Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Halfwaardebreedte (FWHM,full width at half maximum) De halfwaardebreedte is de breedte van een piek in een functie op zijn halve hoogte, dat wil zeggen het verschil tussen de punten waarin de functie de halve hoogte van de piek bereikt. In het Engels wordt hiervoor de afkorting FWHM (full width at half maximum ) gebruikt.
De functie
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
m
a
x
{\displaystyle x_{max}}
x
1
{\displaystyle x_{1}}
x
2
{\displaystyle x_{2}}
f
(
x
1
)
=
f
(
x
2
)
=
1
2
f
(
x
m
a
x
)
{\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})={\tfrac {1}{2}}f(x_{max})}
De halfwaardebreedte is dan
|
x
1
−
x
2
|
{\displaystyle |x_{1}-x_{2}|}
De kansdichtheid van de
N
(
0
,
σ
2
)
{\displaystyle N(0,\sigma ^{2})}
f
(
x
)
=
1
σ
2
π
e
−
x
2
2
σ
2
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}
Het maximum van
f
{\displaystyle f}
f
(
0
)
=
1
σ
2
π
{\displaystyle f(0)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}}
De halve waarde hiervan wordt bereikt voor:
f
(
x
)
=
1
2
σ
2
π
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\sigma {\sqrt {2\pi }}}}}
dus
e
−
x
2
2
σ
2
=
1
2
{\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}={\tfrac {1}{2}}}
waaruit volgt:
x
2
=
2
σ
2
ln
2
{\displaystyle x^{2}=2\sigma ^{2}\ln 2}
De halfwaardebreedte is dus:
2
σ
2
ln
2
≈
2,355
σ
{\displaystyle 2\sigma {\sqrt {2\ln 2}}\approx 2{,}355\sigma }
