Norsk WP, såpebobler. Såpeboble har forskjellig trykk på innside og utside. Derfor er såpeboble flate med mean curvature different from zero. Men en såpefilm har samme trykk på begge sider og er derfor flate med zero mean curvature different som forklart på engelsk WP.
NN, Surface tension, mange anvendelser i WikiWorks 2019
Feynman lectures, Electrostatic analogs, Vol II, Chap 12, derives equation for minimal surface.
Feynman lecture, The flow of dry water, Vol II, Chap 40, derives Euler eps for hydrodynamics and vorticity. If no vorticity ω = 0, velocity field v can be found from a potential that satisfies Laplace eq when incompressible.
Nynorsk WP har side Minimalflate, mens norsk WP skriver bare om såpe og såpebobler. Det heter såpehinne som benyttet av Vitensenteret NTNU som også inneholder litt historie og referanser, bl.a. C.V. Boys, Fysikk med såpebobler, J.W. Cappelens Forlag (1963). In WikiWorks 2019.
Perhaps also write about Helmholtz equation. På tysk Wikipedia er set god diskusjon om løsning av inhomogen Helmholtz eq giving steady state radiation solution. Also with Green function method. Can be used for Tvungen oscillasjon. Eller legge til ny seksjon for løsing av inhomogen bølgeligning i bølgeligning?
Jacques Dutka, On the Early History of Bessel Functions, Archive for History of Exact Sciences 49 (2), 105-134 (1995).
J. Calvert, Essentials of Bessel Functions, with very nice examples and references to books to check. Also half-integer Bessel functions ~ spherical Bessel functions. On Oslo Desktop as Bessel Functions.
O. Darrigol, The acoustic origins of harmonic analysis, Arch. Hist. Exact Sci. 61, 343–424 (2007). With full detailed story, also how Euler derived wave equation for longitudinal vibrations of string, and how Fourier came to his analysis of heat conduction. Stored in iCloud.
Wikipedia, Wave packet, also with 3-dim Gaussian example. Italian version also very useful! Also French version which introduces dispersion and derives group velocity in 3-dim.
Wave eq. for sound is directly derived from cont. eq. and Euler equation in Wikipedia Acoustic wave equation. Also from
Navier-Stokes in Wikipedia Euler-Gleichungen.
Istedetfor ny side om transverse og longitudinelle bølger, skriv en om mekaniske bølger. Se f.eks. engelsk Wikipedia, Mechanical wave, kan være godt utgangspunkt for å skrive først generelt om elastisk bølger og så gå til vannbølger og lydbølger. Generell innføring er gitt på spansk Wikipedia Onda Mecanica samt flere detailer på
engelsk Wikipedia, Acoustic theory, great details also for elastic waves.
Mer generell fremstilling av kontinuumsmekanikk med detaljert Euler- og Lagrange-beskrivelse gitt på engelsk Wikipedia Continuum mechanics. Enda bedre tysk versjon Kontinuumsmechanik. Med enklere forklaring på spansk versjon. Kan være godt utgangspunkt både for fluid and solid mechanics.
Engelsk WP, Sound power, defined by Landau-Lifshitz Hydrodynamics as P = Af⋅v = Apu⋅v where u is unit vector normal to surface element A and v is particle velocity. Net result is that power P = Ap2/ρ c.
NN, Equations of hydrodynamic, straightforward with a bit history, stressing that also need energy conservation eq. Derives wave equation for sound in moving fluid. Stored in iCloud. Wave eq. for sound from Navier-Stokes also derived at end of German Wikipedia Euler-Gleichungen.
Norsk Wikipedia, Kontinuumsmekanikk, hvor den engelske er innholdsrik, Lagrange- og Euler-beskrivelse, også på Catalan versjon
Simon J.A. Malham, Introductory fluid mechanics, excellent med detaljert utledning av integrasjonsnvolume som forbinder moving volume with fluid to fixed volume in fluid.
O. Darrigol, From Newton's mechanics to Euler's equations, first chapter of Olivier Darrigol, Worlds of flow: A history of hydrodynamics from the Bernoullis to Prandtl, Oxford University Press (2005). Savesdin iCloud as Hydrodynamic history Darrigol.
Tysk Wikipedia, Cauchy-Euler Bewegungsgesetze, hvor Lagrange-koordinater er upper Ca and Euler are lower case. Også integrasjonsvolum for Euler-beskrivelse beveger seg og man må bruke Reynolds teorem, holdes volumet fast ved Lagrange-beskrivelse.
Tysk Wikipedia, Spannungstensor, i Diskusjon er definisjon av indeksene gjenomgått med alternative figur.
Catalan Wikipedia, Wave equation, også på spansk, with figure:
Italiensk Wikipedia, Bølgeligning kaller wave equation for d'Alembert's equation med henvisning til Landau-Lifshitz, Theory of Fields. Har også link tip annen, relatert artikkel Onda fisica. Contains also ref to d'Alembert's original papers:
Norsk Wikipedia, Mekanisk energi må også utvides og kobles til forrige artikkel.
Tysk Wikipedia, Energieerhaltungssatz med pen utledning av bevarelse av kinetisk og pot energi. Med utledning av kinetisk energi, kan bruke eksempel med fallende partikkel som her på tysk Wikipedia.
I den gamle mekanikkboken av Shames (i Berlin) er det i kap.13 ganske god diskusjon om rakett som skytes opp fra Jorden i retning som danner vinkel med jordoverflaten.
Einstein Papers, Elementare Theorie der Wasserwellen und des Fluges, Die Naturwissenschaften 4, 509-510 (1916) - Published 25 August, thus at very beginning of World War I Meget enkel forklaring ved bruk av Bernoulli satz alene! Gir også forklaring på hvorfor flagg blafrer i vinden!! I samme forbindelse har jeg sett på internett at Einstein var med på enkle eksperiment av denne typen i Berlin, og var listet som rådgiver av et flyfirma....
God fremstilling på riktig nivå er Equations of hydrodynamic, straightforward with a bit history, stressing that also need energy conservation eq. Derives wave equation for sound in moving fluid. Stored in iCloud.
Et annet, godt utgangspunkt er den gamle boken til Shames i Berlin, den fra NTH. Først diskuter hastighetsfelt v = v(x,t). Kanskje først diskuter strømlinjer etc a la McIntyre Lecture 1 in Dropbox. Hastighetsfeltet er bare et eksempel på et generelt felt Θ(x,t) som kan være skalart, vektor eller tensorfelt. For observatør som følger væsken blir den totalderiverte = materialderiverte
For eksempel, når Φ beskriver konsentrasjon av en dråpe blekk som ikke sprer seg utover pga diffusjon, men følger vannet, vil d Φ/dt = 0.
Kalles også den totalderiverte og betegnes også med D/Dt istedetfor d/dt. Shames bruker d/dt som også jeg foretrekker.
Den medfølgende deriverte, den materialderiverte, den substansderiverte av hastigheten er akselerasjonen
Hydrodynamikk ble grunnet av Euler ca. 1750 da han ennå var i Berlin. Grunnleggende utgangspunkt var 1) massebevarelse som gir kontinuitetesligning samt 2) Newton's andre lov. Første hundre år senere ble det vist av Laplace? at disse ligningene ikke er tilstrekkelige i mange tilfelle, må i tillegg benytte 3) energibevarelse. I vanlig mekanikk for partikler og stive legemer følger det fra Newton, men ikke for deformerbare medier.
Betrakt et volume V som ikke beveger seg, omgitt av en flate A som har normal n som peker utover. Massen innenfor volumet er da gitt ved volumintegralet
og varierer i allminnelighet med tiden. En slik forandring beskrives da ved at tettheten ρ = ρ(x,t) forandrer seg med tiden. Forandringen skyldes at væske kan flyte ut gjennom overflaten A. Hvis man betrakter et lite flateelement ΔA, strømmer det ut en mengde ρv⋅nΔAΔt i løpet av en liten tid Δt. Integrerer man over hele flaten, finner man at
er den total utstrømning gjennom overflaten. Derfor forandrer massen inni volumet seg med
Tidsderivasjonen kan her bli tatt inn i integralet da volumet V er uforanderlig. Intregralet på høyre side kan nå også ved bruk av Gauss' integralteorem skrives som et volumintegral. Sammenligner man så begge sidene av ligningen, følger at
Dette er kontinuitetsligningen og uttrykker bevarelse av masse. Den er i hydrodynamikken alltid gyldig.
Hvis man utfører derivasjonen i det siste leddet, tar ligningen formen
Her danner de to første leddene de totalderiverte av tettheten slik at man kan skrive
En inkompressibel væske er definert ved at denne medfølgende deriverte er null slik at tettheten oppleves konstant for en observatør som følger med dens bevegelse. Derfor er
for en slik væske. Mange problemer for væsker av denne store klassen lar seg enklere matematisk behandle.
På samme måte kan man også beregne forandringen av den totale impulsen
til væsken i volumet V. Newtons andre lov sier at denne kan forandres av krefter som virker på væskemassen når man også tar hensyn til at impuls kan forsvinne ved å forlate volumet gjennom overflaten. Vanligvis er det tyngdekraften med tyngdeakselerasjoneng = - ∇Φ som virker på hver væskepartikkel inni volumet og trykket p = p(x,t) som virker på overflaten A av væskevolumet. Den totale kraften som virker på det er da gitt ved summen
I tillegg tar væsken som strømmer gjennom overflaten med seg simpulsen
Den totale impulsbalansen blir dermed
De to overflateintegralene kan igjen skrives som volumintegral. Sammenligner man de forskjellige leddene i ligningen, finner man da for i-te komponent av impulsen
ved å benytte Einsteins summekonvensjon for summasjon over to like indekser. Utfører man derivasjonene på venstre side, kan ligningen skrives om til
Men her er det andre leddet lik null fra kontinuitetsligningen, mens det første leddet er den medfølgende akselerasjonen. Dermed kan resultatet skrives som
Dette er den fundamentale bevegelsesligningen i hydrodynamikken og kalles for Euler-ligningen etter Leonhard Euler som utledet den.
Se Equations of hydrodynamic p.10-12.
Total energi i volume V er integralet av ρ(u + v2/2) hvor u er tetthet av indre energi.
Spesifikk energi ε er energi per masseenhet,
Nå termodynamikkens første lov er
Siste ledd kan skrives om ved bruk av kontinuitetsligningen slik at
Det betyr at energibevarelse medfører at entropitettheten s til væsken holder seg konstant når den blir målt av en medfølgende observatør,
Sykloidisk pendel på italiensk Wikipedia Pendolo. Også en del brukbart stoff på spansk Pendulo.
The motion of an undamped pendulum approximates to simple harmonic motion if the angle of oscillation is small.A simple pendulum exhibits approximately simple harmonic motion under the conditions of no damping and small amplitude.
1) Om pendel i alminnelighet, og noen anvendelser i ur. Også nevne her fysisk pendel som er et legeme som svinger om et punkt som ikke er tyngdepunktet. Se tysk beskrivelse Physikalisches pendel.
2) Matematisk pendel eller ideell pendel, som finnes allerede på nynorsk. På bokmål er den omdirigert til harmonisk oscillator. Her kan jeg ta med beskrivelse med Jacobi-funksjoner.
Norske lærebøker i fysikk kan være disse. Mer spesifikt innhold.
Niels Petter Callin, Cathrine Wahlstrøm Tellefsen, Svein Haagensen, Jan Pålsgård, Rune Stadsnes, ERGO Fysikk 1, Aschehoug, Oslo (2007). ISBN 9788203335051.
Niels Petter Callin, Cathrine Wahlstrøm Tellefsen, Svein Haagensen, Jan Pålsgård, Rune Stadsnes, ERGO Fysikk 2, Aschehoug, Oslo (2008). ISBN 9788203337208.
Fritjov Irgens (1999). Dynamikk (4. utg.). Tapir. s. 51. ISBN 82-519-1500-7.
Robert Resnick, David Halliday, Jearl Walker: Fundamentals of Physics for bevegelsesligning som også må rettes opp.
P. Nastasi and R. Tazzioli, Toward a scientific and personal biography of Tullio Levi-Civita (1873–1941), Historia Mathematica 32, 203–236 (2005). Stored as Levi-Civita bio. Science Direct online
June Barrow-Green, Oscar II's Prize Competition and the Error in Poincaré's on the Three-Body Problem, Archive for History of Exact Sciences 48, 107-131 (1994).
Albert Einstein et Marcel Grossmann, Entwurf einer verallgemeinerten Relativitätstheorie und einer Theorie der Gravitation, Zeitschrift für Mathematik und Physik 62, 225-261 (1913). Engelsk oversettelse.
A. Einstein et M. Grossmann, « Kovarianzeigenschaften der Feldgleichungen der auf die verallgemeinerte Relativitätstheorie gegründeten Gravitationstheorie », Zeitschrift für Mathematik und Physik 63, 215-225 (1914).
John Stillwell, Sources of Hyperbolic Geometry, med opprinnelige artikler til Beltrami pluss mye mer. Contains also biography of Elie Cartan and Riemann.
TU Berlin, Linear elasticity, lecture. Generell utledning av elastisk bølgeligning. Godo for upgrading of Hooke's law. Reduserer til S- og P-bølger i homogent medium. Discusses Christoffel equation and Christoffel matrix.
D.L. Anderson, Caltech, Anisotropy, Chapter 15 of textbook Theory of the Earth, Blackwell Scientific Publications, Boston (1989). ISBN 978-0-86-542335-0. Hele boken linger her.
Heinbockel, Tensor Calculus for Continuous Media, contains also 2-dim surface geometry and Euler-Lagrange coordinates at the end. Stored as Tensor-ContMedium in Berlin.
C. Lane, Wave Propagation in Anisotropic Media, part of Ph.D. thesis, Springer International Publishing, Basel (2014). ISBN 978-3-319-02517-9. Short history of shock wave theory and ref to Christoffel paper on Christoffel equation. Stored in iCloud.
E,B. Christoffel, Untersuchungen über die mit dem Fortbestehen linearer partieller Differentialgleichungen verträglichen Unstetigkeiten, Ann. Math. 8 (2), 81-113 (1877)
A. Einstein und M. Grossmann, Entwurf einer verallgemeinerten Relativitätstheorie und einer Theorie der Gravitation, Zeitschrift für Mathematik und Physik 62, 225–261 (1913). First exposition of Ricci Calculus (1913). Entwurf paper.
MIT, Intro tensors and covariant derivatives, good explanation for going to locally flat coordinates will be left with 6 variables corresponding to local Lorentz-transformations.
