Komplekst tall

De komplekse tallene er tall som inneholder både en reell del og en imaginær del.

Komplekse tall skrives vanligvis på formen:

a+bi\,

Der

a og b er reelle tall
i er den imaginære enhet

Ved hjelp av dette kan etvert komplekst tall identifiseres med et punkt i det komplekse planet. X og Y-aksen byttes ut med henholdsvis en reell og en imaginær akse. Tallet a +bi tilsvarer da punktet (a,b).

I det komplekse tallplanet kan tallene gis en geometrisk form:

z=r(\cos v+i\sin v)\,

Der

z = a +bi
a = rcos v
b = rsin v
$r=|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$
v er vinkelen moturs mellom den reelle aksen og linjen fra origo til punktet (a,b)

Leonhard Euler har gitt navn til en annen skrivemåte for komplekse tall. Eulers ligning forenkler det hele, ved at man kan angi z på formen:

z=re^{iv}\,

Der

e er basen for eksponensialfunksjonen

Den algebraiske skrivemåten (z = a +bi) er praktisk for elementær regning, siden for exempel (a +bi) + (c +di) = (a + c) + i(b + d), men blir komplisert ved multiplikation.

Eksponentialformen (z = re^iv) er praktisk for multiplikation og analyse, siden de vanligen eksponensialregnene gjelder:

r_{1}e^{iv}\cdot r_{2}e^{iu}=r_{1}r_{2}e^{i(v+u)}

og

{\frac {r_{1}e^{iv}}{r_{2}e^{iu}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}e^{i(v-u)}

Hvis et komplekst tall tolkes som en vektor gis multiplikationen enligt ovan betydningen att om z multipliseres med re^iv, så forlenges vektoren med faktor r og vrides moturs med vinkel v.

Se også