범주론에서 생성 집합(生成集合, 영어: generating set, separating set)은 그 원소들의 쌍대곱의 몫 대상으로 모든 대상을 나타낼 수 있는, 범주 속의 대상 집합이다.
범주
속의 대상들의 집합
가 다음 조건을 만족시킨다면,
의 생성 집합이라고 한다.[1]:Definition 7.14
- 임의의 두 사상
에 대하여, 만약
라면,
가 되는 대상
및 사상
가 존재한다.
![{\displaystyle G{\overset {\exists h}{\to }}X{\underset {g}{\overset {f}{\rightrightarrows }}}Y}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PytC0otlFntG5z2nFaNw4ntsOzgo3oNK2oNhCa2iNoDdAyqi4aNa0)
만약
가 국소적으로 작은 범주라면, 이는 다음 조건과 동치이다.
- 다음과 같은 함자는 충실한 함자이다.
![{\displaystyle \prod _{G\in {\mathfrak {G}}}\hom _{\mathcal {C}}(G,-)\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EaDi5ajaNngsPytm4ati4ngiPotC4oNsQnta0nji0zNi4zjs5ytnA)
![{\displaystyle \prod _{G\in {\mathfrak {G}}}\hom _{\mathcal {C}}(G,-)\colon X\mapsto \prod _{G\in {\mathfrak {G}}}\hom(G,X)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Bz2s4nge2yto5atJAzNe1ntBCztBFnDFByjo4ajs3aNhDaje1aArB)
![{\displaystyle \prod _{G\in {\mathfrak {G}}}\hom _{\mathcal {C}}(G,-)\colon (X{\overset {f}{\to }}Y)\mapsto \left((h_{G}\colon G\to X)_{G\in {\mathfrak {G}}}\mapsto (f\circ h_{G}\colon G\to Y)_{G\in {\mathfrak {G}}}\right)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80zgnDaDCNoDBBzAvDaqoPaNzFoAs5nDoPajdBnDoNyjhDzNG1o2eP)
만약
가 국소적으로 작은 범주이자 모든 집합 크기의 쌍대곱을 가진다면, 이는 다음 조건과 동치이다.
- 모든 대상
에 대하여, 다음과 같은 사상이 전사 사상이다.
![{\displaystyle \pi =\coprod _{G\in {\mathfrak {G}},h\in \hom _{\mathcal {C}}(G,X)}h}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84zNlCztGNnDiNyjCPytG4oNrCnDa5oNKQngzEytKNnDiNaNw4ota2)
![{\displaystyle \pi \colon \coprod _{G\in {\mathfrak {G}},h\in \hom(G,X)}G\to X}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NoNzCatsNzAiOzNwQzqvAato0ygs5aNC2z2w4zDiQaNBBa2o0nDFC)
다시 말해, 모든 대상은 생성 집합에 속하는 대상들의 쌍대곱의 몫 대상과 동형이다.
만약 생성 집합
가 한원소 집합이라면,
를
의 생성 대상(영어: generating object, generator)이라고 한다.
위 개념을 모두 쌍대화하여 쌍대 생성 집합(영어: cogenerating set, coseparating set)과 쌍대 생성 대상(영어: cogenerating object, cogenerator, coseparator)을 정의할 수 있다. 범주
속의 대상들의 집합
가 다음 조건을 만족시킨다면,
의 쌍대 생성 집합이라고 한다.[1]:Definition 7.16
- 임의의 두 사상
에 대하여, 만약
라면,
가 되는 대상
및 사상
가 존재한다.
![{\displaystyle X{\underset {g}{\overset {f}{\rightrightarrows }}}Y{\overset {\exists h}{\to }}G}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82otKOaqe0zAs3o2e3ztG5njsNnAvEaArAzDw5nqi1oqi1aDhFaDwQ)
만약
가 국소적으로 작은 범주라면, 이는 다음 조건과 동치이다.
- 다음과 같은 함자는 충실한 함자이다.
![{\displaystyle \prod _{G\in {\mathfrak {G}}}\hom _{\mathcal {C}}(-,G)\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AzgeNnDrAajw2ytvAotFCzNBEajs3yja0aDs4yqnBzgrCyjzDzNzB)
![{\displaystyle \prod _{G\in {\mathfrak {G}}}\hom _{\mathcal {C}}(-,G)\colon X\mapsto \prod _{G\in {\mathfrak {G}}}\hom _{\mathcal {C}}(X,G)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81oDhAnqhBngi1njhFytFBotG2o2dEzAhBnDzDzArBatBCzDi1ytaO)
![{\displaystyle \prod _{G\in {\mathfrak {G}}}\hom _{\mathcal {C}}(-,G)\colon (X{\overset {f}{\to }}Y)\mapsto \left((h_{G}\colon Y\to G)_{G\in {\mathfrak {G}}}\mapsto (h_{G}\circ f\colon X\to G)_{G\in {\mathfrak {G}}}\right)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AoAzCatm0otnEnqs5agsNz2rEajFEajaOaNnDo2sOaDsPnge4nDlF)
만약
가 국소적으로 작은 범주이자 모든 집합 크기의 곱을 가진다면, 이는 다음 조건과 동치이다.
- 모든 대상
에 대하여, 다음과 같은 사상이 단사 사상이다.
![{\displaystyle \pi =\prod _{G\in {\mathfrak {G}},h\in \hom _{\mathcal {C}}(X,{\mathfrak {G}})}h}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83o2oPoteOyjnCyjBDa2eNyjBAajGNaNG1yqs2oNKNaNiPaqe0aAdC)
![{\displaystyle \pi \colon X\to \prod _{G\in {\mathfrak {G}},h\in \hom(X,G)}G}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84oNsQoDlDaNo5zgsOoNCNyjFDzjhCnDBCyjwOaNhBotwNnjK0nqvA)
다시 말해, 모든 대상은 쌍대 생성 집합에 속하는 대상들의 곱의 부분 대상과 동형이다.
대수 구조의 경우[편집]
대수 구조 다양체의 범주
는 항상 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 집합의 범주로 가는 망각 함자 및 그 오른쪽 수반 함자인 자유 대상 함자
![{\displaystyle \operatorname {Forget} \colon {\mathcal {V}}\rightleftarrows \operatorname {Set} \colon \operatorname {Free} }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DzDCQoqnFnto2njBFnqe1aDeQztiNzjo3ygdFate1aNFDaNmQyqaN)
를 생각하자. 이 경우, 한원소 집합 위의 자유 대상
은 항상
의 생성 대상을 이룬다. 한원소 집합 위의 자유 대상의 쌍대곱은 더 큰 집합 위의 자유 대상이다. 즉, 모든 집합
에 대하여 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \coprod _{s\in S}\operatorname {Free} (\{s\})\cong \operatorname {Free} (S)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CzjlCzjwOoNKPoDzCngwNnjFFntC1nAwQaDBAnjGNnqw5atlCntK0)
따라서,
이 생성 대상이라는 것은
에 속하는 모든 대수는 자유 대수의 몫대수로 나타낼 수 있음을 뜻한다.
대수
를 이와 같이 자유 대수의 몫대수로 나타내는 것을
의 표시(영어: presentation)라고 한다. 이는 일반적으로 다음과 같이 표기한다.
![{\displaystyle A\cong \langle S|(t_{1}=t_{2})_{(t_{1},t_{2})\in \sim }\rangle }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EyjnEzAsOnjJFz2oOzAzBnts3zgvCngo4zti3otK1ajJDaDw0yqvE)
여기서
는 집합이다.
은 전사 사상
를 정의하는,
위의 합동 관계이다. 즉,
의 원소와 대수 구조 다양체
의 연산들로 적을 수 있는 두 항
에 대한 등식
의 꼴로 적을 수 있다.
군의 표시는 대수 구조의 표시의 특수한 경우다.
반면, 일반적으로 대수 구조 다양체의 범주는 쌍대 생성 대상을 가지지 않을 수 있다.
집합
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 집합과 함수의 범주
의 생성 대상이다.
- 공집합이 아니다.
집합
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:Example 7.18(1)
- 집합과 함수의 범주
의 쌍대 생성 대상이다.
- 공집합이나 한원소 집합이 아니다.
위상 공간[편집]
위상 공간과 연속 함수의 범주
는 국소적으로 작은 범주이며, 완비 범주이며, 쌍대 완비 범주이다. 이 범주에서 한원소 공간
은 생성 대상이다. 구체적으로, 한원소 공간들의 쌍대곱은 이산 공간이며, 임의의 위상 공간
에 대하여
위에 이산 위상을 부여한 공간
을 정의한다면, 수반 함자
![{\displaystyle \operatorname {Points} \colon \operatorname {Top} \rightleftarrows \operatorname {Set} \colon \operatorname {Disc} }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83aAi3ntKOaAhAa2hDzjzCoDi3ntvCnqa4o2a2o2vDaDi0ajw5yjaQ)
의 쌍대단위원
![{\displaystyle \eta \colon \operatorname {Disc} \circ \operatorname {Points} \Rightarrow \operatorname {Id} _{\operatorname {Top} }}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81nqrAztvDoDeNnAa5oqhEaDFDntrEytnDnAdEzja5a2o1oNzEz2aQ)
은 연속 함수
![{\displaystyle \eta _{X}\colon \operatorname {Disc} (\operatorname {Points} (X))\to X}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84atsPntvAo2rCajaPzqvBaDnDzDG2yjvDztrCzqnCzNCPotKNatw5)
를 정의하며, 이는 (전단사 함수이므로) 전사 사상이자 단사 사상이다. 즉, 모든 위상 공간은 이산 공간의 범주론적 몫 대상으로 나타낼 수 있다.
위상 공간
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:Example 7.18(4)
모든 환은 1을 가지며, 모든 가군은 1을 보존한다고 하자.
환
위의 왼쪽 가군의 범주
는 대수 구조 다양체의 범주이므로, 한원소 집합 위의 자유 가군
는 그 생성 대상을 이룬다. 마찬가지로,
는 오른쪽 가군의 범주
의 생성 대상을 이룬다.
환
위의 왼쪽 가군의 범주
는 또한 항상 쌍대 생성 대상을 갖는다. 구체적으로, 환
의 모든 왼쪽 단순 가군(=극대 왼쪽 아이디얼
에 대한
의 몫가군
)들의 (동형류의) 단사 껍질들의 직합
![{\displaystyle \bigoplus _{_{R}{\mathfrak {M}}}{}E(_{R}R/{\mathfrak {M}})}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8QotC1nqw1nthAytJFnDC4zNoOoNi4zqi4ztzDzqrAyjrEajK3aDhF)
을
의 표준 쌍대 생성 가군(영어: canonical cogenerator)이라고 하며, 이는
의 쌍대 생성 대상을 이룬다.[2]:508, Theorem 19.10 특히, 모든 왼쪽 단순 가군들의 집합은 쌍대 생성 집합을 이룬다.
일반적으로, 자유 가군
는 쌍대 생성 대상이 아닐 수 있다. 환
에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.[2]:514, Theorem (19.25)
- 모든 충실한
-왼쪽 가군은
의 쌍대 생성 대상이다.
는 단사 가군이며 유한 쌍대 생성 가군이다.
는 단사 가군이며,
의 모든 왼쪽 단순 가군은 왼쪽 아이디얼과 동형이다. (즉, 왼쪽 카슈 환(영어: left Kasch ring)이다.)
는
의 쌍대 생성 대상이며,
의 모든 오른쪽 단순 가군은 오른쪽 아이디얼과 동형이다. (즉,
는 오른쪽 카슈 환이다.)
는
의 쌍대 생성 대상이며, 오른쪽 단순 가군의 동형류의 수는 유한하다.
이 조건을 만족시키는 환을 왼쪽 유사 프로베니우스 환(영어: left pseudo-Frobenius ring)이라고 한다.
아벨 군[편집]
아벨 군의 개념은 정수환
위의 가군과 같다. 이 경우 단순 가군은 소수 크기의 순환군
이며, 그 단사 껍질은 프뤼퍼 군
이다. 따라서 표준 쌍대 생성 가군은 모든 프뤼퍼 군들의 직합인 나눗셈군
![{\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} =\bigoplus _{p}\mathbb {Z} (p^{\infty })}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Oyts3zji4aAo1aqeQzjiNoDoPzta4zjs0zts2nqhDnjo0atCQnjsO)
이다.[2]:509, Example (19.11)(1) 즉, 모든 아벨 군
는 직접곱
![{\displaystyle \prod _{|G|}(\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DajFAzDi4ygvByqzAnjGOo2s0agzBajBCothCajrEnDaQyjvFatCQ)
보다 일반적으로, 임의의 데데킨트 정역
에 대하여, 표준 쌍대 생성 가군은 분수체의 몫가군
이다.[2]:509, Example (19.11)(1)
(쌍대) 생성 집합이 없는 범주[편집]
범주
는 생성 대상을 갖지 않는다. 그러나
![{\displaystyle \left\{(\{\bullet \},\varnothing ),(\varnothing ,\{\bullet \})\right\}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PzjmOnDaOzqw1aNo3nqaPzta1yjw5nDC3oAw1nAs2otC0yje1zDFE)
는
생성 집합을 이룬다.[1]:Example 7.15(3)
다음 범주들은 쌍대 생성 집합을 갖지 않는다.[1]:Example 7.18(8)
- 군의 범주
. (단순군의 크기는 상한을 갖지 않는다.)
- 환의 범주
. (단순환, 특히 체의 크기는 상한을 갖지 않는다.)
- 하우스도르프 공간의 범주
![{\displaystyle \operatorname {HausTop} }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Fzjs5zqrCntzEzArFzjo5ztvEz2iOnDrFoDzFzDs5zDGQngeQyjo1)
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]