Przejdź do zawartości

Długość krzywej

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Długość łuku)
Przybliżanie krzywej za pomocą łamanych, zwane rektyfikacją krzywej.

Długość krzywej w przestrzeni euklidesowej (i ogólnie w przestrzeni metrycznej) można wyznaczyć w sposób przybliżony za pomocą łamanej, złożonej z odcinków prostoliniowych, łączących wybrane punkty krzywej. Im więcej odcinków ma łamana, tym dokładniej przybliży krzywą. Długością krzywej nazywa się graniczną wartość, do jakiej zbiegają długości łamanych o rosnącej liczbie odcinków, przybliżających tę krzywą. Ściślejszą definicję, opartą na powyższym opisie, podano dalej. Nie wszystkie jednak krzywe mają tę własność, że granica taka istnieje; przykładem są krzywe fraktalne (por. krzywa Kocha, krzywa Peana itp.)

Krzywa prostowalna ma długość równą długości odcinka prostoliniowego, na który można przekształcić krzywą.

Rozwój geometrii analitycznej doprowadził do odkrycia równań parametrycznych, za pomocą których opisuje się krzywe płaskie, krzywe w przestrzeni 3-wymiarowej, a w ogólności w przestrzeniach n-wymiarowych. W konsekwencji wyprowadzono wzory na obliczanie długości tak opisanych krzywych w sposób analityczny.

W przypadku ogólnym rozważa się krzywe w przestrzeniach metrycznych nieeuklidesowych. Długości krzywych w tym wypadku określa się z uwzględnieniem tensora metrycznego.

Definicja długości krzywej w przestrzeni euklidesowej

[edytuj | edytuj kod]

Na krzywej zadajemy punktów ustawionych kolejno wzdłuż krzywej zaczynając od jej jednego końca i poruszając się do drugiego końca, przy czym punkty oraz umieszcza się odpowiednio na początku i na końcu krzywej. Niech oznacza sumę długości odcinków łamanej, wyznaczonej przez punkty tj.

gdzie jest długością odcinka o końcach

Jeżeli powyższa suma zmierza do ustalonej granicy dla rosnącego do nieskończoności, to graniczną wartość tej sumy nazywamy długością krzywej , tj.

Dowodzi się, że długość krzywej nie zależy od wyboru punktów łamanych, przybliżających daną krzywą

Krzywą której można w ten sposób przypisać długość, nazywa się krzywą prostowalną (lub rektyfikowalną).

W przeciwnym wypadku krzywą nazywa się nieprostowalną (nierektyfikowalną).

Parametryzacja krzywych

[edytuj | edytuj kod]

Efektywnego opisu krzywych dostarcza geometria analityczna. Jedną z metod opisu krzywych jest opis za pomocą równań parametrycznych.

Niech będzie krzywą w przestrzeni euklidesowej -wymiarowej (lub ogólnie: w przestrzeni metrycznej) Istnieje wtedy funkcja wektorowa jednej zmiennej nazywana parametryzacją, która każdej liczbie przypisuje wzajemnie jednoznacznie współrzędne kartezjańskie każdego punktu krzywej Oznacza to, że:

A. dla parametryzacji krzywych płaskich trzeba podać dwie funkcje parametru

B. dla parametryzacji krzywych w przestrzeni 3-wymiarowej trzeba podać trzy funkcje parametru

C. dla krzywych w przestrzeni n-wymiarowej trzeba podać funkcji parametru

Długość łuku s spirali logarytmicznej w funkcji kata θ, będącego parametrem definiującym spiralę. Długość łuku s jest parametrem naturalnym spirali.

W ogólności można opisywać krzywe za pomocą współrzędnych krzywoliniowych, jak współrzędne biegunowe, sferyczne itd.

Przykłady: parametryzacja krzywych płaskich

[edytuj | edytuj kod]

Elipsa

[edytuj | edytuj kod]

Równania parametryczne definiujące elipsę mającej środek w początku układu współrzędnych i główną oś wzdłuż osi o półosiach oraz jest funkcja mają postać

Funkcja parametrowi jednoznacznie przypisuje jeden punkt elipsy na płaszczyźnie

Spirala logarytmiczna

[edytuj | edytuj kod]
Linia śrubowa prawoskrętna (cos t, sin t, t) dla t od 0 do 4π; strzałki pokazują kierunek wzrostu t

Równania parametryczne spirali logarytmicznej są następujące:

gdzie – stałe, określające wymiary spirali, – parametr krzywej.

Przykład: parametryzacja krzywej przestrzennej

[edytuj | edytuj kod]

Wzór helisy położonej na powierzchni bocznej walca ma we współrzędnych kartezjańskich postać:

gdzie jest promieniem walca, a ilorazem prędkości ruchu punktu po tworzącej oraz prędkości kątowej obrotu walca – parametr krzywej.

Jeśli linia jest prawoskrętna; jeśli linia jest lewoskrętna.

Parametr naturalny krzywej

[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli wyznaczy się zależność długości krzywej od ustalonego punktu początkowego do jej dowolnego punktu to za pomocą długości s można przedefiniować krzywą; wtedy nazywa się parametrem naturalnym krzywej.

Wzory na długości krzywych w 2D

[edytuj | edytuj kod]

(1) Współrzędne kartezjańskie

Jeśli krzywa płaska zadana jest funkcją która jest różniczkowalna, to rolę niezależnego parametru pełni współrzędna wtedy wzór na długość krzywej ma postać:

gdzie pochodna funkcji względem zmiennej

(2) Współrzędne kartezjańskie i niezależny parametr

Jeżeli krzywa płaska jest sparametryzowana równaniami

gdzie funkcje i są różniczkowalne względem parametru to długość krzywej opisuje wzór[1]:

gdzie oraz – pochodne funkcji oraz względem parametru

(3) Współrzędne biegunowe

We współrzędnych biegunowych: jeżeli krzywa płaska jest wyrażona za pomocą współrzędnych biegunowych, tj. to wzór na długość krzywej ma postać:

Drugie wyrażenie odpowiada przypadkowi, gdy parametr jest równy współrzędnej kątowej, tj. wtedy

Przykład: Obliczenie długości cykloidy

[edytuj | edytuj kod]
 Zobacz też: cykloida.
Zakreślanie cykloidy

Cykloida opisana jest równaniami parametrycznymi

gdzie jest promieniem toczącego się koła; jeden łuk cykloidy otrzymamy dla

Tw. Długość łuku cykloidy jest równa poczwórnej średnicy toczącego się koła, tj.

Dowód:

Pochodne funkcji oraz względem parametru mają postać:

Podstawiając powyższe wyrażenia do wzoru (2)

dla otrzymamy

Korzystając ze wzoru trygonometrycznego na różnicę kosinusów

otrzymamy

W granicach całkowania wyrażenie jest nieujemne, stąd otrzymujemy ostatecznie równość

Wzory na długości krzywych w 3D

[edytuj | edytuj kod]

(1) Współrzędne sferyczne

Niech będzie dana krzywa zdefiniowana za pomocą równań parametrycznych w układzie współrzędnych sferycznych, gdzie jest kątem mierzonym od dodatniej półosi oraz kątem azymutalnym. Między współrzędnymi sferycznymi a kartezjańskimi zachodzą zależności

Stąd wyprowadza się wzór na długość krzywej wyrażonej we współrzędnych sferycznych

(2) Współrzędne cylindryczne

Analogicznie wzór na długość krzywej we współrzędnych cylindrycznych ma postać

Długości krzywych w przestrzeniach nieeuklidesowych n-wymiarowych

[edytuj | edytuj kod]

Przestrzenie nieeuklidesowe – to przestrzenie metryczne, stanowiące uogólnienie pojęcia przestrzeni euklidesowej, w ogólności -wymiarowe. Przestrzenie takie opisuje np. szczególna teoria względności oraz ogólna teoria względności Einsteina.

Odległość infinitezymalna między punktami: długość wektora łączącego punkt z infinitezymalnie odległym punktem zadana jest wzorem

gdzie to współrzędne tensora metrycznego (będące funkcjami położenia ).

Długość krzywej

Jeżeli krzywa dana jest przez równań parametrycznych

gdzie – punkty początkowy i końcowy krzywej, to wektor infinitezymalnego przemieszczenia wzdłuż krzywej ma postać

Długość infinitezymalnego przemieszczenia jest pierwiastkiem z iloczynu skalarnego wektora z samym sobą, tj.

Długość łuku krzywej jest równa całce z długości tych infinitezymalnych przemieszczeń, tj.

czyli ostatecznie mamy

Uwaga:

Wyżej podane wzory na długości łuku krzywej w przestrzeniach 2D i 3D są szczególnymi przypadkami powyższego, ogólnego wzoru. Mianowicie:

(a) w układzie współrzędnych biegunowych tensor metryczny ma niezerowe elementy, a przy tym niezależne od wektora wodzącego (por. Przykłady obliczeń tensora metrycznego)

– stąd wynika wzór (3) na długość łuku krzywej w tym układzie współrzędnych,

(b) w układzie współrzędnych sferycznych tensor metryczny ma niezerowe elementy, a przy tym niezależne od wektora wodzącego

– stąd wynika wzór (1) na długość łuku krzywej w tym układzie współrzędnych,

(c) w układzie współrzędnych cylindrycznych tensor metryczny ma niezerowe elementy, a przy tym niezależne od wektora wodzącego

– stąd wynika wzór (2) na długość łuku krzywej w tym układzie współrzędnych.

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Pomiaru długości krzywych w przestrzeniach nieeuklidesowych:

Krzywe nieprostowalne[2]:

Inne

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. długość, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-01-27].
  2. krzywa prostowalna, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-10-03].

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]
  • N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny. Matematyka, PWN, Warszawa 2010.
  • T. Trajdos, Matematyka dla inżynierów, PWN, Warszawa 1974.

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]