모형 이론에서 초곱(超곱, 영어: ultraproduct 울트라프로덕트[*])은 여러 구조들의 곱집합의 동치류 집합 위에 정의된 더 큰 구조이다.
형이
인 구조들의 집합
및
위의 극대 필터
가 주어졌다고 하자.
는 부분 순서 집합이므로, 이를 범주로 간주할 수 있다. 그렇다면 다음과 같은 함자를 정의하자.
![{\displaystyle F\colon {\mathcal {U}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Enqo0atJEo2zFage4oNePoDlFo2zBzAa1zDe3ygePytK1ngaOaNdF)
![{\displaystyle F\colon S\mapsto \prod _{i\in S}M_{i}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83oAhFyjm1zjK3atoOotK3zja5nAi0ote3zDaQoAe0zqhBatJDnAo5)
그렇다면,
의 초곱
은 집합으로서
의 쌍대극한
이다. 이는 구체적으로 다음과 같다. 순서쌍
![{\displaystyle \{(S,x)\colon S\in {\mathcal {U}},\;x\in \prod _{i\in I}M_{i}\}\in \bigsqcup _{S'\in {\mathcal {U}}}(S',\prod _{i\in S'}M_{i})}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81aDwOnqvDzqi4aNlDoDw2zqw0oDa2ngrDoAhEzNsOaDmNaAo1otKN)
사이에 다음과 같은 동치 관계를 부여하자.
![{\displaystyle (S,x)\sim (S',x')\iff \{i\in I\colon x_{i}=x'_{i}\}\in {\mathcal {U}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Azji2ntK2atFAo2vEnjK4oDrFyjnCajKPygwNnte3oNnCngw4zqa5)
그렇다면
![{\displaystyle M=\varinjlim F=\left(\bigsqcup _{S'\in {\mathcal {U}}}(S',\prod S')\right)/{\sim }}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80aNs4ntK0aqwQzgnDzqeOajo5zjrEatoQoAiOo2vFnDK0zNC2atrB)
이다. 여기에 다음과 같은
-구조를 부여한다. 여기서
,
,
따위로 쓰자.
의 각
항 연산
(
)에 대하여,
![{\displaystyle m\colon M^{n}\to M}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83ajmQz2zCzjoOoDBDzgdEz2sOzgnCotsPngo5nAhFaje5agw5ygzE)
![{\displaystyle m\colon [({\vec {S}},{\vec {x}})]\mapsto \left[\left(\bigcap {\vec {S}},m_{i}({\vec {x}}_{i})_{i\in \bigcap {\vec {S}}}\right)\right]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84ota5aAs2nDmPyjs0a2iPyqs4zDw0aqoNzja2ntw0ntm3ytw2nDa3)
의 각
항 관계
(
)에 대하여, 다음과 같다.
![{\displaystyle ([({\vec {S}},{\vec {x}})])\in R\iff \left\{i\in I\colon {\vec {x}}_{i}\in R_{i}\right\}\in {\mathcal {U}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AoDG4oAa3zNzEz2nBa2eOzAa4zAiOajoOoDaPajK5agvFotsOnqiO)
이는
형의 구조를 이룬다는 것을 보일 수 있다.
만약 모든
가 공집합이 아니거나, 아니면
라면
에서
인 경우로 국한할 수 있다. 즉,
![{\displaystyle M=\left(\prod _{i\in I}M_{i}\right)/{\sim }}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9BzqvEnqwPzga4z2nEatsOntlFnjhCotCQyjlFnDoOaDJBzjm0ztdA)
으로 정의할 수 있다.
만약 모든
들이 같을 경우,
의 초곱을
의 초거듭제곱(超거듭제곱, 영어: ultrapower 울트라파워[*])이라고 한다.
워시 정리(영어: Łoś’ theorem)는 1차 논리의 명제가 초곱에서 성립할 필요충분조건을 제공한다. 부호수
의 구조의 집합
및 극대 필터
및
및
에 대한,
개의 자유 변수를 갖는 1차 논리 명제
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
![{\displaystyle M\models \phi ([{\vec {a}}])}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8QzDeNaDe0zjiQaqwOaNm1ytsPoNm3njm0zDBFyqi2ntzFz2w2yjC4)
![{\displaystyle \{i\in I\colon M_{i}\models \phi ({\vec {a}}_{i})\}\in {\mathcal {U}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80njCNajsOagsQztBDaDlEyteQytlEnDaPajiNate3ztJBaqrAaDBA)
이는 예르지 워시(폴란드어: Jerzy Łoś)가 증명하였다.
초곱
에서, 만약 사용되는 극대 필터가
의 주 필터
![{\displaystyle \uparrow i=\{S\subset I\colon i\in S\}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PzgzByqi4o2a4oNm1nja5yge5zqiQzAhEaNrCajnByqe1atCNaNG0)
라면, 초곱은 단순히
를 얻는다.
![{\displaystyle M\cong M_{i}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84nAs4zja2ztJDoAe0a2zDotdCzDlEztnFaqa1zDG5atJCzNo5ajwQ)
실수 집합
는 순서체의 형
의 구조이다. 실수의 집합의
개 초승은 실수의 모든 1차 논리적 성질들을 만족시키며, 이를 초실수라고 한다.