Naar inhoud springen

Eenheidswortel

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
De drie 3e eenheidswortels in het complexe vlak
Plot van
 nulpunt
Plot van

In de wiskunde zijn voor een gegeven positief geheel getal de complexe -de eenheidswortels alle complexe getallen die 1 opleveren, als zij tot de macht worden verheven. De eenheidswortels worden ook de Moivre-getallen genoemd, naar Abraham de Moivre. In een commutatieve ring met eenheid een wordt op dezelfde wijze een eenheidswortel gedefinieerd.

De complexe -de eenheidswortels liggen op de eenheidscirkel van het complexe vlak en zij vormen in dat vlak -zijdige regelmatige veelhoeken met een hoekpunt op 1 en het middelpunt op 0. De -de eenheidswortels zijn een nulpunt van .

In een commutatieve ring met eenheid heet een element een -de eenheidswortel, als , of anders gezegd, als een nulpunt is van .

Een -de eenheidswortel wordt primitief genoemd, als voor . De primitieve -de eenheidswortels zijn die , waarvoor en relatief priem zijn.

De -de eenheidswortels in vormen een ondergroep van de vermenigvuldigingsgroep , die vaak met wordt aangegeven. Deze groep is een abelse groep en wordt een cirkelgroep genoemd.

De complexe -de eenheidswortels zijn de complexe getallen

De drie 3e eenheidswortels zijn geschreven met de stelling van De Moivre:

en