Przejdź do zawartości

Liczba epsilonowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Liczba epsilonowaliczba porządkowa o tej własności, że

Najmniejszą liczbą epsilonową jest liczba

Liczba jest przeliczalna – ma ona zastosowanie w wielu dowodach pozaskończonych, na przykład w dowodzie twierdzenia Goodsteina. Kolejne liczby epsilonowe indeksujemy kolejnymi liczbami porządkowymi, na przykład:

Własności

[edytuj | edytuj kod]
  • Liczba jest przeliczalna wtedy i tylko wtedy, gdy liczba jest przeliczalna.
  • Każda nieprzeliczalna liczba kardynalna jest liczbą epsilonową.
  • Suma (mnogościowa) dowolnej niepustej rodziny liczb epsilonowych jest liczbą epsilonową.
  • Każda liczba epsilonowa jest nierozkładalna, to znaczy jeśli jest liczbą epsilonową oraz to
  • Jeśli jest liczbą epsilonową, to
(a) dla każdej liczby
(b) dla każdej liczby
(c) dla każdej liczby

Zastosowania

[edytuj | edytuj kod]
  • Dowód twierdzenia Goodsteina.
  • Liczby epsilonowe można zastosować do uzasadnienia następującego twierdzenia: istnieje nieskończenie wiele par liczb porządkowych takich, że (zauważmy, że wśród liczb naturalnych taką własność mają jedynie pary (2,4) i (4,2)). Przypomnijmy, że dla dowolnej liczby porządkowej (zob. arytmetyka liczb porządkowych) zachodzi równość Istotnie, Jeśli jest dowolną liczbą epsilonową, to dla oraz para ma żądaną własność. Istotnie:

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]