Operator Stokesa (operator pochodnej materialnej) – operator różniczkowy stosowany w mechanice do oznaczania różniczkowania wędrownego (inaczej pochodnej substancjalnej lub pochodnej materialnej). Określa tempo zmiany dowolnej własności związanej z elementarną objętością ciała, która może znajdować się w ruchu, w odróżnieniu od różniczkowania lokalnego – związanego z układem odniesienia, który zwykle uznaje się za nieruchomy[1].
Operator używany w mechanice płynów.
Operator Stokesa zwykle oznaczany jest przez:
lub w sktócie ![{\displaystyle D_{t}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82nqs0ygoPaDo5ate5agrFzteQajm1zDaOotrEnDiPzge2yji2nDzC)
W analizie wędrownej równoważny jest symbolowi:
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81aDhBaqzFzjo3aDlCoAw1ygiPaNs2zNi2a2sPztFBzthFzAsQntwO)
różniczkowania cząstkowego względem czasu
Natomiast przy użyciu analizy lokalnej symbol równoważny jest operatorowi:
Zapis klasyczny
|
|
Zapis indeksowy
|
|
Zapis absolutny
|
|
gdzie:
– prędkość elementu ciała, z którym jest stale związana różniczkowana wielkość.
Pierwszy składnik po prawej stronie równania nosi nazwę pochodnej lokalnej, drugi (pozostałe w przypadku zapisu klasycznego) pochodnej konwekcyjnej (unoszenia). Pochodna lokalna określa szybkość zmiany wielkości w danym punkcie wynikającą ze zmiany pola w czasie. Pochodna unoszenia określa szybkość zmiany na skutek przemieszczania się płynu[1].
Zapisując jawnie różniczkowaną własność jako
która w ogólności może być dowolnym polem tensorowym, można wyrazić operator Stokesa przez:
![{\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\phi =({\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }})\phi ={\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}\phi .}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85zDo3ygrBa2hCzDhDzqe2ytK2ztvCatiNzNvEoAs2oAo4oNdCnqnC)
Jeżeli funkcja różniczkowana jest prędkością, to pochodna jest przyspieszeniem płynu[1]:
![{\displaystyle \phi =v,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OzgnCaqhDaAa0aqa5zjrEaDnCotK2zqe1ztlCzgwQnDhDo2iPz2vD)
![{\displaystyle a={\frac {D}{Dt}}v=({\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }})v={\frac {\partial v}{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}v.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Ea2dAaNe0zNa4zqwPoNFAaDvDzNs3aNa1zgzAaNsPaqiQnqsOoNi4)
W układzie współrzędnych Eulera punkt o współrzędnej
w chwili
znajdzie się w chwili
w punkcie
Z definicji pochodnej:
![{\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\phi =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\phi (t+\Delta t,{\vec {x}}+\Delta {\vec {x}})-\phi (t,{\vec {x}})}{\Delta t}}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EzqzAo2e2aNFBzDe4otK2z2i4aDrAngvEzAw1oDo4zDK0ags5oqvB)
Oznaczając:
![{\displaystyle {\vec {v}}'={\frac {\Delta {\vec {x}}}{\Delta t}},}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84njw3zqhCaAnCzDnBnDaNatmOaje2ytoNzDGNzDi1nAzCyqiNngzF)
można zauważyć, że:
![{\displaystyle \lim _{\Delta t\to 0}{\vec {v}}'={\vec {v}}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83aDrFaghEags4nji1nDzAnjaOyto1oDzAz2e1o2o1ajeOzgrFaNeN)
Rozwijając różniczkowaną funkcję wokół punktu
otrzymuje się:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\phi (t+\Delta t,{\vec {x}}+\Delta {\vec {x}})&=\phi (t,{\vec {x}})+{\frac {\partial \phi }{\partial {\vec {x}}}}\cdot \Delta {\vec {x}}+{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\Delta t+{\mathcal {O}}(\Delta {\vec {x}}\,\Delta {\vec {x}})+{\mathcal {O}}(\Delta t^{2})\\&=\phi (t,{\vec {x}})+\left({\frac {\partial \phi }{\partial {\vec {x}}}}\cdot {\vec {v}}'+{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)\Delta t+{\mathcal {O}}(\Delta t^{2}).\end{aligned}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NoDdCzDm4yje3zAi5otGPz2o0ntzAnDJBajJEata2zNw0aNvBaAsQ)
Stąd:
![{\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\phi =\lim _{\Delta t\to 0}\left({\frac {\partial \phi }{\partial {\vec {x}}}}\cdot {\vec {v}}'+{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)=\lim _{\Delta t\to 0}\left({\vec {v}}'\cdot {\vec {\nabla }}+{\frac {\partial }{\partial t}}\right)\phi =\left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\phi .}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82aNG1z2e5ngoOa2oQnDGQyqi4atm4oDi0agaQaqzAyte1njC3atJB)
Różniczka zupełna funkcji
ma postać:
![{\displaystyle d\phi ={\frac {\partial \phi }{\partial t}}dt+{\frac {\partial \phi }{\partial x}}dx+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}dy+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}dz,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Cagi5aAeOaji1z2w0agrEatoPzDa5oNhBnqnDoDJDzNeQzjBDatm3)
dzieląc przez
możemy zapisać:
![{\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}={\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\frac {dz}{dt}},}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Po2o0o2a3zDJCyjKPzNK2atC4aNwPzqa1zqwOzAhCz2hDaje4ntoO)
uwzględniając, że prędkość
otrzymujemy:
![{\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}={\frac {\partial \phi }{\partial t}}+u{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+v{\frac {\partial \phi }{\partial y}}+w{\frac {\partial \phi }{\partial z}}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9FzDG4njnCzjs5a2sNytG4a2ePzgvBnAzCytoPzDKNnjCNoti0otnE)
Co można zapisać, używając operatorów:
![{\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}={\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot \nabla \phi .}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DnDnByjwQaDC5zDK1a2ePyjvEzNaOytCNztJDzDw0aqw1ntnCytnB)
W literaturze oznaczenia
oraz
używane są zamiennie.