수학에서 유한합(有限合, 영어: finite sum)은 유한 개의 수를 더한 결과를 뜻한다. 유한합의 표기에는 그리스 문자 시그마의 모양을 딴 기호
가 쓰인다.
유한 수열
의 유한합
![{\displaystyle \sum _{k=m}^{n}a_{k}=\sum _{m\leq k\leq n}a_{k}=a_{m}+a_{m+1}+\cdots +a_{n}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AytzBzjFBajw1nqo2nAdAzqiPntCQagsOatvBaja2aDC3nqeQyjeO)
은 이 수열의 모든 항을 더한 결과를 뜻하며, 다음과 같이 재귀적으로 정의할 수 있다.
![{\displaystyle \sum _{k=m}^{m-1}a_{k}=0}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9BoAe3aNm0nqvCzjsNoDKNaNo0ato1atm3oAhEyjGNo2zDntvAaqi1)
![{\displaystyle \sum _{k=m}^{n}a_{k}=a_{n}+\sum _{k=m}^{n-1}a_{k}\qquad (n\in \{m,m+1,m+2,\dots \})}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Oatm2athBaDBAothFnDdBzqhEyto2yjwQaNKOntlEzqaPate3aNdF)
보다 일반적으로, 유한 집합
로 첨수된 수들의 집합
의 유한합은 이 집합의 모든 원소를 더한 결과를 뜻하며, 다음과 같이 정의된다.
![{\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sum _{k=1}^{|I|}a_{f(k)}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80zDBAzDsNoNi5oNzBzjiPnDG5zgzDnDmQzjhFzgsPotGPzjlDatC3)
여기서
는
의 크기이며,
는 임의의 전단사 함수이다. 위 정의가 유효한 것은 위 합이 전단사 함수
의 선택과 무관하기 때문이다.
집합
및 그 위의 성질
에 대하여, 원소
가 성질
를 만족시킨다는 것을
로 쓰자. 만약 집합
가 유한 집합일 경우, 유한합
![{\displaystyle \sum _{i\in \{j\in I\colon P(j)\}}a_{i}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84nDrBntrFztiPnDiNa2w2aqwPaNw2aqa3ntnDatnCzDi0nqo1yji5)
는
![{\displaystyle \sum _{i\in I\colon P(i)}a_{i}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80aqdBzgePzjw2nDhBzqwOaghAzjzBzNKOati2aqzFnDC5zqe3aga4)
와 같이 표기할 수 있다.
합에 대한 성질을 나타내는 다음과 같은 항등식들이 성립한다.
- (점화식)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}=\sum _{k=1}^{m}a_{k}+\sum _{k=m+1}^{n}a_{k}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Co2nFaAzDa2w2a2wQa2sQyja1ztCPoqo5yjs3ztKNatw0yjdEaAaP)
- (덧셈의 보존)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(a_{k}\pm b_{k})=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\pm \sum _{k=1}^{n}b_{k}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82nAsNzNG4zqdCnjmPzje2atCNntG3ztJFzNrCntFEnAw5zNzAnjeP)
- (분배 법칙)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}ca_{k}=c\sum _{k=1}^{n}a_{k}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84yjwOngsOz2vBoDrFyqsNnjBAaqzDoNJByqw4zjlAatoOzDFFzNm2)
- (선형성: 이는 덧셈의 보존 및 분배 법칙의 일반화이다.)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(ca_{k}+c'b_{k})=c\sum _{k=1}^{n}a_{k}+c'\sum _{k=1}^{n}b_{k}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9BoDiQajzCzqo1ntFFo2wNaNmOo2zEnDw4zjBCzDw1ajK1otGQatJA)
- (푸비니 정리)
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{m}a_{i,j}=\sum _{{1\leq i\leq m} \atop {1\leq j\leq n}}a_{i,j}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81njFEyjC4zDK4ntCOz2s2oqeOngiQoDlDyqe4zjGQz2rEoDi5oqsO)
그러나 합은 곱셈과 나눗셈을 보존하지 않는다.
실수들의 유한합을 포함하는 다음과 같은 부등식들이 성립한다.
- (코시-슈바르츠 부등식)
![{\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PztaPotK4ngw4njhFzDdCoNa0oNaPzjzFygrByghBnDs3yja1aNJF)
- (횔더 부등식: 코시-슈바르츠 부등식은 이 부등식의 특수한 경우이다.)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|a_{k}b_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{k=1}^{n}|b_{k}|^{q}\right)^{\frac {1}{q}}\qquad p,q>1,\;{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EoNs4njzAntCQyjG3ytmNzDC4aDrBzjKOagvFoNhBo2w3ajs5nAdD)
- (민코프스키 부등식)
![{\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\sum _{k=1}^{n}|b_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\qquad p>1}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NaDC0ajlCnqdEaDe4yqe1yjdCa2zAo2e4zAs5zNCOyjdDaAo0yjw3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&\leq \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}(a_{i}^{2}b_{j}^{2}-2a_{i}a_{j}b_{i}b_{j}+a_{j}^{2}b_{i}^{2})\\&=2\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}-2\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}a_{j}b_{i}b_{j}\\&=2\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}b_{j}^{2}\right)-2\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}\end{aligned}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OzAePzDG1zNaOzgw4oDnDoAaOatePytK2zgvCzAsQzNeQnAw5ntw1)
영의 부등식에 따라 다음과 같이 증명할 수 있다.
![{\displaystyle {\frac {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|a_{k}b_{k}|}{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{j=1}^{n}|b_{j}|^{q}\right)^{\frac {1}{q}}}}=\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {|a_{k}|^{p}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}}}\right)^{\frac {1}{p}}\left({\frac {|b_{k}|^{q}}{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}|b_{j}|^{q}}}\right)^{\frac {1}{q}}\leq \sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{p}}{\frac {|a_{k}|^{p}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}}}+{\frac {1}{q}}{\frac {|b_{k}|^{q}}{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}|b_{j}|^{q}}}\right)={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Ozti5otlFaNe0njm5oAa0aqw2zAhDzjnFnDvFotK0ntC0oDhByjwN)
다음과 같은
를 취하자.
![{\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AnDo2ytw5ntC2a2zCztnDoNo2yjm4oNe2oqiOzqoPyjnFoNwQoNo5)
그렇다면, 이 부등식은 횔더 부등식을 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}&\leq \sum _{k=1}^{n}|a_{k}||a_{k}+b_{k}|^{p-1}+\sum _{k=1}^{n}|b_{k}||a_{k}+b_{k}|^{p-1}\\&\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{q(p-1)}\right)^{\frac {1}{q}}+\left(\sum _{k=1}^{n}|b_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{q(p-1)}\right)^{\frac {1}{q}}\\&=\left(\left(\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\sum _{k=1}^{n}|b_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{q}}\end{aligned}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84agzBzqo5zNsPote5ntw3ajC1zgdAaDmNoNo1atrAztGNzgvAnDhC)
일부 특수한 합은 더 간단한 꼴의 식으로 나타낼 수 있으며, 그 예는 다음과 같다.
- (상수열의 유한합)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}c=cn}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83zto2aje3aDe0ytwPzqiOytlCnqw0zNe0zAs3o2dDyta3aqo1aDFE)
- (등차수열의 유한합: 이를 삼각수라고 한다.)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84yjrCnDCNo2rEztK1otFDzNe4oqrEz2s5nje1otBCztC2zNC4oqoO)
- (제곱수의 유한합: 이를 사각뿔수라고 한다.)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Ooqo1z2a2zgsQzto0nDhCzDFDyjnEatwOzjnAzDsNajCNoqrCatG4)
- (세제곱수의 유한합: 이를 니코마코스 정리(영어: Nicomachus's theorem)라고 한다.)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83ntK5nto0yje0yjJAatG4zDsPoDK5zgvDyghDzqe1njzCyteQntdB)
- (네제곱수의 유한합)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{4}={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}={\frac {n^{5}}{5}}+{\frac {n^{4}}{2}}+{\frac {n^{3}}{3}}-{\frac {n}{30}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EnAhEoNG5zAdDaAnBoqwNyts2ntaPnjw5zqwOage2ygi1njlCaNe3)
- (다섯제곱수의 유한합)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{5}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}(2n^{2}+2n-1)}{12}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Ayta0zjmQzDi5a2aOygs3ntlFzNa5zNnCato1ntrEnqnBaNnCnjC1)
- (여섯제곱수의 유한합)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{6}={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{4}+6n^{3}-3n+1)}{42}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84oAnFzjoPoqzAo2s4zDJBoNC5aDi2ajzCothEyjJBzjnCzti5zgvA)
- (일곱제곱수의 유한합)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{7}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}(3n^{4}+6n^{3}-n^{2}-4n+2)}{24}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DaNeQztdCagwOoAoOoDm3zto5o2oPagsOoqo5yga3aDGPzqnFaNnD)
- (임의의 거듭제곱수의 유한합: 이를 파울하버 공식(영어: Faulhaber's formula)이라고 한다. 여기서
는
번째 베르누이 수이다.) ![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}=\sum _{k=0}^{p}B_{k}{\binom {p}{k}}{\frac {(n+1)^{p-k+1}}{p-k+1}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DagdDntFFa2s1zNdFoDvDnga4yts4oqi3ageQz2sPnjnDoNe0yqiQ)
항등식
![{\displaystyle (k+1)^{4}-k^{4}=4k^{3}+6k^{2}+4k+1\qquad (k\in \{1,\dots ,n\})}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84yjw3nqhFzAhEaAi0nAnCzDsPnga4nAaNaAnEaDzEzNw5ztiPnji0)
을 모두 더해서 정리해주면 위 공식과 같은 결과가 도출된다.
- (조화수열의 유한합: 이를 조화수라고 한다.)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}dx=H_{n}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OajJEaqi1zAs1aDeOoqzAoAw1ajK2aDdFyqsNnAaQnteOaNm5oqrE)
- (등비수열의 유한합)
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a^{k}={\frac {1-a^{n+1}}{1-a}}\qquad a\neq 1}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82ajC5z2wPoAo1nDsOzAiOaNw1zjG0ata5oqw5zjK4aqi4njlDztdB)
- (등차-등비 수열의 유한합)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}ka^{k}={\frac {a-(n+1)a^{n+1}+na^{n+2}}{(1-a)^{2}}}\qquad a\neq 1}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AoNeNoqo4age2oAo1otmOoNrAntFAzDG5oAvFatsNo2i0yjC1o2hF)
- (삼각 함수의 유한합: 이를 디리클레 핵(영어: Dirichlet kernel)이라고 한다.)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\cos k\theta =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sin \left(n+{\dfrac {1}{2}}\right)\theta }{2\sin {\dfrac {\theta }{2}}}}\qquad \theta \neq 0}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DzjaQoqrEyqaPzqhBytrBoNdBnjGOzAdEaqvCnAe2oAoNyta0z2vB)
- (이항 계수의 유한합)
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}=2^{n}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Onjo1aNo2oNo0aAiNytnByqdCngiPntJAotGPntG4ztiQnqdCaNs2)
![{\displaystyle \sum _{p=k}^{n}{\binom {p}{k}}={\binom {n+1}{k+1}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DaNCNotoPatC3otC2aDBBotvDoDaPato0ytvEztlEzNC1oqwPa2dF)
- (하강 계승의 유한합)
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}n^{\underline {k}}=\lfloor n!e\rfloor }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Dz2sNztBDnAsQoNdFnDwQnge0aqdEntaNoAvCygzEaDKQyjGQaDs2)