG4ntoOnDzEoAs1nDGOzjvFagdC)
는 디랙 스피너의 복소수 차원이며,
,
,
는 각각 실수체, 복소수체, 사원수 대수를 뜻한다.
위 표에서,
의 계수
는 감마 행렬의 성질을 결정한다.
- 계수가
인 경우 (즉,
, 모든 감마 행렬이 실수 행렬이 되는, 핀 군
의 실수 표현이 존재한다. 이를 마요라나 피너(영어: Majorana pinor)라고 한다.
- 만약 계수가
가 아니지만, 부호수를 뒤집었을 때 계수가
라면 (즉,
가 마요라나 피너를 가질 경우), 모든 감마 행렬이 허수가 되는 표현이 존재한다. 이는 간혹 유사 마요라나 피너(영어: pseudo-Majorana pinor)라고 불리나, 이 용어는 일부 문헌에서 다른 뜻으로 쓰인다.
- 계수가
일 경우, 만약
개의 디랙 스피너가 존재하며, 이
차원의 공간에 심플렉틱 구조를 부여할 때, 이에 대한 실수 조건을 가할 수 있다. 이는
차원 사원수 벡터 공간 위의 표현을 이룬다. 이를 심플렉틱-마요라나 피너(영어: symplectic-Majorana pinor)라고 한다.
의 계수는 스피너의 성질을 결정한다.
차원 시공간의 디랙 피너(영어: Dirac pinor)는 복소수 클리퍼드 대수
![{\displaystyle \operatorname {Cl} (n;\mathbb {C} )={\begin{cases}\operatorname {Mat} (N;\mathbb {C} )&2\nmid n\\\operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {C} )\oplus \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {C} )&2\mid n\end{cases}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Byga0o2vCaDw2aNFDoDa5oDoOaDw1nAdDnDFFaNC4atwOagaNzgnF)
![{\displaystyle N=2^{\lfloor n/2\rfloor }}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81yqrAyghEzNwNoAnEyjvFz2e5otKNoDdEoqnDaDm1ytw5zjeQztiQ)
의
차원 정의 표현이다. 만약
이 짝수인 경우, 이는 두 개의
차원 바일 피너(영어: Weyl pinor)로 분해된다.
복소수 클리퍼드 대수
는 에르미트 형식
![{\displaystyle \langle -|-\rangle }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OoAnAatdFzAvCaDnBnAzEyji2ajrCoNJEoNm4nDGNagrFaNzFaDJE)
을 가지며, 이는
![{\displaystyle \langle \gamma ^{\mu }\psi |\chi \rangle =\pm \langle \psi |\gamma ^{\mu }\chi \rangle }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84z2e5atm3aDG3ntvFaga5atiOztvBzjw4oNK1aDJAaNBEajw4zDwN)
를 만족시킨다. (여기서
는
의 값에만 의존한다.)
이제, 어떤 부호
를 골랐을 때, 디랙 피너의 공간에 대하여, 다음과 같은 복소수 쌍선형 형식
가 존재하는지 여부를 따질 수 있다.
![{\displaystyle {\mathsf {C}}(\gamma ^{\mu }\psi ,\chi )=\pm {\mathsf {C}}(\psi ,\gamma ^{\mu }\chi )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Eo2o2zDC4aje2o2vAoDdAytBDyje0zDCOaDaOntvCoDm3zNC1oDGQ)
(복부호 동순이 아님)
이 경우, 만약
가 대칭일 경우 이는 디랙 피너 공간의 실수 구조를 정의하며, 만약
가 반대칭일 경우 이는 디랙 피너 공간의 사원수 구조를 정의한다.
만약 디랙 피너 공간
가 실수 구조를 갖는다면,
![{\displaystyle {\mathsf {C}}(\psi ,-)=\langle \psi |-\rangle \in V^{*}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80oDBDaArBzts5otlDzgaQoAs0aNJEytdCztlAajhBaDJDnqnCajGO)
를 만족시키는 디랙 피너를 마요라나 스피너라고 한다.
만약 디랙 피너 공간
가 사원수 구조를 갖는다면,
![{\displaystyle {\mathsf {C}}(\psi ,-)=\langle \psi |-\rangle \in V^{*}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80oDBDaArBzts5otlDzgaQoAs0aNJEytdCztlAajhBaDJDnqnCajGO)
를 만족시키는 디랙 피너는 0 밖에 없다. 그러나 임의의 심플렉틱 벡터 공간
에 대하여,
위에서,
![{\displaystyle {\mathsf {C}}(\psi ,-)=\langle \Omega \psi ,-\rangle }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83ztm2ntlCaNG3ntFEajGNzAs0zDsQzDGQagrFajC0aqe4oNC0zNm3)
를 만족시키는 디랙 피너를 심플렉틱-마요라나 스피너라고 한다.
마요라나 스피너장의 경우, 감마 행렬이 순수하게 실수가 되게 잡을 수 있다. 유사 마요라나 스피너장의 경우, 감마 행렬이 순수하게 허수가 되게 잡을 수 있다.
마요라나 스피너의 실수성 조건에 따라, 마요라나 스피너의 양자는 스스로의 반입자를 이룬다.
만약 질량항이 0이라면, 마요라나 스피너는 바일 스피너로 표기될 수 있다. 즉, 바일 스피너장은 질량이 0인 마요라나 스피너장으로 여겨질 수 있다.
1차원에서는
![{\displaystyle \operatorname {Cl} (1,0)=\operatorname {Mat} (1;\mathbb {C} )=\mathbb {C} }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DoqaOzgnFzqrEnDm2zjvEoqw3otBCygo1ytdEaDK4yqwOztJCyqs1)
![{\displaystyle \operatorname {Cl} (0,1)=\operatorname {Mat} (1;\mathbb {R} )\oplus \operatorname {Mat} (1;\mathbb {R} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80ajrEotK5zjnAaDG2a2hDzDaNoDdCzNvEnga0yqoNoDm3zNCPzqoN)
이다. 즉, 부호수가
일 때는 마요라나 스피너가 존재하며, 이 경우 감마 행렬은
![{\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83zNi5otmQzto4aDe2aDJEagi4ats5aqa3aNFCaqePzNo5zAvCzti2)
이다.
2차원에서는
![{\displaystyle \operatorname {SO} (2;\mathbb {R} )\cong \operatorname {U} (1)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84nqo1ntdBaqw3agaQzgzDaArEaDvDnDa3oto5aDFAztvFzNiOnDi4)
![{\displaystyle \operatorname {SO} (1,1;\mathbb {R} )\cong \operatorname {R} }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PzjJDatBFagwQoDs5zjeQytJAzgwNzjFAzDdFyqa2zjw5agaOa2a2)
이며, 이 경우 클리퍼드 대수는
![{\displaystyle \operatorname {Cl} (1,1)=\operatorname {Cl} (0,2)=\operatorname {Mat} (2;\mathbb {R} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81zjm5agzEntFDntzDotlBzDKNats3oNo3nAiQz2vFotBBnjC1ygi2)
![{\displaystyle \operatorname {Cl} (2,0)=\operatorname {Mat} (1;\mathbb {H} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NaNo1ajvCoAvEzDa3nti0oDs2aAaQajs2ngwPzDwOaDw2ntGQajsP)
이다. 즉, 부호수
일 때,
![{\displaystyle \gamma ^{0}=\mathrm {i} \sigma ^{2}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81yti5zNiNoNi1aAs1ngvFaNBBztnEoDrAnjFDoqo3yqvAo2o4aNo3)
![{\displaystyle \gamma ^{1}=\sigma ^{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83atJAajJAoNG1zNw3nqdDnDCPyjFCzteNoNo1oqo0aNhDaNwPntCP)
로 놓으면,
![{\displaystyle \{\gamma ^{0},\gamma ^{0}\}=-1}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EnjG2aDFCzNi4ajnCajo1oDi0njrCaDnEzge3ajs3nArAaDa0othB)
![{\displaystyle \{\gamma ^{1},\gamma ^{1}\}=1}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80aArDnqiOntnBzgeOztoOnAzEaqoOnDFCajhBoqi3nDJDoDzDyjG1)
![{\displaystyle \{\gamma ^{0},\gamma ^{1}\}=0}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8QaNo2ota5aNiPztwNnjCQzNiQntnEzNC0yge5a2nFaAo4zto5zgvD)
이 되어 실수 감마 행렬을 이루며, 이는 실수 2차원 마요라나 스피너 위에 작용한다.
마찬가지로, 부호수
일 때,
![{\displaystyle \gamma ^{1}=\sigma ^{1}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PnDe4otzEztG5zArAatzBaDG4zDo1aqeQnqwPz2s2nAs5yte5ztwQ)
![{\displaystyle \gamma ^{2}=\sigma ^{3}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DzjePngwOoNG1nDs5zthEaAdFzjJDzAi0zAe4ota4ztvBaDa1ntzF)
로 놓으면,
![{\displaystyle \{\gamma ^{1},\gamma ^{1}\}=\{\gamma ^{2},\gamma ^{2}\}=1}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82yqrAnDG3nDJFntvEnqePzqiOoqzByjsQytiPaga5o2s5aNmQaNvC)
![{\displaystyle \{\gamma ^{1},\gamma ^{2}\}=0}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CaAoQoqzAngs2aNmPnjFBnga4aDnDnqa4zNaOnAwQzDeOnje3zgsO)
이 되며, 이는 실수 2차원 마요라나 스피너 위에 작용한다.
3차원에서, 클리퍼드 대수는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {Cl} (0,3)=\mathbb {H} \oplus \mathbb {H} }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Anjs4zAo3ygdAoArFntvCagvAnqoQatFDyqeNajnDoDwPzjrCztG2)
![{\displaystyle \operatorname {Cl} (1,2)=\operatorname {Mat} (2;\mathbb {C} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Qyqo1zte3yjm2oNBEzgs1nAs3ngdDota2a2oQyjs4ytlAaNo4aDe1)
![{\displaystyle \operatorname {Cl} (2,1)=\operatorname {Mat} (2;\mathbb {R} )\oplus \operatorname {Mat} (2;\mathbb {R} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DaqvBytrEzNG0o2vByjo5zNFBa2rFoAhDo2wPytiPnqiOags3yjGN)
![{\displaystyle \operatorname {Cl} (3,0)=\operatorname {Mat} (2;\mathbb {C} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AotvFnqhDaNa0aNBFntaPnqsPotm2oDs2aDi5nqw0ntm1oAdCzqdB)
부호수
일 때,
![{\displaystyle \gamma ^{0}=\mathrm {i} \sigma ^{2}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81yti5zNiNoNi1aAs1ngvFaNBBztnEoDrAnjFDoqo3yqvAo2o4aNo3)
![{\displaystyle \gamma ^{1}=\sigma ^{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CaNlEo2iQnqi0ntJCajoOytmOztCOzqhEzAnAzjePnDw2nDeOzDlE)
![{\displaystyle \gamma ^{2}=\sigma ^{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PaDvFygaOo2nAnjnFotw3oAeOoNoOngiOnArDnAaNoNC5yqwPaNmQ)
는 완전히 실수인 감마 행렬을 이룬다. 이는 (2,1)차원에 존재하는 마요라나 스피너 위에 작용한다. 이 표현의 존재는 동형 사상
![{\displaystyle \operatorname {Spin} (2,1)\cong \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81oDK4zNKNzNePyjKNzghDntKOzNGOaNFEyti0nge2nji5yjvBzqvD)
에서 비롯한다.
마찬가지로,
일 때, 위 행렬들에 모두
를 곱하면, 이는 (2,1)차원의 유사 마요라나 스피너 위에 작용하는 완전 허수 감마 행렬을 이룬다.
또는
일 때는 순수 실수 감마 행렬이 존재할 수 없다. 이 경우, 파울리 행렬
![{\displaystyle \sigma ^{1},\sigma ^{2},\sigma ^{3}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84ajnAzqo0aqvEaAeNajo4ntFDagrFagoNoAoPotvAaAwQzto1yti3)
은 부호수 (0,3)의 경우의 복소수 2차원 디랙 스피너 위에 작용한다.
다만, 부호수
에서, 만약 짝수 개의 스피너가 존재할 경우, 심플렉틱-마요라나 스피너를 정의할 수 있다. 이는 리 군의 동형 사상
![{\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {USp} (1;\mathbb {R} )=\operatorname {U} (1;\mathbb {H} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83yqw1nDJCzDCNygiOzNa1ata4a2e3agiNz2dEzjoQngdBotG0yqe2)
에서 유래한다. 즉, 부호수
의 경우, 사원수 감마 행렬
![{\displaystyle \gamma ^{-2}={\begin{pmatrix}\mathrm {i} \end{pmatrix}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81nqa4oqeOygvFygeQnjdAaga0zgrDoAnCoDCNoNa0nDhBz2dAaDK2)
![{\displaystyle \gamma ^{-1}={\begin{pmatrix}\mathrm {j} \end{pmatrix}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83nDaPo2i3o2nEaNwNo2zEntdCzqrDaqs3yghDnjw1nAe3ytlEnDm5)
![{\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}\mathrm {k} \end{pmatrix}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OaDm2otG2yjo4zqs2aDs0ntvBo2e5aAe0aNlDnAi2zDs5otCPnjo2)
를 정의하면,
![{\displaystyle \{\gamma ^{-2},\gamma ^{-2}\}=\{\gamma ^{-1},\gamma ^{-1}\}=\{\gamma ^{0},\gamma ^{0}\}=-2}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82atFDnts0aNa3ajmQaja1oDw1nDJEoDi2oqeNzgvBzjiNaAdDytiQ)
![{\displaystyle \{\gamma ^{-2},\gamma ^{-1}\}=\{\gamma ^{-1},\gamma ^{0}\}=\{\gamma ^{0},\gamma ^{-2}\}=0}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Qaga5zNa0zqe3oDsOoDi0aDnEztK2oDvFnDFBz2zAoqnFoNsNzNhB)
이다.
4차원에서의 클리퍼드 대수는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {Cl} (4,0)\cong \operatorname {Cl} (0,4)\cong \operatorname {Mat} (2;\mathbb {H} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85oqaOatG5ytG1oAe1zAsNaNhDyge2zDi1zDCPaDG4zDlDoqe1zjK1)
![{\displaystyle \operatorname {Cl} (1,3)\cong \operatorname {Cl} (2,2)\cong \operatorname {Mat} (4;\mathbb {R} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CngdAzDwOzgvBoNrFnAo3zqw0zte5atlDzqw3zDdDnDw0nghBajs2)
![{\displaystyle \operatorname {Cl} (3,1)\cong \operatorname {Mat} (2;\mathbb {H} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81atlAnjsOzgdAyghEotBFoDhAzAeOaqvDo2i2oAe4ytsOztm3zNhE)
즉,
- 부호수 (0,4)일 때(유클리드 공간)는 마요라나 스피너가 존재하지 않는다.
- 부호수 (1,3)일 때(민코프스키 공간)는 마요라나 스피너가 존재한다.
- 부호수 (2,2)일 때는 마요라나-바일 스피너가 존재한다.
예를 들어,
차원일 때 (대부분 +부호 계량의 4차원 민코프스키 공간),
![{\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&1_{2\times 2}\\-1_{2\times 2}&0\end{pmatrix}}=\mathrm {i} \sigma ^{2}\otimes 1_{2\times 2}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EoDK3oNw5aja1zDeOntdFaNaPnAaOo2dBzjFFaAo1aDCOoqo2o2i3)
![{\displaystyle \gamma ^{1}={\begin{pmatrix}1_{2\times 2}&0\\0&-1_{2\times 2}\end{pmatrix}}=\sigma ^{3}\otimes 1_{2\times 2}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85yjnFzqi4aNsQaDC1yjdDaAs2aNe1yqdFaqo4zga2nji4zAdFzthA)
![{\displaystyle \gamma ^{2}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{1}\\\sigma ^{1}&0\end{pmatrix}}=\sigma ^{1}\otimes \sigma ^{1}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NatG5ajwNata0zNnBaDKQaNiNoAi0agzFoDsQztiPatG3aAzDajdC)
![{\displaystyle \gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{3}\\\sigma ^{3}&0\end{pmatrix}}=\sigma ^{1}\otimes \sigma ^{3}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PaDG0ztJCytdDaAhCaNo3oNsNagoNnqa0njK3ztCQytaNnjJBnDFE)
는 순수 실수 감마 행렬을 이룬다. 이 표현의 존재는 실수 리 대수의 동형
![{\displaystyle {\mathfrak {o}}(3,1)\cong \operatorname {sl} (2;\mathbb {C} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AaDoQnjdFoAw4oAvDoAi4atw3nAnDo2e3aDw2yts3ngdEaAhEz2vF)
에서 유래한다. 여기서
는 두 2×2 행렬의 크로네커 곱이다.
부호수가
일 때, 실수 리 대수 동형
![{\displaystyle {\mathfrak {o}}(2,2)\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83zte3nDi4yjlAotoOygnBnAsOnDe5zjhAzAnBoDhDzDm0ngwQagnD)
이 존재한다. 즉, 이 경우 실수 2차원의 왼쪽과 오른쪽 마요라나-바일 스피너가 존재한다. 이 경우,
![{\displaystyle \gamma ^{-1}=\sigma ^{1}\otimes \mathrm {i} \sigma ^{2}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83z2ePnAw1zDa1ytBDntCNyga3aqi1z2nFngvFzji3yjsQyta3nAvF)
![{\displaystyle \gamma ^{0}=\mathrm {i} \sigma ^{2}\otimes 1_{2\times 2}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85oNhEaNFEytJDntdCoqeQaNePnjGQaNlFzti3nja1ajaPntJDatJE)
![{\displaystyle \gamma ^{1}=\sigma ^{3}\otimes 1_{2\times 2}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82ztmNaghEotJEoNCOzNdAzja0zAe1nta4yjzCzjeQoDdEaqa1a2i0)
![{\displaystyle \gamma ^{2}=\sigma ^{1}\otimes \sigma ^{1}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8No2a2oDC0zjw1oNG3njeNnAo0yqoQzAi3ytnCoNJDnDeNnAe3ztsN)
를 적으면,
![{\displaystyle \{\gamma ^{-1},\gamma ^{-1}\}=\{\gamma ^{0},\gamma ^{0}\}=-2}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9FnAo4nAdByjC1zgsQoAvAztnBzNvAotK4oNBFzNlCoNvAoArDotlE)
![{\displaystyle \{\gamma ^{1},\gamma ^{1}\}=\{\gamma ^{2},\gamma ^{2}\}=2}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9BajzCztBDnge3ngdCzNe1oAeNnjKQagnAzAw5zAzCaqvCaNBCzNlB)
![{\displaystyle \{\gamma ^{i},\gamma ^{j}\}=0\qquad (i\neq j)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81aNiPztwNaqnByjK1otrBoDw1yqs2zqvAaDiPoDsNntdAzgzBzjGQ)
이다.
부호수
일 때,
![{\displaystyle \operatorname {Spin} (4)\cong \operatorname {U} (1;\mathbb {H} )\times \operatorname {U} (1;\mathbb {H} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85aDzFnAa2nqrBaNKPzDa1zNs1oDaNnqsQaNBFnjm3oNm0ztC4zDmO)
에 의하여 심플렉틱-마요라나 바일 스피너가 존재한다.
5차원에서 클리퍼드 대수는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {Cl} (3,2)\cong \operatorname {Mat} (4;\mathbb {R} )\oplus \operatorname {Mat} (4;\mathbb {R} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Cagw4zjdCytK2oqzBoNmNztnBatrEoqnCaNKQnge1o2aPathCaNJD)
![{\displaystyle \operatorname {Cl} (0,5)\cong \operatorname {Cl} (2,3)\cong \operatorname {Cl} (1,4)\cong \operatorname {Mat} (4;\mathbb {C} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EatoPaNlAaDnEoDlCaqw4nDBAyqs1nDi2yqo3aNBFztaOataPatzD)
![{\displaystyle \operatorname {Cl} (1,4)\cong \operatorname {Cl} (2;\mathbb {C} )\oplus \operatorname {Cl} (2;\mathbb {C} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84zji2a2w4zjw2njG2oDJDntaPzNnEnDhFnDw0zDwOzNa1zthAzNiP)
즉, 부호수가
일 때는 실수 4차원의 마요라나 스피너가 존재한다. 이는 5차원 회전군의 특수한 동형
![{\displaystyle \operatorname {Spin} (3,2)\cong \operatorname {Sp} (4;\mathbb {R} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Na2vAaDdAajsNzNvFatG0aDnAnjePzqa2oDlDzAsOnAe0ajnEaArA)
에서 기인한다.
다른 부호수의 경우,
![{\displaystyle \operatorname {Spin} (4,1)\cong \operatorname {USp} (2,2)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82njFAajm5aDiPzDa4ztFEnjJDotFAyti4oDeNzDFDngiNzjGOo2dC)
![{\displaystyle \operatorname {Spin} (5)\cong \operatorname {USp} (4)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9BoqvCyjBBoNvAnghAaDiOzDs3ytK0yga1aAw1agaQa2o5aqi1z2i5)
으로 인하여 복소수 4차원 디랙 스피너를 갖는다.
6차원에서 실수 클리퍼드 대수는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {Cl} (0,6)=\operatorname {Cl} (3,3)=\operatorname {Cl} (4,2)=\operatorname {Mat} (8;\mathbb {R} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OzjBFzqoPaDKQzNsNz2dCztvEo2s0zAzFztvFzNmOaghAnDC1yqrE)
![{\displaystyle \operatorname {Cl} (1,5)=\operatorname {Cl} (2,4)=\operatorname {Cl} (6,0)=\operatorname {Mat} (4;\mathbb {H} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DoNzCngi2ztnAate5zNa2zta1ajrFnDhCoAo0yge5zjhFnDoQotBA)
![{\displaystyle \operatorname {Cl} (5,1)=\operatorname {Mat} (8;\mathbb {C} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85o2o0ags3zDoOa2vFaDo0zjlDngzEnAzBzNoPzjBFnjCPatrBoqeQ)
즉, 부호수
일 때는 8차원 마요라나 스피너가 존재한다. 이는 실수 리 대수의 동형
![{\displaystyle {\mathfrak {o}}(6;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {su}}(4;\mathbb {C} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83zNG3oAvDyga2ajo5zgvAyjo5aje4ntrFo2vEaDaPa2w0oDlFzNm0)
![{\displaystyle {\mathfrak {o}}(3,3;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {sl}}(4;\mathbb {R} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EyqvBoNsQoNmOoNrFntiPntwQygsPaqe5oAnAoDaNzjw4yjs1ytzA)
![{\displaystyle {\mathfrak {o}}(2,4)\cong \operatorname {su} (2,2)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8QzDK3aNm2zNiNaDo1zDe5agi0zNhBnga1aAzAnto4aqaOo2s4zte0)
에서 기인한다. 특히, 부호수 (3,3)에서, 마요라나 스피너는 각각 실수 4차원의 왼쪽과 오른쪽 마요라나-바일 스피너로 분해되며, 이는
의 정의 표현이다.
부호수 (1,5)의 경우, 실수 리 대수의 동형
![{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(1,5)\cong {\mathfrak {su}}^{*}(4)={\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {H} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AaAa5nAeOyjm1oDwOaNKQntdEaji5aDK5zDGOoNs1agsNntrAzNvD)
로 인하여 심플렉틱-마요라나 스피너를 정의할 수 있다.
에토레 마요라나의 이름을 땄다.
물리학의 표준 모형에서, 중성미자를 제외한 모든 입자는 바일 스피너이다 (즉, 마요라나 질량항을 갖지 않는다). 다만, 중성미자는 마요라나 스피너를 이룰 가능성이 있다.
- ↑ Freedman, Daniel Z.; Van Proeyen, Antoine. 《Supergravity》 (영어).
- ↑ Van Proeyen, Antoine (1999). “Tools for supersymmetry” (영어). arXiv:hep-th/9910030.