복소해석학에서 피카르의 대정리(영어: Picard’s great theorem)와 피카르의 소정리(영어: Picard’s little theorem)는 정칙 함수의 특이점 근처에서의 상에 대한 정리다.
리만 곡면
및 점
가 주어졌다고 하고, 정칙 함수
![{\displaystyle f\colon \Sigma \setminus \{z_{0}\}\to {\widehat {\mathbb {C} }}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84aDs0zqzBzja0yge4atJFytwNnjmOzArEa2w0yjBCzNK3oNK2ngo5)
가
에서 본질적 특이점을 갖는다고 하자. 피카르의 대정리에 따르면, 다음 성질을 만족시키는 두 점
이 존재한다.
- 임의의 근방
및 임의의
에 대하여,
인
가 존재한다.
따름정리[편집]
피카르의 소정리에 따르면, 만약
가 정칙 함수라면, 다음 세 명제 가운데 하나가 성립한다.
![{\displaystyle f(\mathbb {C} )=\mathbb {C} }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9BzghCz2aQzjnBzDlFythCzDvBaDnFoDw0oqvDzga3ots5zji1yjo4)
![{\displaystyle \exists w_{0}\in \mathbb {C} \colon f(\mathbb {C} )=\mathbb {C} \setminus \{w_{0}\}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81oqwQzNa5yto0ygzAoNs0aNs2yqe0aga1zAwNa2e5nDvFajG0zgdF)
![{\displaystyle \exists w_{0}\in \mathbb {C} \colon f(\mathbb {C} )=\{w_{0}\}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Bygi0oqo1ytnCzAhEoNoNntw0a2i3ytK4ytdCytGNzjo2ygw3ztiP)
이는 리우빌 정리를 강화한 것이다.
피카르의 소정리는 피카르의 대정리의 따름정리이다. 즉,
이며
라고 하자. 그렇다면
는 무한대에서의 성질에 따라 다음과 같은 세 가지 경우로 분류된다.
- 만약
가 무한대에서 정칙 함수라면, 리우빌 정리에 따라
는 상수 함수이다.
- 만약
가 무한대에서 극점을 갖는다면,
는 다항식이다. 이 경우 대수학의 기본정리에 따라
이다.
- 만약
가 무한대에서 본질적 특이점을 갖는다면, 피카르의 대정리에 따라
의 꼴이며,
이므로
로 놓을 수 있다.
함수
는
에서 본질적 특이점을 갖는다. 이 경우, 피카르의 대정리에 의하여 존재하는 두 값들은
![{\displaystyle \{w_{1},w_{2}\}=\{0,{\widehat {\infty }}\}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83ntC4nAoPaAe5nDsNzte1zAa2nAi4aAiQzjlDzqrAygzDzNKOo2nD)
이다.
위 예에 뫼비우스 변환을 가해,
가 임의의 값을 갖는 예를 찾을 수 있다.
에밀 피카르의 이름을 땄다.
참고 문헌[편집]
외부 링크[편집]