Dyskusja:Liczby zespolone

Przejscie z potaci algebraicznej do trygonometrycznej

Zapis o przejściu z postaci algebraincznej do trygonometrycznej może być mylący tzn. należało by zapisać fi = arctg(b/a)+pi, bo zapis arctg b/a + pi może być odczytany jako arctg((b/a)+pi). Pozdrawiam.

Porządkowanie i weryfikacja

Proponuję: "Liczba zespolona - uporządkowana para liczb rzeczywistych z określonymi działaniami.

[definicje działań]

Zbiór wszystkich liczb zespolonych stanowi ciało." (chyba jaśniej jak do encyklopedii?)

Zamiast: "Liczby zespolone, ciało liczb zespolonych - uporządkowane pary liczb rzeczywistych z określonymi działaniami dodawaniem i mnożeniem tworzące ciało."

Uporządkowałem:

1. definicję
2. postaci
3. dodałem sekcję historia (do uzupełnienia)
4. algebraiczne wł. (do uzupełnienia i uprządkowania)

Na dzisiaj zostawiam. Jest jeszcze sporo do poprawienia w dalszej części artykułu. Midge 22:22, 5 kwi 2006 (CEST)

Poprawiłam (?) za en "intuicyjne" określenie. Lepiej? Trzeba w końcu zrobić ten artykuł. 4^@ 11:58, 9 kwi 2006 (CEST)

IMHO gorzej. Jeśli koniecznie chcesz intuicyjnie to dodaj rozdział: Intuicyjne liczby zespolone. Równie dobrze można byłoby powiedzieć, że liczby zespolone to rozszerzenie liczba naturalnych.

Spierałabym się - poza tym napisałam uogólnienie, nie rozszerzenie. I oczywiście liczby zespolone można traktować jako uogólnienie liczb naturalnych. Nie rozumiem jednak przeskoku N->C, "normalnie" idziemy krok po kroku: N->Z->Q->R->C.

Definicja musi mówić czym to jest. Przygotowuję nawet taki poradnik: Wikipedysta:Midge/Poradnik: Jak napisać dobrą definicję Midge 15:34, 9 kwi 2006 (CEST)

Tak, tylko nie zawsze da się powiedzieć czym coś jest. Zajrzyj tu: Definicja. Pozdro, 4^@ 15:47, 9 kwi 2006 (CEST)

Tak, masz rację, ale my mówimy o definicji w encyklopedii. Więc w definicji okręgu wolałbym widzieć okrąg - figura geometryczna, i dalej dopiero, że to zbiór itd. W przypadku encyklopedii, gdy hasła są z bardzo różnych dziedzin taka leksykonowa definicja "pozycjonuje" Cię w konkretnej dziedzinie. Okrąg to figura geomteryczna (acha, figura, a nie np. organ, roślina, przedmiot, miernik, osoba, zawód, etc.). Midge 19:31, 9 kwi 2006 (CEST)

Jesli chodzi o to kto pierwszy....

Jakieś źródełka, które podają, że Cardano wprowadził liczby zespolone do matematyki? Witold Więsław w "Matematyce i jej historii" nie posunął się do takiego stwierdzenia, rzekłabym nawet, że byłby daleki od niego. Zainteresowanych odsyłam do źródeł. Narka, 4^@ 20:42, 5 kwi 2006 (CEST)

O ile dobrze pamietam, to Cardano w Ars magna podawal przepisy na rozwiazywanie rownan i przyklady ich stosowania. W niektorych przypadkach na pewnym etapie przepisu trzeba bylo uzyc np ${\sqrt {-121}}$ z czym Cardano nie mial problemu o ile potem sie to z czyms innym skasowalo. Jesli sie nie skasowalo to on nie akceptowal takie rozwiazania. Wiec w pewnym sensie Cardano uzywal liczb zespolonych ale ich nie akceptowal. Jak mi przypomnicie za 2 tygodnie to moge poszukac zrodel. Tymczasem popatrzcie na (bardzo wiarygodne) info z St.Andrews: poczatek tego [1] a takze tutaj [2] Best, Stotr

No tak, ciekawe. Podobnie jak Twoja uwaga - używał, lecz nie akceptował. Zatem nie wprowadził. Idąc za Więsławem wprowadzenie przypisałabym Argandowi, choć poprawną interpretację (wektory) dał wcześniej prawnik Caspar Wessel. Jasne, że wcześniej liczb zespolonych używali i Leibniz, może de Moivre, i oczywiście Euler i d'Alembert. Ale czym innym używać, a czym innym wprowadzić. Pozdro, 4^@ 17:33, 6 kwi 2006 (CEST)

Good point. Przyznam że jeśli masz po ręką ksiażke Więsława i on pisze tak jak Ty podajesz, to ja bym sugerował raczej zgodzić się z Więsławem. On ma/miał dość solidną reputację (sprawdzał fakty etc). Warto byłoby jakoś wspomnieć o Cardanie, ale zaraz przechodząc do innych. Nie jestem pewien jakie sformułowanie byłoby najlepsze. Niestety, tutaj już koniec tygodnia, potem świeta etc i do biblioteki bedę mógl sie wybrać dopiero za dwa tygodnie. Może byś zasugerowała jakieś rozwiązanie? A może mieć taki większy opis jak [3]? Bo ja to nie wiem, jam człek prosty i niewyumiany... Stotr 18:43, 6 kwi 2006 (CEST)

Bo ja to nie wiem, jam człek prosty i niewyumiany... - :-) ... Cóż, mam (a raczej ojciec ma) książkę Więsława - postaram się napisać parę słów na początku przyszłego tygodnia, ale nie daję konkretnego terminu. 4^@ 22:22, 6 kwi 2006 (CEST)

Coś mi wpadło do głowy ale nie wiem czy by to przeszło - może zapytać się wprost Więsława? Może by napisał coś i zgodziłby się na wklejenie tego tutaj? Kto wie, może by nawet wciągnęłoby go to? Pomysł wariacki i nie jestem pewien czy bym się odważył (nieśmiały jestem). ALE jego adres emailowy jest na tej stronie [4].... Stotr 22:43, 6 kwi 2006 (CEST)

No a w "Wykładach z historii matematyki" prof. Kordosa kwestia liczb zespolonych została przedstawiona tak: pierwotną metodę dla równań rtzeciego stopnia wymyślił Tartaglia; jego wynik przywłaszczył sobie Cardano a następnie go udoskonalił i wydał w Ars Magna - używał ich o tyle, że zauważył, że skoro pierwiastkiem jest liczba zespolona to jest i sprzężona z nią, a ponieważ interesujące były wciąż jednak wyniki rzeczywiste, to jest to dobry sposób na znalezienie pierwiastka rzeczywistego (bo jest). Akceptował czy nie - kwestia (również moim zdaniem) światopoglądu: w czasach kiedy za niedobre pomysły można było bardzo źle skończyć, wyskakiwanie z ideą liczb zespolonych to gruby hazard. Natomiast systematycznym podręcznik do algebry wykorzystujący liczby zespolone napisał niejaki Rafael Bombelli (o którym nic więcej nie wiadomo) i specjalnie nie widzi w tych liczbach problemu. Szukanie więc twórcy liczb zespolonych później jest - w kontekście tego źródła - niepotrzebne. nimdil 13:12, 25 kwi 2006 (CEST)

Zastosowania liczb zespolonych

Ta część o zastosowaniach jest trochę chaotyczna. Praktycznie wszędzie w fizyce, chemii i technice używa się liczb zespolonych (wszędzie tam, gdzie R nie wystarcza).

Poza tym poniższe stwierdzenie jest w pewnym sensie nieprawdziwe:

Wśród liczb zespolonych dają się wyróżnić:

• liczby naturalne,
• liczby całkowite,
• liczby wymierne,
• liczby niewymierne,
• liczby przestępne,
• liczby algebraiczne,
• liczby rzeczywiste,
• liczby urojone.

Bo czy liczba (1,0) jest liczbą naturalną? Owszem zbiór liczb zespolonych o postaci

(k,0), gdzie k \in N jest izomorficzny ze zbiorem N jednak trudno to ściśle zapisać.

To samo z pozostałymi przykładami. Jako nieścisłe ja bym stąd wyrzucił (przecież np. liczby rzeczywiste formalnie nie są podziorem liczb zespolonych).

Midge 19:06, 6 kwi 2006 (CEST)

To jest tak: niech ${\mathbb {N} },{\mathbb {Z} },{\mathbb {Q} },{\mathbb {R} }\setminus {\mathbb {Q} },{\mathbb {P} },{\mathbb {A} },{\mathbb {R} },i{\mathbb {R} }$ oznaczają zbiory odpowiednich liczb na liście powyżej, oraz niech ${\mathbb {C} }$ bedzie zbiorem liczb zespolonych. Wówczas zachodzą następujące inkluzje:

${\mathbb {N} }\subseteq {\mathbb {Z} }\subseteq {\mathbb {Q} }\subseteq {\mathbb {A} }\subseteq {\mathbb {R} }$
	$\subseteq {\mathbb {C} }$
${\mathbb {P} }\subseteq {\mathbb {R} }\setminus {\mathbb {Q} }\subseteq {\mathbb {R} }$

Jak to możliwe? Ano odpowiednie klasy liczb są konstruowane tak aby powyższe relacje zachodziły. Zacznijmy od początku: umówmy sie że liczby naturalne są dane. Czym są liczby całkowite? liczba całkowita to para uporządkowana $(*,n)$ gdzie $*\in \{+,-\}$. Iterpretacje wszystkiego idą naturalnie (coś powinniśmy zrobić z zerem czyli utożsamiamy $(+,0)$ z $(-,0)$) ale teraz: liczby całkowite są parami, więc dlaczego ${\mathbb {N} }\subseteq {\mathbb {Z} }$? My utożsamiamy pary $(+,n)$ z liczbami $n$. Albo decydujemy że liczby naturalne to coś innego niż byo na początku. Albo mówimy że cała nasza konstrukcja była zrobiona tak że zamiast $(+,n)$ użyliśmy $n$. Cokolwiek nie wybierzemy, od tego momentu myślimy że ${\mathbb {N} }\subseteq {\mathbb {Z} }$ I takie podejscie się potem powtarza przy wymiernych i przy rzeczywistych i przy zespolonych. Bo my chcemy własnie miec te wszytskie inkluzje (nie tylko zanurzenia izomorficzne). Czy to co piszę brzmi sensownie? Stotr 20:07, 6 kwi 2006 (CEST)

PS: Masz racje że ta sekcja o zastosowaniach jest chaotyczna albo i gorzej. W ogóle to wersja angielska tego hasła jest lepsza.

Tak, to brzmi rozsądnie. Masz rację, że faktyczne zawieranie się zbiorów różnych liczb zależy od konstrukcji tych zbiorów, a o zbiorach liczb należy myśleć z dokładnością do izomorfizmu. Chyba to też nie jest ten artykuł, w którym należałoby tłumaczyć te onstrukcje. Ja chciałem zamienić daje się wyróżnić na zawiera się i się na chwilę zawahałem :-) Midge 21:03, 6 kwi 2006 (CEST)

A wiesz, może dobrze byłoby to gdzieś wyjaśnić. Jeśli nie tu, to może byloby milo mieć hasło konstrukcja liczb? Z tym że ja się na razie nie podejmuję tego pisać, choć bardzo chętnie bym się czepiał etc hasła napisanego przez kogoś innego... :-) Stotr 21:27, 6 kwi 2006 (CEST)

Takie hasło by się przydało. Konstrukcji liczb jest zdaje się kilka, różniących się detalami, więc nawet zbieranie tego w jednym miejscu i odwoływanie się byłoby pożyteczne. Midge 13:45, 7 kwi 2006 (CEST)

Nazwijmy i lub j (lepiej j) operatorem obrotu o kąt 90 stopni.

Wzory na mnożenie i dodawanie

Chyba lepiej byłoby najpierw zdefiniować podstawowe oznaczenia, a dopiero potem podać wzory na mnożenie i dodawanie? --Zureks 12:17, 12 cze 2006 (CEST)

historia

w liczbach urojonych wspomniany jest Kartezjusz, tutaj bodajże Cardano – ktoś chciałby to zrewidować? ja zaś słyszałem, że samo oznaczenie i pochodzi od Eulera. Można też coś napisać o Imaginaris i Realis

konrad 16:27, 6 lip 2006 (CEST)

Dzielenie liczb zespolonych

Wg mnie występuje pewna nieścisłość odnośnie dzielenia. Działanie to oraz przedstawiony wzór nie wywodzą się wprost z mnożenia a przynajmniej nie w takiej formie jak jest w artykule. Należałoby najpierw wspomnieć o liczbie sprzężonej a dopiero później wyprowadzić wzór.

${a+bi \over c+di}={{a+bi \over c+di}\cdot {c-di \over c-di}}={(ac+bd)+(bc-ad)i \over c^{2}+d^{2}}$

Webprog 21:32, 10 paź 2006 (CEST)

Dzielenie wynika wprost z faktu, że l.zesp. są ciałem. Sprzężenie zespolone nie ma tu nic do rzeczy (nie musi ono istnieć, by mówić o liczbach odwrotnych ze względu na dane działanie). To, co napisałeś, to rachunkowy sposób przedstawienia dzielenie i nadaje się bardziej do wikibooks niż do encyklopedii (np. przy okazji dowodzenia, że l. zesp. są ciałem).

Midge 10:00, 11 paź 2006 (CEST)

Przyznaję Panu rację jeśli chodzi o dzielenie. Uważam jednak, że zwykłe napisanie, że coś wynika z czegoś (jak w art., że dzielenie wynika z mnożenia) nie jest wystarczające. Przydałoby się choć wyprowadzić to przekształcając iloczyny czy w jakiś inny sposób. Artykuł czytają użytkownicy o różnym stopniu wtajemniczenia w matematykę w większości pewnie tacy, którzy szukając czegoś o l. zesp. trafili na Wikipedię. Czy nie należałoby im ułatwic tego pierwszego kontaktu? Pozdrawiam Webprog 01:18, 13 paź 2006 (CEST)

Mnożenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej

Wg. mnie to dosyć przydatny fakt. :) Czemu znajduje się dopiero na stronie argument liczby zespolonej? Wiem, że wszystko nie może być w jednym artykule, bo utrudniałoby tylko czytanie, ale niektóre rzeczy są ważne czy nawet bardzo ważne z dydaktycznego punktu widzenia.

właściwie jak mawia jeden z moich profesorów "to nie jest żadna wielka mądrość" – wystarczy pamiętać co to jest dzielenie (${x \over y}=x\cdot y^{-1}$) i zastanowić się jak będzie wyglądała odwrotność liczby zespolonej ($y^{-1}$).

Literówka

hmm... ja sie tego dopiero uczę wiec żadnych zmian nie chce dokonywać bo mogę coś namieszacz (tym bardziej że nie należę do spoleczności Wikipedystów ) ale mam takie małe ale :

czy w postaci trygonometrycznej liczby zespolonej nie powinno być arcsin zamiast arctg ? chodzi mi o te przypadki przy przechodzeniu z postaci zwyklej na trygonometryczną.

Jeśli się przyda to proszę o kontakt na [email protected] (proszę poprawcie mi humor i przekonajcie mnie ze trochę to przynajmniej rozumiem :P)

trywialnie

ja nie rozumiem dlaczego w kilku zdaniach pod rząd ktos uzywa slowa trywialne? dla kogos cos moze byc proste dla drugiego trudne... wiec to jest zdanie subiektywne. mysle nie powinno sie uzywac takich slow bez racjonalnego uzasadnienia

Słusznie, ktoś przesadził. Usunąłem te "trywializmy". Olaf @ 14:20, 18 lis 2007 (CET)

To taki tik zauważalny u matematyków :P, wszyscy profesorowie tego używają i to przerzuca sie na studentów :P

U informatyków natomiast "de facto" i "explicite" ;) a co do treści samego artykułu, to proponowałabym zrobić link (choćby na czerwono, jeśli nie ma hasła) jak w wersji en, że a i b to liczby rzeczywiste. Nieźle się naszukałam w necie, by się o tym upewnić, a w tym artykule tego po prostu nie zauważyłam...

definicja i

Moim zdaniem zdanie "Występująca tu jednostka urojona i spełnia z definicji równość i2 = − 1. Spotykany czasami, a pochodzący od tej równości zapis i = \sqrt{-1} jest niepoprawny, gdyż istnieją dwa pierwiastki algebraiczne z liczby − 1, mianowicie i oraz − i" jest błędne. Jeśli mamy równanie x2=-1 \sqrt{x2}=\sqrt{-1} Rozwiązania są dwa: x=\sqrt{-1} i x=-\sqrt{-1}.

Teraz, skoro zacytowane zdanie mówi, że "istnieją dwa pierwiastki algebraiczne z liczby − 1, mianowicie i oraz − i", to przecież MUSI znaczyć to, że są one odpowiednio równe \sqrt{-1} i -\sqrt{-1}, czyli właśnie tym podanym rozwiązaniom. A jeśli tak, to i=\sqrt{-1}.

Zgłosił: pj 85.89.191.133 (dyskusja) 21:31, 16 lis 2008 (CET)

nie. Nie da sie rozsądnie powiedzieć co to jest sqrt(-1). Obchodzi sie to definując pierwiastek zespolony jako zbiór wszystkich rozwiazan odpowiedniego równania czyli np pierwiastkiem czwartego stopnia z jedynki jest zbiór złożony z liczb, 1, -1, i, -i. Kbsc (dyskusja) 15:44, 17 lis 2008 (CET)

Ale przecież z wzoru na pierwiastek z -1 wychodzi, że rozwiązaniem jest i lub -i. Tyle że jest to błędne koło, bo i definiuje się przez równanie kwadratowe... które przecież chcemy rozwiązać! Ale logicznie rzecz biorąc, podstawiając sqrt(-1) lub -sqrt(-1) rozwiązanie się zgadza, czyli musi odpowiadać i lub -i. Jednak, jest ten cały syntaktyczny problem, gdyż formalnie rzecz biorąc nawet jeśli rozwiązanie się zgadza, nie znaczy to, że sqrt(-1)=i oraz -sqrt(-1)=-i. Jednak wątpiwości nie będzie, jeśli zapiszemy, że i=sqrt(-1) lub i=-sqrt(-1). Nawet bowiem, jeśli do rozwiązania -i podstawimy sqrt(-1) oraz -sqrt(-1), otrzymamy właściwy wynik, czyli -1. Czyli dla i: sqrt(-1)2=-1 oraz (-sqrt(-1))2=-1, oraz dla -i: (-sqrt(-1))2=-1 oraz (-(-sqrt(-1)))2=-1. Z tego punktu widzenia jest to problem jedynie syntaktyczny. Dla mnie i może być po prostu równe sqrt(-1) i będzie w porządku, ale jeśli ktoś się uprze, bo formalność to coś innego niż zdrowy rozsądek, to proszę bardzo. Tyle że stwierdzenie, że i wcale nie jest równe sqrt(-1), nie jest (do końca) poprawne.

• No dobrze, a czy definicją dwójki może być, ze jest to pierwiastek kwadratowy z 4. Jeżeli już, to jeden z pierwiastków lub dodatni pierwiastek. Podobnie tu. Definicja nie zawiera błędu, ale rzeczywiście wydaje się niepełna--zu. Mpfiz (dyskusja) 22:03, 16 lis 2008 (CET)

Mpfiz chyba źle rozumujesz. Nikt nie twierdzi, że i musi być rozwiązaniem równania "x do kwadratu = -1." Tak samo liczba 2 nie będzie rozwiązaniem równania "x do kwadratu = 4". Definicja liczby 2 może być taka właśnie jak podałeś, ale W KAŻDYM z tych rozwiązań pojawia się 2. Tak samo liczba i - nie jest rozwiązaniem, ale właśnie częścią rozwiązania i tą częścią jest pierwiastek z -1.

Jeśli swoim rozumowaniem was nie przekonałem, to może bardziej przekona cytat z Mathworld:

"The complex numbers are the field C of numbers of the form x+iy, where x and y are real numbers and i is the imaginary unit equal to the square root of -1, sqrt(-1)." Ja temu portalowi bardziej wierzę.

Jeszcze jedno. Teraz pomyślałem, że cały problem być może polega na tym, że jednostkę i należy traktować zupełnie niezależnie od liczb rzeczywistych, to znaczy, nie jest ona ani dodatnia, ani ujemna, ale właśnie urojona. Stąd - myślę - i może się równać zarówno "-pierwiastek z -1", jak i "pierwiastek z -1". Jeżeli jednak tak właśnie miałoby być, to rozwiązaniem x2=-1 jest zawsze i, ale wtedy również błędnym jest stwierdzenie zawarte w wikipedii, że rozwiązanie to i oraz -i.

Problem więc jest bardziej syntaktyczny niż semiotyczny, jednak z którejś strony jest błąd w artykule (albo i jest pierwiastkiem z -1, albo rozwiązaniem równania x2=-1 jest i). pj 85.89.191.133 (dyskusja) 22:58, 16 lis 2008 (CET)

Jak to nikt nie twierdzi. Ja tak twierdzę i tak rozumiem zapis z początku artykułu: i spełnia, czyli jest rozwiązaniem (jednym z dwóch). Nie jestem matematykiem, ale wydaje mi się, że można powiedzieć dodatnim i wtedy definicja będzie kompletna. Można pewnie i definiować jako pierwiastek z -1, ale wówczas trzeba by dodać, że chodzi o wartość bezwzględną tego pierwiastka. Tylko, że znowu jest problem, czy wartość bezwzgędna=moduł, a moduł liczby zespolonej, to jednak coś innego. Natomiast wydaje mi się, że stwierdzenie, że i = ± pierwiastek z -1, jest nieprawdziwe.

A właściwie, może masz rację. Gdy przeczyta się definicję (z Wikipedii) pierwiastka "pierwiastkiem arytmetycznym stopnia n z x nazywamy nieujemną liczbę y, spełniającą równość y do n = x", to wygląda na to, że masz rację--zu. Mpfiz (dyskusja) 10:51, 17 lis 2008 (CET)

Uwaga ta dotyczy również artów liczby urojone i jednostka urojona

Niestety nie można napisać "że można powiedzieć dodatnim i wtedy definicja będzie kompletna" bo w liczbach zespolonych nie istnieje pojęcie "dodatni" (nie istnieje pojecie <<wiekszy>>, w szczegolnosci <<wiekszy od zera>> czyli dodatni) dlatego nie da sie rozsadnie wyróznić jednego z dwu rozwiazan rownania x^2=-1. Kbsc (dyskusja) 15:19, 17 lis 2008 (CET)

Przeczytaj to co napisałem wyżej, wyjaśniam tam problem z minusem. Ale nie nazywam tego wyrażenia liczbą ujemną! Po prostu jest znak minus lub plus.

napisales:"można powiedzieć dodatnim". NIE. NIE MOZNA. temu nie da sie nadac sensu.Kbsc (dyskusja) 19:57, 17 lis 2008 (CET)

To pomyłka, ja tego nie napisałem, tylko Mpfiz. Nie podpisałem się "pj"

W przypadku braku odzewu matematyków - sam dokonam zmian.--zu. Mpfiz (dyskusja) 11:13, 17 lis 2008 (CET)

• Pozwólcie, że się wtrącę. Przede wszystkim, ani stwierdzenie, że $i^{2}=-1\;$, ani stwierdzenie że $i={\sqrt {-1}}$ nie są definicją i. Ani w jednym, ani w drugim przypadku nie dałoby się zresztą odróżnić i od -i, no i jak każdy warunek w matematyce, określenia te wymagałyby najpierw zdefiniowania, do jakiego zbioru należy i, czyli taka "definicja" jednostki urojonej i tak wymagałaby zdefiniowania wcześniej liczb zespolonych. Poprawna definicja jednostki urojonej wymaga najpierw zdefiniowania liczby zespolonej jako pary (a,b) liczb rzeczywistych z odpowiednio określonym dodawaniem i mnożeniem:

$(a_{1},\;b_{1})+(a_{2},\;b_{2})=(a_{1}+a_{2},\;b_{1}+b_{2})$

$(a_{1},\;b_{1})(a_{2},\;b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{2}b_{1},\;a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})$

a następnie można już zdefiniować i jako parę $i=(0,1)\;$. Te wszystkie stwierdzenia z początku artykułu to nie ścisłe definicje, tylko obrazowe ilustracje, pomagające zorientować się o co chodzi i ułatwiające obliczenia. Można też bawić się w aksjomatykę, zobacz np. Aksjomaty i konstrukcje liczb#Liczby zespolone. Pozdrawiam, 83.5.254.7 (dyskusja) 22:37, 17 lis 2008 (CET)

jest to (pary liczb rzeczywistych) jedna z mozliwych definicji. nie jest to definicja jedyna. ponadto nie rozni sie ona zasadniczo od definicji podanej w artykule (tzn a+bi, gdzie i^2=-1)Kbsc (dyskusja) 23:36, 17 lis 2008 (CET)

Oczywiście, że nie jedyna. Dowolna izomorficzna konstrukcja jest dopuszczalna, to mogą być wektory, to mogą być punkty, czy cokolwiek innego, co spełnia aksjomaty. Ta konkretna konstrukcja jest gdzieś dalej w artykule, chodziło mi tylko o to, że nie można napisać, iż definicją jednostki urojonej jest któryś z tych wzorów, bo te wzory mają sens dopiero, gdy się ma dodawanie i mnożenie wykraczające poza liczby rzeczywiste, czyli wtedy gdy się już ma ciało liczb zespolonych.

Definicja "a+bi, gdzie i^2=-1", jest nieścisła, bo wymaga jeszcze założeń dotyczących tak rozszerzonego dodawania i mnożenia, które sprowadzają się właśnie do aksjomatów ciała. Np. z tej definicji nigdy nie wyprowadzisz równości $ai=ia,a\in \mathbb {R}$, bo przemienność masz na tym etapie zdefiniowaną tylko dla liczb rzeczywistych a o zachowaniu jednostki urojonej w mnożeniu nic nie wiesz. W szczególności, gdyby zdefiniować mnożenie tak: mnożenie liczb rzeczywistych definiujemy tak jak zwykle, ii=-1, ab=0 w pozostałych wypadkach, to powyższa definicja jest spełniona, a nie są to bynajmniej liczby zespolone. 83.5.254.7 (dyskusja) 00:17, 18 lis 2008 (CET)

• Jeszcze jedno, zapis $i={\sqrt {-1}}$ faktycznie formalnie nie jest poprawny, gdyż zgodnie ze wzorem de Moivre'a ${\sqrt {-1}}=i\sin {\frac {2k\pi +\pi }{2}}=\pm i$, a nie wyłącznie $+i\;$, więc bardzo proszę nie robić nieprzemyślanych poprawek. Ale to generalnie drugorzędna sprawa, bo definicja jest i tak zupełnie inna, jak już napisałem powyżej. 83.5.254.7 (dyskusja) 22:53, 17 lis 2008 (CET)

Masz rację, jednak problem jednostki urojonej polega na tym, że traktując ją jako punkt, ucieka się od początkowej koncepcji, która polega na pierwiastkowaniu liczb ujemnych. Przecież to stąd powstała jednostka urojona, nie zaś z koncepcji liczb-punktów. Przecież tak rozumując ja mogę używać samych wektorów, a nie jakichś abstrakcyjnych liczb urojonych. A teraz przedstawiając ścisłą definicję liczby i "odwraca się kota ogonem", tak że z punktu (0,1) wyprowadza się liczby urojone. Niby matematyka jest tak ścisła, a sama gubi się w tych pojęciach. Jeśli na tym ma zakończyć się dyskusja, na "ścisłej" definicji punktowej, to ja się nie zgadzam na istnienie sztucznego nielogicznego tworu, chociaż wiem, że nikogo to nie obchodzi. pj

Przykro mi, to pierwiastkowanie liczb ujemnych nie jest "początkową koncepcją". Liczby zespolone to dopełnienie algebraiczne ciała liczb rzeczywistych, reszta wynika z tego. Czyli najbardziej pierwotne są tu pojęcia ciała z dodawaniem i mnożeniem, a nie pierwiastek. I nic tu się nie gubi, kota ogonem wywracasz, właśnie próbując zacząć od jednostki urojonej, zamiast od ciała liczb zespolonych. Możesz się zgadzać, albo nie, tak to się w matematyce definiuje. A, i oczywiście możesz skonstruować liczby zespolone jako wektory, aby tylko spełniały właściwe aksjomaty. No problem. Generalnie polecam przeczytanie tamtego artykułu, powinien dużo wyjaśnić. 83.5.254.7 (dyskusja) 23:22, 17 lis 2008 (CET)

liczby zespolone wziely sie ze wzorow cardano czyli pierwiastkowania liczb ujemnych. to jest jednak "poczatkowa koncepcja"Kbsc (dyskusja) 00:00, 18 lis 2008 (CET)

Początkowa w sensie historycznym, tak. W sensie porządku konstrukcji gmachu zwanego matematyką - nie. Często tak bywa, np. jego fundamenty (teoria mnogości) zrobiono dopiero w XIX i XX wieku.

83.5.254.7 (dyskusja) 00:08, 18 lis 2008 (CET)

Nie, no oczywiście, całkowita racja. Często właśnie przypadek doprowadza do większych odkryć czy teorii.pj

Chętnie przeczytam, fajnie gdyby wyjaśniłby mi jak z dopełnienia algebraicznego przechodzi się na pierwiastek z liczby ujemnej. Ciągle jednak zastanawia mnie to, że artykuł w mathworld pokazuje, że miałem rację - chyba, że tam jest błąd. pj

jest tam niezbyt scisleKbsc (dyskusja) 00:00, 18 lis 2008 (CET)

z dopelnienia przechodzi sie na pierwiastki w taki sposob, ze dopelnienie ma pierwiastki wszystkich wielomianoow w szczegolnosci x^2=-1.Kbsc (dyskusja) 00:02, 18 lis 2008 (CET)

Przepraszam, nie chodziło o dopełnienie algebraiczne elementu macierzy, tylko o domknięcie algebraiczne ciała (moja pomyłka), czyli takie jego rozszerzenie, żeby działania były zachowane, a każdy wielomian o stopniu większym od 0 miał pierwiastki, w tym także wielomian $x^{2}+1$ (jego pierwiastkami są właśnie i oraz -i). Mathworld też mnie dziwi, ale ja jednak bardziej wierzę książkom naukowym, typu Algebra Białynickiego-Biruli (str. 42) niż portalom internetowym. Pozdrawiam, 83.5.254.7 (dyskusja) 00:06, 18 lis 2008 (CET)

A ja się zaczytałem w dopełnieniach i stwierdziłem, że nie łączę;) Jeśli chodzi o Mathworld to można założyć, że duża liczba przypisów świadczy, że to nie byle jak napisane, ale... Myślę teraz, że problem może polegać na różnicy pomiędzy pierwiastkiem arytmetycznym a algebraicznym. Gdyby rozpatrywać to z punktu widzenia tego pierwszego, to z równania x^2=-1 dostajemy sqrt(-1) i -sqrt(-1). Gdyby powiedzieć sobie: pierwszy to i, drugi -i, to wszystko jasne. Ale z punktu widzenia pierwiastka algebraicznego sporo się zmienia. Być może w tym tkwi istota. Musiałbym jednak lepiej zrozumieć to ciało i domknięcie.pj

Z punktu widzenia pierwiastka arytmetycznego pierwiastek z -1 nie istnieje, bo równanie $x^{2}=-1$ nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych. :-) Żeby to równanie miało rozwiązania, musisz rozszerzyć zbiór liczb rzeczywistych, tak żeby działania miały w nim nadal te same właściwości i dało się znaleźć pierwiastek tego wielomianu. Czyli właśnie potrzebujesz skonstruować domknięcie algebraiczne ciała liczb rzeczywistych. :-) Nie wystarczy powiedzieć, że i^2=-1, jeśli nie zdefiniujemy, jak się ono zachowuje w mnożeniu, dodawaniu, itp. Powyżej podałem Kbsc przykład: gdyby zdefiniować mnożenie tak: mnożenie liczb rzeczywistych definiujemy tak jak zwykle, ii=-1, ab=0 w pozostałych wypadkach, to powyższa definicja jest spełniona, i^2=-1, a nie są to bynajmniej liczby zespolone. 83.5.254.7 (dyskusja) 00:34, 18 lis 2008 (CET)

Heh, byłem blisko;) Po prostu wyraziłeś to bardziej precyzyjnie, bo faktycznie pierwiastek arytmetyczny to tylko liczby rzeczywiste. No i dotychczasowe działania odbywały się tylko na tych liczbach, wobec czego trzeba znów zdefiniować działania. Ale... wiesz zastanawia mnie teraz, czy istota problemu tkwi w oznaczeniach, tzn. gdybym sqrt(-1) nazwał sobie jednostką urojoną, która odpowiada liczbie 1 na liczbach rzeczywistych (obie są jednostkami), a następnie ustalił zgodnie z pewnymi aksjomatami działania, to czy po tym okazałoby się, że wszystko jest tak samo jak z liczbami zespolonymi, z tym że zamiast i zapisujemy sqrt(-1)? A może jednak głupoty piszę, bo jest późno? pj

Piszesz całkiem sensownie. Konstrukcja dowolnych obiektów, jeśli tylko spełnią aksjomaty liczb zespolonych, jest poprawną konstrukcją liczb zespolonych. I mógłbyś zrobić tak jak piszesz, udowodnić aksjomaty ciała domkniętego algebraicznie, zawieranie się w tym ciele zbioru izomorficznego z liczbami rzeczywistymi i to wystarczyłoby żeby uznać, że skonstruowałeś liczby zespolone. Jeśli chcesz sobie zamiast i pisać sqrt(-1), to też Ci wolno wprowadzać własne oznaczenia, ale musisz być świadomy, że to niestandardowe oznaczenie. W liczbach rzeczywistych bowiem sqrt(-1) nie ma sensu, a w liczbach zespolonych symbol pierwiastka tradycyjnie oznacza to co wychodzi ze wzoru de Moivre'a. A z niego dla -1 wychodzi ${\sqrt {-1}}=\pm i$ a nie i. Pozdrawiam, 83.5.254.7 (dyskusja) 01:05, 18 lis 2008 (CET)

Tak zgodnie ze wzorem de Moivre'a sqrt(-1) musiałby być równy sqrt(-1) i -sqrt(-1). A ja się pytam: i co z tego? Może nie trzeba by było definiowac sprzężenia? Taka fajna liczba o lustrzanym odbiciu;) pj

Nic z tego. Zdefiniowałeś strukturę algebraiczną, którą uznałeś za ciekawą. Wolno Ci. Tylko nie nazywaj tego liczbami zespolonymi, bo dla nich $i\neq -i$ ;-) W szczególności, w Twojej algebrze, jeśli i=-i, to ii=-ii, czyli -1=-(-1)=1. Zdaje się, że w ogóle $a+bi=c+di$ o ile $a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}$ ale nie chce mi się teraz sprawdzać tej hipotezy. Dobranoc. 83.5.254.7 (dyskusja) 01:21, 18 lis 2008 (CET)

Oj, nawet gorzej. Skoro w Twojej algebrze -1=1, i chcesz, żeby były zachowane właściwości działań, to można dodać stronami 1 i dostaniemy 0=2, a potem pomnożyć stronami przez dowolną stałą x i dostaniemy 0=2x, czyli x=0 dla dowolnego x. Wygląda na to, że Twoja algebra składa się z jednego punktu {0}. To chyba jednak niezbyt fajna ;-) 83.5.254.7 (dyskusja) 01:41, 18 lis 2008 (CET)

Tylko trochę mi nie wyszło;) A tak mówiąc serio wychodzi na to, że liczby zespolone okazują się mało intuicyjne i ciężko to zdzierżyć.pj

Chyba najbardziej intuicyjna wersja liczb zespolonych to płaszczyzna zespolona z dodawaniem jako przesunięciem i mnożeniem jako obrotem ze skalowaniem. I całkiem ścisła jednocześnie, nie tak jak ten pierwiastek z -1. Ale roboczo można sobie wyobrażać jednostkę urojoną nawet jako pierwiastek z minus jeden, tylko trzeba pamiętać, że to pomocniczy opis, a nie ścisła matematyka. Pozdrawiam, 83.5.254.7 (dyskusja) 17:45, 18 lis 2008 (CET)

C

Literą C oznaczamy zbiór liczb zespolonych,a nie całe ciało!

Ciała często oznacza się tak, jak zbiory, na których są zbudowane. Olaf @ 08:26, 2 cze 2009 (CEST)

Ciekawostka (jednostka urojona podniesiona do potegi urojonej jest liczbą rzeczywistą 0.854636)

Nie zanam tego waszego "szyfru matematycznego", a chciałbym aby ktoś zamieścił na tej stronie pewną CIEKAWOSTKE, mianowicie: i^i = (e^(i pi/2)^i = e^(-pi/2) = 1/e^(pi/2) = 0.854635999... czyli jest liczbą rzeczywistą. Proszę sprawdzić obliczenia numeryczne, aby nie było wpadki. Według mojego kalkulatora, ta stała w przybliżeniu i^i = 0.854636.

$e^{-\pi /2}=0,20788$ co nie zmienia faktu, że masz rację, iż jest to liczba rzeczywista. Mimo to nie umieszczałbym tego w artykule - wikipedia ma podawać wiedzę encyklopedyczną a nie oderwane ciekawostki. Olaf @ 07:50, 29 sie 2009 (CEST)

$i^{i}$ nie jest określona jednoznacznie.

$i^{i}=(e^{ipi/2+2ik\pi })^{i}=e^{-pi/2-2k\pi }\,k\in \mathbb {Z}$

Z takich ciekawostek to jeszcze jest $i\cdot i$ liczba urojona pomnożona przez urojoną jest rzeczywista. :-) Midge (dyskusja) 22:56, 2 wrz 2009 (CEST)

Rysunek płaszczyzny zespolonej

Rysunek płaszczyzny zespolonej nie jest zbyt szczęśliwie zrobiony, bo może sugerować, że część rzeczywista i urojona jest zawsze dodatnia. Lepiej byłoby przedłużyć osie w lewo i w dół.

reprezentacja macierzowa

czy macierz będąca odpowiednikiem jednostki urojonej nie jest macierzą odwzorowania "obrót o 90 st zgodnie z ruchem wskazówek zegara", a nie jak napisano w artykule - w stronę przeciwną? MarcinZZ1 (dyskusja) 21:21, 21 lis 2022 (CET)

Nie jest. Obrót „przeciwzegarowy” to obrót od osi x w stronę osi y, w kierunku dodatnim, czyli tak jak to robi jednostka urojona i. Tarnoob (dyskusja) 14:01, 23 maj 2024 (CEST)

Ja się pytam gdzie jest sekcja o potęgach i logarytmach zespolonych?

${\displaystyle z^{w}=\exp(w\ln z)}$ gdzie ${\displaystyle z\neq 0}$

${\displaystyle r(cos\phi +isin\phi )^{v+iv}=\exp[(u+iv)(\ln r+i\phi +2\pi ik)]=\exp[u\ln r+ui\phi +u2\pi ik+iv\ln r+i^{2}v\phi +i^{2}v2\pi k]}$

${\displaystyle z^{w}=e^{u\ln r-v\phi -2\pi vk}(\cos(v\ln r+u\phi +2\pi uk)+i\sin(v\ln r+u\phi +2\pi uk),k\in \mathbb {Z} }$

gdzie ${\displaystyle r=|z|,\phi =\operatorname {Arg} (z),u=\operatorname {Re} (w),v=\operatorname {Im} (w)}$

przykład ${\displaystyle e^{i\pi }}$

${\displaystyle r=|e|=e,\phi =\operatorname {Arg} (e)=0,u=\operatorname {Re} (i\pi )=0,v=\operatorname {Im} (i\pi )=\pi }$

${\displaystyle e^{i\pi }=e^{-2\pi ^{2}k}(\cos \pi +i\sin \pi )=-e^{-2\pi ^{2}k},k\in \mathbb {Z} }$