Przejdź do zawartości

Krzywa Kocha

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Płatek Kocha

Krzywa Kochakrzywa fraktalna, którą można zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni – można więc narysować pewne jej przybliżenie

Została ona opisana po raz pierwszy w pracy Sur une courbe continue sans tangente obtenue par une construction géométrique élémentaire przez Helgego von Kocha w roku 1904[1].

Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i nazywane jest płatkiem Kocha (na rysunku obok).

Krok 0
Krok 1
Krok 2

Tworzenie krzywej Kocha

[edytuj | edytuj kod]

Krzywa Kocha powstaje z odcinka, poprzez podzielenie go na 3 części i zastąpienie środkowej ząbkiem (o ramieniu długości równej 1/3 odcinka) takim, że wraz z usuwaną częścią tworzy trójkąt równoboczny. Krok ten jest powtarzany w nieskończoność, dla każdego fragmentu odcinka.

Krok 0

[edytuj | edytuj kod]

Krzywa Kocha w kroku zerowym jest odcinkiem. Zostanie on podzielony na 3 równe części, a środkową zastąpią dwa odcinki długości nachylone względem niej pod kątem 60°. Wraz z wyciętym fragmentem mogłyby one utworzyć trójkąt równoboczny.

Krok 1

[edytuj | edytuj kod]

Krzywa Kocha w kroku pierwszym po transformacji zawiera 4 odcinki, każdy równy W kolejnym kroku każdy z tych odcinków ponownie zostanie podzielony na 3 części, a środkową znów zastąpimy dwoma odcinkami.

Krok 2

[edytuj | edytuj kod]

Krzywa Kocha w kroku drugim zawiera już 16 odcinków, każdy długości W kolejnym kroku powstanie 64 odcinków, każdy długości itd.

7 pierwszych kroków algorytmu generującego krzywą Kocha.
7 pierwszych kroków algorytmu generującego krzywą Kocha.

Wymiar

[edytuj | edytuj kod]

Aby obliczyć wymiar pojemnościowy (Kołmogorowa) krzywej Kocha, należy rozpatrzyć -ty krok konstrukcji. Wtedy istnieje odcinków, każdy długości tak więc:

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. Holly Trochet: A History of Fractal Geometry. [w:] MacTutor History of Mathematics [on-line]. 2009. [dostęp 2014-07-03].

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]