Przejdź do zawartości

Dodawanie Minkowskiego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Dodawanie Minkowskiegodziałanie określone na rodzinie wszystkich (niepustych) podzbiorów danej przestrzeni liniowej wzorem

Powyższa definicja ma sens dla dowolnego zbioru z określonym działaniem (np. może być grupą, zob. iloczyn kompleksowy), jednakże najczęściej jest ono rozpatrywane w kontekście przestrzeni liniowych. Wynik dodawania Minkowskiego nazywany jest sumą Minkowskiego.

Gdy jest dowolnym elementem przestrzeni oraz jest jej podzbiorem, to stosuje się oznaczenia

oraz

Własności

[edytuj | edytuj kod]
dla dowolnych podzbiorów i przestrzeni liniowej (por. modularność).
  • Zbiór jest elementem neutralnym dodawania Minkowskiego.
  • Suma Minkowskiego dwóch zbiorów wypukłych jest wypukła.
  • Zachodzi następująca nierówność dotycząca mocy sumy Minkowskiego:

Nierówność Brunna-Minkowskiego

[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli oznacza miarę Lebesgue’a w przestrzeni oraz i zbiorami wypukłymi w to

Powyższa nierówność nazywana jest nierównością Brunna-Minkowskiego. Nierówność ta jest górnym ograniczeniem objętości sumy dwóch zbiorów mierzalnych w przestrzeni euklidesowej.

Przykład

[edytuj | edytuj kod]

Dla podzbiorów płaszczyzny

ich sumą Minkowskiego jest zbiór

Jeżeli i trójkątami równoramiennymi (które są wypukłe), to ich sumą Minkowskiego jest sześciokąt wypukły, o którym można powiedzieć, iż powstał z przesuwania wzdłuż krawędzi jak na rys. 3-4.

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]