Twierdzenie o rzędzie – twierdzenie algebry liniowej opisujące związek między obrazem a jądrem danego przekształcenia liniowego; bywa ono łączone z nazwiskiem Jamesa Josepha Sylvestera, ogólniejszą postacią tego prawidła jest tzw. twierdzenie o izomorfizmie, w ogólności: przekształcenie liniowe przestrzeni na jej obraz rozszczepia się.
Analogiczne twierdzenie zachodzi dla dowolnej macierzy ustalonego typu (jest ona macierzą przekształcenia liniowego między dwoma przestrzeniami liniowymi skończonych wymiarów z wybranymi bazami). W przypadku układów równań liniowych twierdzenie to opisuje postać rozwiązania ogólnego układu jednorodnego: zmienne układu można podzielić na zależne i niezależne (nie są one wyznaczone jednoznacznie, lecz liczba zmiennych danego rodzaju jest zachowana); przypadek niejednorodny opisuje twierdzenie Kroneckera-Capellego.
Niech
będzie przekształceniem liniowym określonym między ustalonymi przestrzeniami liniowymi
Wówczas zachodzi równość
![{\displaystyle \dim \mathrm {dom\;A} =\dim \ker \mathrm {A} +\dim \mathrm {im\;A} ,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EaNCNztKPatzByta2zNJDaDeNoDlCntw4ygs0yjwOzqo4aAw5zgrF)
co oznacza się również
![{\displaystyle \dim V=\mathrm {null\;A} +\mathrm {rank\;A} ,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PaAsOztdFaDw0yqw4ntvFngoQzgo3zqeQytC3aDdDoAzBnDa5nje2)
gdzie
oznacza wymiar przestrzeni (względem jej ciała skalarów), a
oznaczają odpowiednio dziedzinę, jądro i obraz przekształcenia liniowego, zaś
nazywane zerowością i rzędem, symbolizują wymiary jądra i obrazu (są one podprzestrzeniami liniowymi). Innymi słowy: wymiar dziedziny jest sumą wymiarów jądra i obrazu (sumie zerowości i rzędu) tego przekształcenia.
Jeżeli
jest macierzą typu
czyli o
wierszach i
kolumnach, to
![{\displaystyle n=\mathrm {null} \;\mathbf {A} +\mathrm {rank} \;\mathbf {A} ,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9BaNo2ajmPzDCNaDGOytnEzjsQatdFoDlDoDJBo2s3ajC5zNCPyjaQ)
gdzie
i
oznaczają odpowiednio zerowość (wymiar jądra) oraz rząd (liczbę niezależnych liniowo kolumn) macierzy.
Niech
oznacza podprzestrzeń przestrzeni
spełniającą
a układ
będzie bazą
(tj. wraz z bazą
tworzy ona bazę
). Wówczas układ
jest bazą
- Generowanie
- Niech
wtedy
dla pewnego
który z rozkładu na sumę prostą można jednoznacznie przedstawić w postaci
gdzie
oraz
który można z kolei wyrazić w bazie tej podprzestrzeni jako
dla pewnych skalarów
Stąd
![{\displaystyle \mathbf {w} =\mathrm {A} (\mathbf {v} )=\mathrm {A} (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\mathrm {A} (\mathbf {x} )+\mathrm {A} (\mathbf {y} )=\mathbf {0} +\mathrm {A} (y_{1}\mathbf {b} _{1}+\ldots +y_{k}\mathbf {b} _{k})=y_{1}\mathrm {A} (\mathbf {b} _{1})+\ldots +y_{k}\mathrm {A} (\mathbf {b} _{k}),}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OnqvBotrCoNGNzDeQaqhFoDm0zDaQajsPzNs1njzAoNdAz2wQaAsN)
- co wobec dowolności
oznacza, że układ
rozpina ![{\displaystyle \mathrm {im\;A} .}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Pa2s2zAaQztKPaAa5zqvAagw1njm1nDnBotGPzge0z2aNnDKOnjdA)
- Liniowa niezależność
- Niech
![{\displaystyle c_{1}\mathrm {A} (\mathbf {b} _{1})+\ldots +c_{k}\mathrm {A} (\mathbf {b} _{k})=\mathbf {0} ,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Aajw0otFBajdCaAnCotiPz2vFati0zge5zDsOzDs2aqdFoDo5ntoQ)
- wtedy
czyli
należy równocześnie do
(jako kombinacja liniowa wektorów tej przestrzeni) oraz do
(jako element odwzorowywany w tym przekształceniu w wektor zerowy). Ponieważ jedynym wektorem wspólnym dla tych przestrzeni jest wektor zerowy (z rozkładu na sumę prostą), to
czyli
![{\displaystyle c_{1},\dots ,c_{k}=0}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Oz2w5zDK5otaOathBnAwPzti2zAa4ntaNzjzCoDzEoDKNyjvByjw3)
- (na mocy liniowej niezależności bazy
), co dowodzi liniowej niezależności ![{\displaystyle \mathrm {A} (\mathbf {b} _{1}),\dots ,\mathrm {A} (\mathbf {b} _{k}).}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EoNJBoDe3zDw1yge3nDJBzgeQoNKNz2a5z2dAotwNaNK0aDdDago4)
Teza twierdzenia wynika wprost z obserwacji, iż
i własności wymiaru dla sumy prostej.
- Przypadek nieskończeniewymiarowy
- Dowód uogólnia się wprost na przestrzenie nieskończonego wymiaru: jeżeli
to układ
wystarczy zastąpić dowolną bazą
przestrzeni
jeśli
to twierdzenie to mówi, że przestrzenie
oraz
nie mogą mieć jednocześnie skończonego wymiaru.
Z twierdzenia tego można wyprowadzić szereg obserwacji:
- izomorfizm liniowy
przeprowadza dowolną bazę
na bazę
gdyż wtedy ![{\displaystyle \dim V=\dim \ker \mathrm {A} +\dim \mathrm {im\;A} =\dim\{\mathbf {0} \}+\dim W=\dim W;}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9FzNzDzDKNngs4aDiPzNm3zqo5aji1aqvAaDnFaNhFoNmPytdDzjeO)
- ponieważ z równości wymiarów dziedziny i przeciwdziedziny przekształcenia liniowego wynika, iż jest ono izomorfizmem liniowym, to w połączeniu z powyższym faktem przestrzenie liniowe są izomorficzne, tj. mają identyczną strukturę liniową, gdy są równego wymiaru (wymiar jest niezmiennikiem przestrzeni liniowych);
- jeśli dla przekształcenia liniowego
jest
to jest ono monomorfizmem oraz epimorfizmem, a przez to izomorfizmem; na mocy założenia i z twierdzenia o rzędzie wynika następujący ciąg równoważności:
![{\displaystyle \ker \mathrm {A} =\{\mathbf {0} \}\Leftrightarrow \mathrm {null\;A} =0\Leftrightarrow \mathrm {rank\;A} =\dim V\Leftrightarrow \mathrm {rank\;A} =\dim W\Leftrightarrow \mathrm {im\;A} =W.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85zDCOotGOoDzDzNo3otdBzDm0zNBDnqhCzDFEntsOajm3aDa3nthD)