Прејди на содржината

Отсечка

Од Википедија — слободната енциклопедија
Отсечка e дел од права

Во геометријата, отсечка се опишува како дел од права помеѓу две посебни точки на правата. Отсечка секогаш ги содржува сите точки помеѓу крајните точки, а може, но не мора да ги содржи едната или двете крајни точки.[1]

  • Во Евклидовата геометрија, за посебни (дистинктни) точки А и В, постои една единствена отсечка со крајни точки А и B и истата се означува со  .
  • Отсечка е еднодимензионален објект, т.е. има 0 ширина и 0 висина.
  • Отсечка има краеви така да има одредена должина која е растојанието помеѓу крајните точки.

Дефиниција на отсечка

[уреди | уреди извор]

Нека А и В се две посебни точки. Отсечката е множеството на сите точки     каде што    .

Средина (средна точка) на отсечка

[уреди | уреди извор]
С e средната точка на отсечката -
Оди на интерактивноста
[2]

Нека А и В се две посебни точки. Тогаш средина, односно средната точка на отсечката     е точката    .

  • Во 2-димензионален простор:   .
Средната точка е:  . 

Пример: Нека и . Средната точка на отсечката   e:   .

  • Забележете дека ова е точката C од дефиницијата C=A(1-t)+Bt каде што t=0.5, т.е. на средината на интервалот [0,1].

Пропорционалноста важи и потаму. На пример, се заменува t=13 за да се добие точката C на отсечката која е 13 од патот од А до Во:    .

Должина на отсечка

[уреди | уреди извор]
Доказ: Должина на отсечка со Питагорова теорема

Должината на e и растојанието помеѓу А и В. Истата се означува со .

Во 2-димензионален простор:

  • Должина на отсечка паралелна со х-оската, односно со крајни точки A=(x1,y) и B=(x2,y) со истата у-координата и x2>x1 е:   .
  • Должина на отсечка паралелна со y-оската, односно со крајни точки A=(x,y1) и B=(x,y2) со истата x-координата и y2>y1 е:   .
  • Точки:     .   Должината на   е:  
  

Пример: Нека и . Должината на отсечката   e:   .

Во 3-димензионален простор:

  • Точки:     .   Должината на   е:  

Доказ: Се користи Питагорова теорема.[3]

  • Во 2Д: Во анимацијата е опишана наједноставната верзија каде што x2>x1 и y2>y1. За произволни точки А и В, едноставно треба да се додава апсолутна вредност околу двете разлики |x2 - x1| и |y2 - y1|. Потоа по примена на Питагорова теорема и поради тоа што (|x|)2=x2, знаковите за апсолутна вредност се бришат како непотребни.
  • Во 3Д: Двапати се користи Питагорова теорема. Најпрво се формира помошна точка со истата z-координата како А така да А и B' лежат на истата рамнина z=z1. Се користи формулата од 2Д, односно Питагорова теорема со што . Сега повторно се корисити Питагорова теорема на триаголникот со темињата А, B' и В забележувајќи дека   за да се доби дадената формула.

Крајни точки

[уреди | уреди извор]

Крајните точки можат, но не морат да бидат вклучени во отсечката. Геометриски тоа се означува со полни или празни кружници, т.е.

  • крајна точка е вклучена во отсечката ако точката е означена со полна кружница и
  • крајна точка е исклучена во отсечката ако точката е означена со празна кружница и

Има 4 можни случаи.

  • затворена отсечка каде што двете крајни точки се вклучени,
  • отворена отсечка каде што двете крајни точки се исклучени,
  • полуотворена отсечка каде што почетната крајна точка е вклучена, а крајната крајна точка е исклучена и
  • полуотворена отсечка каде што почетната крајна точка е исклучена, а крајната крајна точка е вклучена.

Затворена отсечка
C=A(1-t)+Bt, t ∈ [0,1]

Отворена отсечка
C=A(1-t)+Bt, t ∈ (0,1)

Полуотворена отсечка
C=A(1-t)+Bt, t ∈ [0,1)

Полуотворена отсечка
C=A(1-t)+Bt, t ∈ (0,1]

Ориентирана отсечка

[уреди | уреди извор]

При дефиницијата: C=A(1-t)+Bt, t ∈ [0,1] следува дека

  • Кога t=0, C=A e почетната точка на отсечката, а
  • Кога t=1, C=В e крајната точка на отсечката.

Тоа значи дека самиот интервал t ∈ [0,1] ја ориентира, т.е. ја усмерува отсечката од А до В.[4]

Параметарски облик на отсечка

[уреди | уреди извор]

Нека се дадени две точки А(x1,y1,z1) и B=(x2,y2,z2).

   каде што  ,    [5]

(Во 2-димензионален простор се отфрлува се со z-координатите.)

Отсечка и векторски простори

[уреди | уреди извор]

Ако V е векторски простор над или , и L е подмножество на V, тогаш L е (затворена) отсечка ако L може да се пиши во параметарски облик како:     за некои вектори . Во тој случај векторите u и u + v се викаат крајните точки на L. (Ако t ∈ (0,1), отсечката е отворена.) [6]

Литература

[уреди | уреди извор]
  1. „Line Segment“. Math Open Reference. интерактивен (англиски)
  2. „Отсечка“. Л.Стојановска. интерактивен (македонски)
  3. http://www.regentsprep.org/Regents/math/geometry/GCG3/Ldistance.htm Архивирано на 8 септември 2013 г. (англиски)
  4. C.Clapham, J.Nicholson (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics“ (PDF). Addison-Wesley. Directed Line Segment стр.237 (англиски)
  5. http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/LineIntegralsPtI.aspx (англиски)
  6. http://planetmath.org/LineSegment (англиски)

Поврзани теми

[уреди | уреди извор]

Надворешни врски

[уреди | уреди извор]