Przejdź do zawartości

Spektrum pierścienia

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Spektrum pierścienia – dla danego pierścienia przemiennego z jednością zbiór złożony ze wszystkich ideałów pierwszych w wraz z tzw. topologią Zariskiego, tj. topologią, w której rodziną zbiorów domkniętych jest

przy czym dla dowolnego podzbioru pierścienia symbol oznacza zbiór wszystkich ideałów pierwszych zawierających

Własności

[edytuj | edytuj kod]
  • Punkt w przestrzeni jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy jest ideałem maksymalnym (nie może zawierać się w żadnym innym ideale pierwszym, a każdy ideał maksymalny jest pierwszy). Spektrum pierścienia nie jest więc zazwyczaj przestrzenią T1, ani tym bardziej przestrzenią Hausdorffa.
  • Jeśli punkt przestrzeni należy do domknięcia innego punktu tej przestrzeni, to jako zbiór jest zawarty w (skoro jest elementem to musi zawierać zbiór ).
  • jest przestrzenią T0.

Struktura zbiorów otwartych w topologii Zariskiego

[edytuj | edytuj kod]

Z definicji topologii Zariskiego wynika, że rodziną zbiorów otwartych w jest

Dla każdego elementu pierścienia niech oznacza dopełnienie w zbioru (będące zbiorem otwartym). Zbiory składają się z tych wszystkich tych ideałów pierwszych pierścienia które nie zawierają elementu Ponadto,

  • zbiory tworzą bazę otoczeń otwartych topologii Zariskiego.
  • zbiór jest pusty wtedy i tylko wtedy, gdy element jest nilpotentny.
  • zbiór jest równy wtedy i tylko wtedy, gdy element jest jednością w pierścieniu
  • przestrzeń jest zwarta, a każdy zbiór jako domknięty podzbiór przestrzeni zwartej, jest podprzestrzenią zwartą przestrzeni
  • zbiór otwarty w jest podprzestrzenią zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy można go przedstawić w postaci sumy skończenie wielu zbiorów postaci

Spójność przestrzeni

[edytuj | edytuj kod]

Składowymi nieprzywiedlnymi przestrzeni są zbiory gdzie jest minimalnym ideałem pierwszym pierścienia jest przestrzenią nieprzywiedlną wtedy i tylko wtedy, gdy nilradykał pierścienia jest ideałem pierwszym.

Spektrum jako schemat afiniczny

[edytuj | edytuj kod]

Na przestrzeni topologicznej można zdefiniować snop pierścieni Mianowicie, dla określmy lokalizacja pierścienia w Ponieważ dla różnych zbiory tworzą bazę topologii oraz dla istnieje naturalne odwzorowanie łatwo się przekonać, że to wystarczy do określenia wartości snopa na wszystkich otwartych podzbiorach

Przestrzeń wraz z tak określonym snopem nazywa się schematem afinicznym powiązanym z pierścieniem Schematy afiniczne są istotnym elementem konstrukcji ogólnych schematów -- odgrywają podobną rolę do otwartych podzbiorów w konstrukcji rozmaitości topologicznych bądź różniczkowych.

Przykłady

[edytuj | edytuj kod]

Pierścień liczb całkowitych jest pierścieniem ideałów głównych. Ideałami pierwszymi są w nim ideały postaci gdzie jest liczbą pierwszą:

Niezerowe ideały pierwsze w tym pierścieniu są ideałami maksymalnymi, czyli każdy punkt przestrzeni jest domknięty (punkt domknięty nie jest). Ponadto, jeśli jest podzbiorem zbioru liczb całkowitych, to do zbioru należą te i tylko te ideały pierwsze (ewentualnie gdy ), dla których liczba dzieli każdą liczbę należącą do tj.

W szczególności, każdy zbiór jest skończony.

Na odwrót, dla dowolnego skończonego zbioru liczb pierwszych jeśli jest ich iloczynem, to Stąd wynika, że jedynymi zbiorami domkniętymi w są zbiory skończone i zbiór Dwa zbiory otwarte w mają więc nieskończenie wiele punktów wspólnych, a sama przestrzeń jest nieprzywiedlna.

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]
  • M.F. Atiyah, I.G. Macdonald: Introduction to commutative algebra (tłum. ros.). Mir, 1972, s. 22, 23.