Macierz wymierna – macierz o wymiarach
której elementami są funkcje wymierne
zmiennej
o współczynnikach z ciała
o postaci
![{\displaystyle W(S)={\begin{bmatrix}w_{11}(s)&w_{12}(s)&\dots &w_{1n}(s)\\w_{21}(s)&w_{22}(s)&\dots &w_{2n}(s)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\w_{11}(s)&w_{11}(s)&\dots &w_{11}(s)\end{bmatrix}}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AztBBotiPaDeNoNaQoAs1zAdFyjC3oqi5atK0oNmQoDeQzjo0oNFF)
Zbiór macierzy wymiernych o wymiarach
zmiennej
i współczynnikach z ciała
zazwyczaj oznaczany jest przez
Ciałem
może był ciało liczb rzeczywistych, liczb zespolonych, liczb wymiernych lub ciało funkcji wymiernych zmiennej
itp.
Po sprowadzeniu wszystkich elementów
macierzy wymiernej do wspólnego mianownika
o współczynniku równym 1 przy
w najwyższej potędze, powyższą macierz można przedstawić w postaci
![{\displaystyle W(s)={\frac {L(s)}{m(s)}},}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83aNsOzAiNnAw2aDzCyqdDyqs2oqw2otvAngoPoDaNoNvFagsQnDeQ)
gdzie:
– macierz wielomianowa o współczynnikach z ciała ![{\displaystyle F,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Bnji3yqiPzAs4zDlEaDCQotdDaDrDztKNnjzAoNlEaDa2agoQnAaP)
– wielomian.
Niech
Macierz nazwiemy nieredukowalną (nieskracalną) wtedy i tylko wtedy, gdy
![{\displaystyle L(s_{k})\neq 0_{mn},k=1,\dots ,p,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PzjJAzNJAzDK4o2aQajlFaqs3yqa3oto4atdEyghAzgvEzAwNnDw4)
gdzie
jest macierzą zerową o wymiarach
Jeżeli
to wszystkie elementy macierzy
są podzielne przez
i wówczas macierz jest redukowalna przez
Nieredukowalną macierz w takiej postaci nazywamy macierzą w postaci standardowej. Pisząc macierz wielomianową
w postaci wielomianu macierzowego
![{\displaystyle L(s)=L_{q}s_{q}+L_{q-1}s_{q-1}+\dots L_{1}s+L_{0},}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DyjK1zDe2yjwNzqrEoDG3otK0aNoPyqhAzjiPothBzjsQaqe2aga0)
możemy macierz
zapisać w postaci
![{\displaystyle W(s)={\frac {L_{q}s_{q}+L_{q-1}s_{q-1}+\dots L_{1}s+L_{0}}{m(s)}}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DygnDoNoNntm5ajsNagsNyqhFaNJDnqo0nDo4oqw3ajnDajJDaqaO)
Dla macierzy wymiernej
![{\displaystyle W(s)={\begin{bmatrix}{\frac {s}{s-1}}&{\frac {1}{s+2}}&s\\{\frac {2}{s+2}}&{\frac {s+2}{s+1}}&2s\end{bmatrix}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NnDrBntG4oNFFaNFDzDrDzAzCaNK4otGNzDJCyjCQnqw1yja5zDFD)
najmniejszym wspólnym mianownikiem jest
z pierwiastkami:
oraz
Wtedy
możemy zapisać jako
![{\displaystyle W(s)={\frac {1}{(s+1)(s+2)}}{\begin{bmatrix}s(s+2)&s+1&s(s+1)(s+2)\\2(s+1)&(s+2)^{2}&2s(s+1)(s+2)\end{bmatrix}}={\frac {L(s)}{m(s)}}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AnDlAzAdAz2rDytzAatrCngi4zqo4atw5z2sPoNe5zAe4agrFataN)
Macierz ta jest nieredukowalna, gdyż
![{\displaystyle L(s_{1})={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}},L(s_{2})={\begin{bmatrix}0&-1&0\\-2&0&0\end{bmatrix}}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82nji1oDCQaqwQnqeQnDGOaNBFnDo0yjoPztnEzNo3nqi0nje4aDlD)
Wtedy postać
przyjmuje formę
![{\displaystyle L(s)={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&2\end{bmatrix}}s^{3}+{\begin{bmatrix}1&0&3\\0&1&6\end{bmatrix}}s^{2}+{\begin{bmatrix}2&1&2\\2&4&4\end{bmatrix}}s+{\begin{bmatrix}0&1&0\\2&4&0\end{bmatrix}}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NatrAajiNo2w5aje2ztwOygrEotzDytzBoqw4zqnFags5aNlBoDhB)
Wobec tego macierz rozważana w przykładzie w postaci
jest równa
![{\displaystyle W(s)={\frac {1}{(s+1)(s+2)}}\left({\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&2\end{bmatrix}}s^{3}+{\begin{bmatrix}1&0&3\\0&1&6\end{bmatrix}}s^{2}+{\begin{bmatrix}2&1&2\\2&4&4\end{bmatrix}}s+{\begin{bmatrix}0&1&0\\2&4&0\end{bmatrix}}\right).}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AzjhFzDsQaqi4oNKQaqrCzDiPoDsNz2a2oNoOaAzCnjwQntlDyjwP)
Macierz wymierna jest właściwa (lub przyczynowa) wtedy i tylko wtedy, gdy
oraz ściśle właściwą wtedy i tylko wtedy, gdy