팽르베 방정식(영어: Painlevé transcendents)은 다음의 6개의 2차 비선형 해석적 상미분 방정식을 일컫는다.
![{\displaystyle P_{\rm {I}}:{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=6y^{2}+x}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NztCPo2sNaDCNygi0o2oPato5ytzEajvFoqs5zAeNoqoOa2wQaDeN)
![{\displaystyle P_{\rm {II}}:{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=2y^{3}+xy+\alpha }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80otw1ajvFnDC1oAo2ngwOaDhBaDFCzjdCnDs4zDiOzNvAoqw0ots1)
![{\displaystyle P_{\rm {III}}:{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {1}{y}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}-{\frac {1}{x}}{\frac {dy}{dx}}+{\frac {1}{x}}\left(\alpha y^{2}+\beta \right)+\gamma y^{3}+{\frac {\delta }{y}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Pzjo0aNG2oNe1aNm1ajC2z2w2zDK3yti1ntdAzjBBagvCzgoOnji5)
![{\displaystyle P_{\rm {IV}}:{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {1}{2y}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}+{\frac {3}{2}}y^{3}+4xy^{2}+2\left(x^{2}-\alpha \right)+{\frac {\beta }{y}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83ngo3ztCNngzCzgvFnqs4aqwPzDrDnArBzDwPzNC5agdEyjeNaqe5)
![{\displaystyle P_{\rm {V}}:{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=\left({\frac {1}{2y}}+{\frac {1}{y-1}}\right)\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}-{\frac {1}{x}}{\frac {dy}{dx}}+{\frac {(y-1)^{2}}{x^{2}}}\left(\alpha y+{\frac {\beta }{y}}\right)+c{\frac {y}{x}}+\delta {\frac {y(y+1)}{y-1}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84yjwOyja5ygnFnjBFzNhAyqdBntaPytiNnDzFytdCa2s0oqa0zDwP)
![{\displaystyle P_{\rm {VI}}:{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{y}}+{\frac {1}{y-1}}+{\frac {1}{y-x}}\right)\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}-\left({\frac {1}{x}}+{\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{y-x}}\right){\frac {dy}{dx}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NzNwNnjs0ntK3z2a3zqhDnjGNnjGQyqiNztsNzNwNoqaQaAnBzgvE)
![{\displaystyle +{\frac {y(y-1)(y-x)}{x^{2}(x-1)^{2}}}\left[\alpha +\beta {\frac {x}{y^{2}}}+\gamma {\frac {x-1}{(y-1)^{2}}}+\delta {\frac {x(x-1)}{(y-x)^{2}}}\right]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83njhDnDrBygvEythBaDCNzDhDnDaPzgnDoDC4nAw5zDKPataNngwP)
(※ α, β, γ, δ는 복소 상수이며, PI ~ PVI는 방정식의 이름을 나타낸다.)
이하의 정리는 폴 팽르베에 의한 것이다.
- R(a, b, c) 을 a의 도함수를 계수로 하는, b 와 c의 유리 함수라고 했을때,
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=R\left(x,y,{\frac {dy}{dx}}\right)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84aAwOnAiQntm2zDhDzqwPzNhAztmPatK4zjrFatBEyts0oqwNnDFC)
- 그것이 움직이는 분기점을 갖지 않는다면, 선형방정식, 타원함수의 방정식, 그 외에 구적가능(눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 특정 도형의 면적과 같은 면적을 가진 정사각형의 작도가 가능)한 방정식 및 팽르베 방정식 가운데 하나로 전개되게 된다.