대수기하학에서 매끄러운 스킴(영어: smooth scheme)은 국소적으로 아핀 공간과 같이 보이는 체 위의 스킴이며, 매끄러운 사상(-寫像, 영어: smooth morphism)은 각 올이 매끄러운 스킴을 이루는 스킴 사상이다.
비분기 사상(非分岐寫像, 영어: unramified morphism)은 분기화가 일어나지 않는 스킴 사상이며, 미분기하학의 몰입에 해당한다. (대수기하학의 열린 몰입과 닫힌 몰입은 이름과 달리 미분기하학의 매장에 해당한다.) 에탈 사상(étale寫像, 영어: étale morphism)은 스킴 사이의 국소 동형 사상이다. 즉, 미분기하학의 국소 미분동형사상이나, 위상수학의 국소 위상동형사상에 대응되는 개념이다.
형식적으로 매끄러운 사상/형식적으로 비분기 사상/형식적으로 에탈 사상은 특정 오른쪽 올림 성질을 만족시키는 스킴 사상이다. 형식적으로 매끄러운/비분기/에탈 사상 조건에 국소 유한 표시 조건을 추가한다면 매끄러운 사상/비분기 사상/에탈 사상 개념을 얻는다.
형식적으로 매끄러운 · 비분기 · 에탈 사상[편집]
임의의 가환환
및 멱영 아이디얼
에 대하여, 그 몫 준동형
![{\displaystyle (/{\mathfrak {n}})\colon R\to R/{\mathfrak {n}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EyjrDnjJFotG1nDi2zNC5nDdBa2dFotm3atrAnDFDzjm2o2aNaDsP)
에 대응하는 아핀 스킴 사상
![{\displaystyle (/{\mathfrak {n}})^{*}\colon \operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {n}})\to \operatorname {Spec} R}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OaNK1ots4zAiOote4aNKQoAwNzDGOytvEajeNyjo1o2i2yteQotlD)
을 생각할 수 있으며, 이는 항상 닫힌 몰입이다. 직관적으로,
이 멱영 아이디얼이므로
는
을 "무한소"만큼 "연장"시킨 것이다. 즉, 이러한 닫힌 몰입은 닫힌집합의 "무한히 작은 근방"으로의 포함 사상으로 해석할 수 있다.
스킴 사상
에 대하여,
- 만약 멱영 아이디얼로부터 유도되는 닫힌 몰입에 대하여 오른쪽 올림 성질이 성립한다면,
를 형식적으로 매끄러운 사상(영어: formally smooth morphism, 프랑스어: morphisme formellement lisse)이라고 한다.[1]:56, Définition IV.17.1.1 즉,
가 전사 함수이다.
- 만약 멱영 아이디얼로부터 유도되는 닫힌 몰입에 대하여 모든 오른쪽 올림이 (만약 존재한다면) 유일하다면,
를 형식적으로 비분기 사상(영어: formally unramified morphism, 프랑스어: morphisme formellement non ramifié)이라고 한다.[1]:56, Définition IV.17.1.1 즉,
가 단사 함수이다.
- 만약 멱영 아이디얼로부터 유도되는 닫힌 몰입에 대하여 오른쪽 유일 올림 성질이 성립한다면,
를 형식적으로 에탈 사상(영어: formally étale morphism, 프랑스어: morphisme formellement étale)이라고 한다.[1]:56, Définition IV.17.1.1 즉,
가 전단사 함수이다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {n}})&\to &X\\\downarrow &{\scriptstyle \exists }\nearrow &\downarrow \\\operatorname {Spec} R&\to &S\end{matrix}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9BoNGQzta1o2vByjlDnDvBaqe5ntC5aDoQa2wPota5oDs2yqePzjaQ)
이 조건들은 직관적으로 다음과 같이 해석할 수 있다.
- 형식적으로 매끄럽다는 것은 사상
를 그 무한소 근방
로 무한소만큼 확장할 때, "특이점"에 걸려 확장이 불가능한 경우가 없다는 것이다.
- 형식적으로 비분기라는 것은 사상
를 그 무한소 근방
로 무한소만큼 확장할 때, "분기점" 때문에 두 개 이상의 가능한 확장이 존재하는 경우가 없다는 것이다.
- 형식적으로 에탈이라는 것은 형식적으로 매끄러우며 비분기인 것과 같으므로, "특이점"과 "분기점"이 없어 그 무한소 근방으로의 확장이 항상 유일한 것이다.
매끄러운 사상[편집]
국소 유한 표시 사상
에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 유한 표시 사상을 매끄러운 사상(영어: smooth morphism, 프랑스어: morphisme lisse)이라고 한다.
는 형식적으로 매끄러운 사상이다.[1]:61, Définition IV.17.3.1
는 평탄 사상이며, 모든
및
에 대하여 올
은 국소환의 잉여류체
위의 매끄러운 스킴이다.[1]:67, Théorème IV.17.5.1
는 평탄 사상이며, 모든
및
에 대하여 올
에 대하여 그 완비화
는 정칙 스킴이다.[2]:269–270, Theorem III.10.2
는 평탄 사상이며, 켈러 미분층
는 국소 자유 가군층이며, 그 차원은
의 상대 차원과 같다.
- 모든
에 대하여,
가 되는 열린 근방
및 자연수
및 사상
가 존재한다. (
는 아핀 공간의 표준적 사상이다.)
- 임의의
에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 아핀 열린 근방
및
가 존재한다.
- 가환환 준동형
은 어떤 표준 매끄러운 대수와 동형이다.
가환환
가 주어졌을 때, 그 위의 유한 표시 대수
![{\displaystyle {\frac {S[x_{1},\dots ,x_{n}]}{(f_{1},\dots ,f_{k})}}\qquad (n,k\in \mathbb {N} ,\;k\leq n,\;f_{1},\dots ,f_{k}\in R[x_{1},\dots ,x_{n}])}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85oNCQoDBDoqo4zja1zjhCzjrAz2zBataOzghFnji2z2dBajG0zta1)
가 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 표준 매끄러운 대수(영어: standard smooth algebra)라고 한다.
- 다항식
은
속의 가역원이다.
비분기 사상[편집]
국소 유한 표시 사상
에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 유한 표시 사상을 비분기 사상(영어: ramified morphism, 프랑스어: morphisme non ramifié)이라고 한다.[1]:65, Corollaire IV.17.4.2(c)
는 형식적으로 비분기 사상이다.[1]:62, Définition IV.17.3.7
이다. 여기서
는 켈러 미분층이며,
은 영가군의 상수층이다.
- 대각 사상
은 열린 몰입이다.
스킴 사상
가
에서 비분기이다는 것은
의 어떤 열린 근방
에 대하여
가 비분기 사상이라는 것이다.
에탈 사상[편집]
국소 유한 표시 사상
에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 유한 표시 사상을 에탈 사상(영어: étale morphism, 프랑스어: morphisme étale)이라고 한다.
는 형식적으로 에탈 사상이다.[1]:62, Définition IV.17.3.7
는 평탄 사상이며 비분기 사상이다.
는 매끄러운 사상이며 비분기 사상이다.
는 매끄러운 사상이며 상대 차원(영어: relative dimension)이 0이다.
- 모든 점
에서, 다음 조건을 만족시키는 아핀 열린 근방
및
및 가 존재한다.
- 준동형
는 어떤 표준 에탈 대수와 동형이다.
위 정의에서, 가환환
위의 표준 에탈 대수(영어: standard étale algebra)는 다음과 같은 꼴의 단위 결합 가환 대수이다.
![{\displaystyle \left(S[x]/(f)\right)_{g}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80zgeOngdAygiQyjo1yjwPnga2yqo2nDiQatdDzNvCzjo2ajs5njBF)
여기서
는 일계수 다항식이며,
는 임의의 다항식이다.
의 도함수
는
에서 가역원이다. 여기서
는 국소화이고,
는
로 생성되는 아이디얼이다.
스킴 사상
가
에서 에탈이다는 것은
의 어떤 열린 근방
에 대하여
가 에탈 사상이라는 것이다.
함의 관계[편집]
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
- 축소 스킴 ⊋ 정규 스킴 ⊋ 정칙 스킴 ⊋ 체 위의 매끄러운 스킴
즉, 임의의 체
에 대하여 모든 매끄러운
-스킴은 정칙 스킴이다. 특히, 완전체
위의
-스킴
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
는 매끄러운 사상이다.
- 정칙 스킴이며,
는 국소 유한형 사상이다.
가 매끄러운 사상 · 비분기 사상 · 에탈 사상 · 형식적으로 매끄러운 사상 · 형식적으로 비분기 사상 · 형식적으로 에탈 사상 조건 가운데 하나라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
- (합성에 대한 닫힘)
에 대하여, 만약
와
가
-사상이라면
역시
-사상이다.
- (밑 변환에 대하여 안정)
에 대하여, 만약
가
-사상이라면 밑 변환
역시
-사상이다.
가 매끄러운 사상 · 비분기 사상 · 에탈 사상 가운데 하나라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
- (fpqc 위상에서의 내림)
에 대하여, 만약 밑 변환
가
-사상이며,
가 fpqc 사상이라면
역시
-사상이다.
여기서 fpqc 사상은 평탄 사상이며, 전사 함수이며, 공역 속의 임의의 콤팩트 열린집합에 대하여 이를 상으로 하는 정의역의 콤팩트 열린집합이 존재하는 스킴 사상이다.
매끄러움의 실패[편집]
대수적으로 닫힌 체
가 주어졌을 때,
-대수의 포함 준동형
![{\displaystyle f\colon K[a]\hookrightarrow K[x,y,a]/(xy-a)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9BoNa3ngo3njCQoAhEnDo3z2a3nAe3ytdBzjePyteNzNJCzDG5atiO)
을 생각하자. 그렇다면 이는 아핀 스킴의 사상
![{\displaystyle \operatorname {Spec} K[x,y,a]/(xy-a)\twoheadrightarrow \mathbb {A} _{K}^{1}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AoDm2nDBEaNs3zDa0o2nEajaNoAhFzDrCnDvDotJBo2s5oDeQnjvD)
을 정의하며, 이는 기하학적으로 아핀 평면 원뿔 곡선들의 족을 정의한다. 이는 유한형 사상이며 평탄 사상이지만, 매끄러운 사상이 아니다. 구체적으로,
-대수
의 멱영 아이디얼
를 생각하자. 이 경우,
![{\displaystyle g\colon K[x,y,a]/(xy-a)\to K[z,a]/(a^{2},a)\cong K[z]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NnAvEoNCPzqa3aNe1zDmNzgi4agzAzjBEoNoQaDi0aDm1aDK3ntdB)
![{\displaystyle g\colon x\mapsto z}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84oNa2a2e1njrFaDnBaqe2ajBDytdDnjw2nDe2ytm0yqoQagnAoDzB)
![{\displaystyle g\colon y\mapsto 0}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Ca2iQyjC2otw0atKNzAwPatBAygdAzDG4aDJCztnAnAaPajlBnDo5)
는
-대수의 준동형을 이룬다. 하지만, 임의의
-대수의 준동형
![{\displaystyle h\colon K[x,y,a]/(xy-a)\to K[z,a]/(a^{2})}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EnjlEoqaOzNKNa2i1aAw2zDC3ytK4aNBDotlFzNvBnDsNyjaNnqeP)
에 대하여,
![{\displaystyle q\colon K[z,a]/(a^{2})\twoheadrightarrow K[z]/(a)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OnAaOzjJDyjnBoDlFoNiQzNs5zqrDzjG3nAvAnte3zgvFztoOatK5)
와 합성하였을 때
가 될 수 없다. 기하학적으로, 이는
일 때의 올
은 특이올을 이루기 때문이다.
더 단순한 예로,
를 생각하자. 이 경우,
-대수의 준동형
![{\displaystyle g\colon K[x,y]/(xy)\to K[z]/(z^{2})}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83oNG0otBAztJAygs5ztK1yjoNntlEzNFCngzFo2wOoAhBaji4atw3)
![{\displaystyle g\colon x\mapsto z}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84oNa2a2e1njrFaDnBaqe2ajBDytdDnjw2nDe2ytm0yqoQagnAoDzB)
![{\displaystyle g\colon y\mapsto z}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9FotwPzNs1agwNoDnData4zDaPyqrByqzCaNa0ngs4zjaQa2a5atmO)
이 존재한다. 그러나 몫 준동형
![{\displaystyle q\colon K[z]/(z^{3})\twoheadrightarrow K[x]/(z^{2})}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Poqs2agoOaqwPatm3zNa3yjFFytiQnji2nqdFzjrBatdEoDiOaAnC)
에 대하여,
가 되는 준동형
![{\displaystyle h\colon K[x,y]/(xy)\to K[z]/(z^{3})}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DyjG3aDi1oNGNzjiOyqs0oAePzqzBaNCOngw5aAhFotsOzDG0zDrF)
은 존재할 수 없다. 따라서 아핀 대수 곡선
는 원점에서 특이점을 가져 매끄러운 곡선이 아니다.
비분기성의 실패[편집]
표수가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체
위에,
![{\displaystyle f\colon K[x]\hookrightarrow K[x,y]/(y^{2}-x)\cong K[y]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Bygo2a2wOzgw4ytdDytw4ajvFoDC3oDi5ots0zqhFaqwOoqzDoNlB)
를 생각하자. 그렇다면 이는 아핀 스킴의 사상
![{\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}\twoheadrightarrow \mathbb {A} _{K}^{1}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NoNe2nDo4oDnBatK3agdBaNoPzAiPaqe1nAzBaqoPnjs0o2w3otCO)
을 정의한다. 이는 유한형 사상이지만, 비분기 사상이 아니다. 구체적으로,
의 멱영 아이디얼
을 생각하자. 그렇다면,
-대수의 준동형
![{\displaystyle g_{\pm }\colon K[x,y]/(x^{2},y^{2}-x)\to K[x]/(x^{2},z^{2}-x)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OaDGPzqdAzNw0oqa4zNFDz2w1oDJBotFFaNG4oDC5oNFCzDi5oNBF)
![{\displaystyle g_{\pm }\colon y\mapsto \pm z}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PztFFaqvBotm0zNw3oDrByjdDzgvAo2zBaAa2njaPaAeNzgi3zgzE)
을 정의할 수 있다. 이는 몫
![{\displaystyle q\colon K[x,z]/(x^{2},z^{2}-x)\twoheadrightarrow K[x,z]/(x^{2},z^{2}-x,z)\cong K}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Ange5yjw0a2wOoDa0oqe2zNC2a2hByjdDotC0z2w1nqw4ajwOoNe2)
과 합성하면
![{\displaystyle q\circ g_{\pm }\colon K[x,y]/(x^{2},y^{2}-x)\to K}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EnjFEytnDaAi4oto4nDzFajJBoAvDzNzBzta5a2hEz2w1zDi5oDC1)
![{\displaystyle q\circ g_{\pm }\colon x,y\mapsto 0}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AzDwOytw1oqdBoNm3ytdEatGPaqoQnDC4zDlByqvDaAnBnqi4nDvE)
이 되므로, 서로 같아진다. 즉, 기하학적으로, 원점
을 그 무한소 근방
으로 연장하는 방법이 유일하지 않으므로, 비분기 사상이 될 수 없다.
체 위의 에탈 스킴[편집]
체
위의 스킴
에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.[3][4]
는 비분기 사상이다.
는 에탈 사상이다.
이며,
는 유한 분해 가능 확대이다.
체
위의 에탈 스킴들의 범주는 절대 갈루아 군
의 작용을 갖춘 집합들의 범주
와 동치이다.[5] 구체적으로, 에탈 스킴
에 대응하는 집합은 다음과 같다.
![{\displaystyle X\mapsto \hom _{\operatorname {Sch} /\operatorname {Spec} K}(\operatorname {Spec} K^{\operatorname {sep} },X)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CnDsNytvDatm4nqvFntlBaNm2aqdBnqe4aAo5nDhBotdFzqo1ati2)
여기서
은
의 분해 가능 폐포이다.
알렉산더 그로텐디크가 《대수기하학 원론》 4권[1]에서 도입하였다.
외부 링크[편집]
같이 보기[편집]