추상대수학에서 자유곱(自由곱, 영어: free product)은 주어진 두 대수 구조를 포함하는 "가장 일반적인" 대수 구조이다. 대수 구조 다양체에서의 쌍대곱이다. 융합된 자유곱(融合된自由곱, 영어: amalgamated free product)은 주어진 두 대수 구조를 포함하되, 주어진 "공통 부분"을 이어 붙이는 가장 일반적인 대수 구조이다. 자유곱의 개념을 일반화하며, 대수 구조 다양체에서의 밂을 이룬다.
자유곱은 대수 구조 다양체에서의 쌍대곱이다. 구체적으로, 연산
를 갖는 대수 구조 다양체
속의
두 대수 구조
의 자유곱
은 다음과 같다. 우선, 집합
로 생성되는 자유 대수
를 생각하자. 이제,
에서 성립하는 모든 대수적 관계
![{\displaystyle p(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})=p'(a'_{1},p'_{2},\dots ,p'_{n'})}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Po2ePoNwPotaOaDhAaNiNoDdEygo4nqe1yjnBoNa2aNGPaNhByjnE)
와
에서 성립하는 모든 대수적 관계
![{\displaystyle q(b_{1},b_{2},\dots ,b_{k})=q'(b'_{1},b'_{2},\dots ,b'_{k'})}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82nAzFoAsPoDdDoNGQyjBEaDK2ztvEytwQnAeOo2o0zAs5zDJFoAhF)
들의 집합을
![{\displaystyle {\mathcal {I}}\subseteq F(A\sqcup B)^{2}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PoDdCoDa1yqdFngiOz2aNaDKPzNmPzgiOzAoQyqrAaDdDyjKPagw5)
라고 하고,
를 포함하는 최소의 합동 관계를
![{\displaystyle {\sim }\subseteq F(A\sqcup B)^{2}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8QoNCQatC3yqoQoNK5ntrDoqsPaNw4ztCPzNs1zDBBajJDnDsQzgeO)
이라고 하자. 그렇다면
![{\displaystyle A*B=F(A\sqcup B)/{\sim }\in {\mathcal {V}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Anjo1nDo3ztmPaDKQagwOzNFCnDrCota0oNC2ztJAajzCoAnEytwQ)
이다.
융합된 자유곱은 대수 구조 다양체에서의 밂이다. 구체적으로, 연산
를 갖는 대수 구조 다양체
속의 두 준동형
![{\displaystyle f\colon C\to A}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83ytwNyqwNz2nCotaNotBEntK1ztnFaDJDngdDnta5othCnjBFzNFE)
![{\displaystyle g\colon C\to B}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83aNsQz2w0aNzCz2rEzAe1a2vEzjKQoNdAoDi4zNs2aAo1agvFythA)
의 융합된 자유곱
는 다음과 같다. 자유곱
위에서,
![{\displaystyle [f(c)]_{\sim }\sim '[g(c)]_{\sim }\qquad \forall c\in C}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84nAe5oDKQytGOnDFDoAs5ygePzqe4nDePz2i1zAwQoNw2aDm0nAs4)
를 만족하는 최소의 동치 관계를
![{\displaystyle \sim '\subseteq (A*B)^{2}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81aDdAzgrFntw5nto4aNC3yjC2otlFo2w0yqdFytrBaNs1zjhBaNBB)
라고 하자. 그렇다면,
은 합동 관계이며,
![{\displaystyle A*_{C}B=(A*B)/{\sim '}\in {\mathcal {V}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DaDG3aDiNygsPzAaOzNdFatKQzAa4yqeQntlDntC5yjlFago5aNdF)
이다.
군의 대수 구조 다양체에서, 2차 순환군
![{\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)=\langle S|S^{2}=1\rangle }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9BatsOntJFoAePagoOnDrAz2iOntiNztvCnjK1oDBBz2zFnjm0aqw1)
및 3차 순환군
![{\displaystyle \operatorname {Cyc} (3)=\langle U|U^{3}=1\rangle }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Co2w0ngzAoNBEzga2nAeNajs1aAs0yqwPo2e1nDBFnqvEajaQnDw4)
을 생각하자. 그렇다면, 두 순환군의 자유곱은 다음과 같은 모듈러 군이다.
![{\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)*\operatorname {Cyc} (3)=\langle S,U|S^{2}=U^{3}=1\rangle }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Aoti4yjaOztnCnjm1o2vAz2vEyge5z2o0a2dDntwQaDJDzjzDzge3)
이 경우, 보통
로 정의한다.
무한 정이면체군
![{\displaystyle \operatorname {Dih} (\infty )=\langle r,s\mid s^{2}=(rs)^{2}=1\rangle }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83otBCz2o1yto2aAwPo2hEagi3otvEzDhEyjBBzDJEnja2ntwNzjo3)
은 다음과 같이 자유곱으로 나타내어진다.
![{\displaystyle \operatorname {Dih} (\infty )=\operatorname {Cyc} (2)*\operatorname {Cyc} (2)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NaNnEaqhAzDwOnqrBothDagnFnts1oDi5zjwPnDwQoNo0aja1ntJA)
환의 대수 구조 다양체에서, 환
와
의 자유곱은 비가환 다항식환
![{\displaystyle \mathbb {Z} [x]*\mathbb {Z} [y]=\mathbb {Z} \langle x,y\rangle }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OaNCNaNG3zgsQajzBo2dFnqdBaNa3zDlFyqvDaAnFyta0oDm1zjFB)
이다. 이는 텐서 대수
와 동형이다.
가환환의 자유곱은 환으로서의 자유곱의 가환화와 같다.
가환환의 대수 구조 다양체에서, 가환환
와
의 자유곱은 다항식환
![{\displaystyle \mathbb {Z} [x]*\mathbb {Z} [y]=\mathbb {Z} [x,y]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85zAo5ngaQaNlDote1oDm4oNm3ajnBnqi1zNvFzNe5zDi4oqa4zDnE)
이다.
아벨 군 또는 환
위의 (왼쪽) 가군의 경우, 유한 자유곱은 직접곱과 일치한다. 이는 이들 범주가 아벨 범주이기 때문이다.
집합의 대수 구조 다양체에서 자유곱은 분리합집합
이다. 이는 집합의 범주에서는 모든 대수적 관계가
꼴로 자명하기 때문이다.