Relacja trychotomiczna

Relacja trychotomiczna – antysymetryczna, spójna i przeciwzwrotna relacja binarna. Jej przykładem jest porządek liczb rzeczywistych.

Definicja

Niech $X$ będzie zbiorem. Relację ${\mathcal {R}}\subseteq X\times X$ nazywamy relacją trychotomiczną wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona:

• antysymetryczna:

$\forall \;x,\,y\in X:\;(x\,{\mathcal {R}}\,y\wedge y\,{\mathcal {R}}\,x)\Rightarrow x=y,$

• spójna:

$\forall \;x,\,y\in X:\;x\,{\mathcal {R}}\,y\vee y\,{\mathcal {R}}\,x\vee x=y,$

• przeciwzwrotna:

$\forall \;x\in X:\;\lnot \;x\,{\mathcal {R}}\,x.$

Równoważnie, relacja ${\mathcal {R}}$ jest trychotomiczna wtedy i tylko wtedy, gdy:

$\forall \;x,\,y\in X:\;(x\,{\mathcal {R}}\,y\;\wedge \;\lnot \;y\,{\mathcal {R}}\,x\;\wedge \;\lnot \;x=y)\;\vee \;(\lnot \;x\,{\mathcal {R}}\,y\;\wedge \;y\,{\mathcal {R}}\,x\;\wedge \;\lnot \;x=y)\;\vee \;(\lnot \;x\,{\mathcal {R}}\,y\;\wedge \;\lnot \;y\,{\mathcal {R}}\,x\;\wedge \;x=y).$

Relacja ${\mathcal {R}}$ jest trychotomiczna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $x,\,y\in X$ zachodzi dokładnie jeden z warunków: $x\,{\mathcal {R}}\,y$ albo $y\,{\mathcal {R}}\,x$ albo $x=y.$

Przykłady

• Relację ostrego porządku definiuje się jako relację przechodnią, przeciwzwrotną i spójną (w myśl powyższej definicji spójności, która nie implikuje zwrotności). Przechodniość i przeciwzwrotność implikują antysymetryczność, stąd relację ostrego porządku można równoważnie zdefiniować jako relację przechodnią i trychotomiczną.

Zobacz też

• porządek liniowy