베티 수(영어: Betti number)는 위상 공간의 호몰로지 군의 계수다. 공간의 위상적 특성을 나타내는 수열의 하나다. 기호는
며, 0이거나, 양의 정수이거나,
이다. 좀 더 다루기 쉬운 (콤팩트 공간 또는 CW 복합체 등) 경우에는 베티 수는 모두 유한하며, 어느
부터
에 대하여
이다.
위상 공간
, 음이 아닌 정수
, 체
가 주어지면,
번째 베티 수
는
번째 특이 호몰로지 공간
의 (
에 대한 벡터 공간으로서의) 차원이다. 식으로 쓰면 다음과 같다.
![{\displaystyle b_{k}(X,\mathbb {F} )=\dim H_{k}(X;\mathbb {F} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Qzte5yqhAoAiNoDCNatdBaqw3oNw0age3oDKPnte1zjKNz2a3o2w5)
일반적으로,
가 주어지지 않았을 때에는
(유리수)를 의미하는 것이다. 유리수에 대한 베티 수는 정수에 대한 호몰로지 공간
의 계수와 같다.
의 표수가 0이면 베티 수는 항상 유리수에 대한 베티 수와 같지만, 표수가 유한한 경우 달라질 수 있다. 만약
가 주어지지 않으면 암묵적으로
이다.
콤팩트 공간이나 CW 복합체의 베티 수는 어떤 유한한
이상으로는
에 대하여
이다. 따라서 베티 수를 생성함수로 나타낼 수 있는데, 이를 푸앵카레 다항식(영어: Poincaré polynomial)이라 한다. 즉 푸앵카레 다항식
는 다음을 만족한다.
![{\displaystyle P(z)=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}z^{k}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Pa2dDzNa3yjFEo2a4ngnBntG3nAePagdDz2vEzDFEzDmQzNlDytC2)
무한차원에서는 이를 일반화하여 푸앵카레 급수(영어: Poincaré series)를 정의할 수 있다.
거칠게 말해서,
일 때 베티 수
는
차원 "구멍"의 수를 나타내는 것으로 해석할 수 있다. 예를 들어 구
의 베티 수는
일 때에만 1이고 나머지 경우엔 0이다.
유한한 CW 복합체
의 경우 오일러 지표와 베티 수는 다음과 같은 관계를 가진다.
- 임의의 체
에 대하여, ![{\displaystyle \chi (K)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}b_{i}(K,\mathbb {F} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80zjdBzNK4ygi4ajFBo2nDajm0nqnAyqdDztvBaNrBzgdFa2o0ztG3)
여기서
는 오일러 지표이다.
임의의 (베티 수열이 유한한) 위상 공간
와
에 대하여 그 곱공간
의 푸앵카레 다항식은 각 공간의 푸앵카레 다항식의 곱이다.
![{\displaystyle P_{X\times Y}(z)=P_{X}(z)P_{Y}(z)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8QaqdBzNlCytrBaqiPzNlEaAw0yte0zqw4zNe1oqs3zNKNzDvEzDmQ)
마찬가지로,
와
의 분리합집합
의 푸앵카레 다항식은 각 공간의 푸앵카레 다항식의 합이다.
![{\displaystyle P_{X\sqcup Y}(z)=P_{X}(z)+P_{Y}(z)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81nDmPnDi3oDdByqwOzAnFaDzCatC5nAhCoAvAzNzCoDvCatzBzAe4)
닫힌 n차원 가향 다양체
의 경우, 베티 수는 다음 관계를 만족한다.
![{\displaystyle b_{k}(X)=b_{n-k}(X)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NaAe1zjzBo2sOaDK2zNJEajw2yqdBz2hDzjs2nAzEotm4ytvBa2w1)
이는 푸앵카레 쌍대성
으로부터 유도할 수 있다.
차원 초구
의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.
![{\displaystyle P_{\mathbb {S} ^{n}}(z)=1+z^{n}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CztK1zgeQnjsQzNzCoDw3yjzCotsNothDajw2otBBygs5zAe0ote3)
차원 원환면
의 푸앵카레 다항식은 원의 푸앵카레 다항식으로부터 다음과 같다.
![{\displaystyle P_{\mathbb {S} ^{n}}(z)=(1+z)^{n}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CzjG4njoPzDFDngoOaqw4ajmNoqeQzgo2yte0oDhEajoQoAoOngnF)
차원 실수 사영 공간
의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.
![{\displaystyle P_{\mathbb {RP} ^{n}}(z)={\begin{cases}1&2\mid n\\1+x^{n}&2\nmid n\end{cases}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9FzjhAzDzAntBAoqdBnDdAo2aPz2nEoti1zDsQaNFEygoOago3oqi0)
무한 차원 실수 사영 공간
의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.
![{\displaystyle P_{\mathbb {RP} ^{n}}(z)=1}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85atdCotvCaNrDaAiPyqnEnjFBnjaNoDo0zNFDzqwPngo1ntwPntFC)
차원 복소수 사영 공간
의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.
![{\displaystyle P_{\mathbb {cP} ^{n}}(z)=1+z^{2}+\cdots +z^{2n}={\frac {1-z^{2n+2}}{1-z^{2}}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8QyjKPoDGQaAe1zto4oAzDzNG1njm2oqeOzqsQaNvDaNnBaqe0ythB)
무한 차원 복소수 사영 공간
의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.
![{\displaystyle P_{\mathbb {CP} ^{n}}(z)=1+z^{2}+z^{4}+\cdots ={\frac {1}{1-z^{2}}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OajJFngaOyjo3nAePaNi1ajlEyqa1zDw0a2w4aAa4o2ePzNFFaArB)
종수
의 콤팩트 유향 곡면의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.
![{\displaystyle P_{\Sigma _{g}}(z)=1+2gz+z^{2}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EnDm2yjKPzNG5otCNz2eQyqdFzDBAaqrEyje1oDi1oDJBaqvByjlD)
K3 곡면의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.
![{\displaystyle P_{\text{K3}}(z)=1+22z^{2}+z^{4}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8QaNhCaDw3aqvCngw5yjFAngrEnqe4aAwNoAwNaDePzNFAzDG3zAi3)
리 군[편집]
콤팩트 단일 연결 단순 리 군
의 푸앵카레 다항식들은 다음과 같은 꼴이다.
![{\displaystyle P_{G}(z)=\prod _{n\in N(G)}(1+z^{n})}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PaArFnqw3zgo5ztlCnjrBzthDoDs2agw1ajoQnDhDoAhAaqzCnDiO)
여기서
는 원시 지수(영어: primitive exponent)라고 하며, 다음과 같다.
단순 리 군 |
원시 지수 |
OEIS
|
![{\displaystyle \operatorname {SU} (n+1)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Oags2zDdEotKPaNmNntoPothEzDG1yqw3oDGOnjKPzgaPytm1yqnC) |
![{\displaystyle 3,5,\dots ,2n+1}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Oa2aPzgw2zDdFzDhAzNG3atJEatsOatFEoDeOnqa3agzDajiQaNwQ) |
|
![{\displaystyle \operatorname {Spin} (2n+1)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Bnte1oto0a2dDzNC0nDrDntlBoqhCaqrFoNe3oNrBa2e0zjK2yqvF) |
![{\displaystyle 3,7,\dots ,4n-1}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CoqsQzNJEoNm3age5zNa3zgs1ytKPnqsNatePaqsPaqo3aNm3z2vC) |
|
![{\displaystyle \operatorname {USp} (2n)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9BajnBnAo0zjnAa2aPzqzBzto2nDw0nte1nDBAyjG4agzDoNoOa2oN) |
![{\displaystyle 3,7,\dots ,4n-1}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CoqsQzNJEoNm3age5zNa3zgs1ytKPnqsNatePaqsPaqo3aNm3z2vC) |
|
![{\displaystyle \operatorname {Spin} (2n)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CygdEzNBEnAsQzti2otwPoqaQaqwOnjs4oNw5zDa1otlFyjFAyqs1) |
![{\displaystyle 3,7,\dots ,4n-5,2n-1}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CzjC0ztaQngnBngs1oNG5zDJDnDo4yqvFnqdBnAi3zgrEo2dBnDe1) |
|
![{\displaystyle G_{2}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82zjsQathEaga2ytaNotmOnDrAz2w4zjoOzgo3yjeOagw3zjK0aDJB) |
3, 11 |
|
![{\displaystyle F_{4}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84zNi4otdCnDhBzNlEnqiNo2wOaqhEyqsQo2w0zqvDaNs0yji4zjsP) |
3, 11, 15, 23 |
|
![{\displaystyle E_{6}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85nAs5aNi5otdEo2zEatzBztrFoNs5ztsPnjCPytm3yje3oDzAngs2) |
3, 9, 11, 15, 17, 23 |
(OEIS의 수열 A106373)
|
![{\displaystyle E_{7}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AzqrBztvCzjG4zNBEnqi2agdAzta1atwQo2wOoNnFaqdCaDC2oDvC) |
3, 11, 15, 19, 23, 27, 35 |
(OEIS의 수열 A106374)
|
![{\displaystyle E_{8}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80yjw3yqs5zAw5age0o2nFoAa3zNG0atm2o2aNo2nAnDCQz2vCota0) |
3, 15, 23, 27, 35, 39, 47, 59 |
(OEIS의 수열 A106403)
|
앙리 푸앵카레가 엔리코 베티의 이름을 따서 명명하였다.
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]