Niezależne zmienne losowe o jednakowych rozkładach

Ilustracja dwóch niezależnych zmiennych losowych o jednakowych jednostajnych rozkładach dyskretnych

W teorii prawdopodobieństwa i statystyce zmienne losowe są niezależne i mają jednakowe rozkłady (ang. independent and identically distributed, i.i.d.), jeżeli każda z nich ma ten sam rozkład prawdopodobieństwa, a wszystkie są niezależne od siebie. Definicja ta znajduje zastosowanie na przykład w eksploracji danych i przetwarzaniu sygnałów.

Definicja dla dwóch zmiennych losowych

Załóżmy, że zmienne losowe $X$ i $Y$ przyjmują wartości dla $I\subseteq \mathbb {R}$. Niech $F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)$ oraz $F_{Y}(y)=\operatorname {P} (Y\leq y)$ będą dystrybuantami $X$ oraz $Y$. Oznaczmy przez $F_{X,Y}(x,y)=\operatorname {P} (X\leq x\land Y\leq y)$ ich wspólną dystrybuantę.

Dwie zmienne losowe $X$ i $Y$ mają jednakowe rozkłady wtedy i tylko wtedy, gdy $F_{X}(x)=F_{Y}(x)\,\forall x\in I$.

Dwie zmienne losowe $X$ i $Y$ są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy $F_{X,Y}(x,y)=F_{X}(x)\cdot F_{Y}(y)\,\forall x,y\in I$.

Dwie zmienne losowe $X$ i $Y$ są niezależne i mają jednakowe rozkłady wtedy i tylko wtedy, gdy

${\begin{aligned}&F_{X}(x)=F_{Y}(x)\,&\forall x\in I&\quad {\text{oraz}}\\&F_{X,Y}(x,y)=F_{X}(x)\cdot F_{Y}(y)\,&\forall x,y\in I&\end{aligned}}$.

Definicja dla więcej niż dwóch zmiennych losowych

Powyższą definicję można rozszerzyć na więcej niż dwie zmienne losowe: $n$ zmiennych losowych $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$ jest niezależnych i ma jednakowy rozkład wtedy i tylko wtedy, gdy

${\begin{aligned}&F_{X_{1}}(x)=F_{X_{k}}(x)\,&\forall k\in \{1,\ldots ,n\}~{\text{i}}~\forall x\in I&\quad {\text{oraz}}\\&F_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=F_{X_{1}}(x_{1})\cdot \ldots \cdot F_{X_{n}}(x_{n})\,&\forall x_{1},\ldots ,x_{n}\in I&\end{aligned}}$,

gdzie $F_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\operatorname {P} (X_{1}\leq x_{1}\land \ldots \land X_{n}\leq x_{n})$ jest wspólną dystrybuantą $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$.