Corpo não comutativo
Corpo não comutativo, em álgebra abstrata, é uma estrutura matemática que tem todas as propriedades usuais de corpos, ou seja, tem operações de soma e produto que tem elemento neutro, elemento inverso, distributividade, etc, exceto que, no corpo não comutativo, a multiplicação não é comutativa.[1]
O estudo dos corpos não comutativos se iniciou em 1843, quando W. R. Hamilton apresentou os quaterniões, considerados, por ele, como o clímax da sua brilhante carreira matemática.[2] Em 1905, Wedderburn provou que não existem corpos finitos não comutativos, ou seja, todo anel de divisão [Nota 1] finito é comutativo.[3]
Exemplos de corpos não comutativos são raros na literatura matemática, sendo o primeiro caso de um corpo não comutativo construído como séries de potências o exemplo de Hilbert, em 1898, que ilustrava o fato de que um corpo ordenado não arquimediano não precisava ser comutativo.[2]
Definição
[editar | editar código-fonte]Um corpo não comutativo é uma estrutura matemática (R, +, ., 0, 1) satisfazendo as seguintes propriedades:[4]
- (R, +, 0) é um grupo abeliano
- (R*, ., 1) é um grupo não abeliano
- Vale a propriedade distributiva
Exemplo: os quaterniões
[editar | editar código-fonte]O primeiro exemplo foi dado por Hamilton, em 1843: são os quaterniões, também chamados como os quaterniões de Hamilton.[4]
Neste anel, cada elemento é escrito como uma soma formal a = a0 + a1 i + a2 j + a3 k, em que a0, a1, a2 e a3 são números reais, e a multiplicação é feita assumindo-se as propriedades associativa e distributiva, que um número real comuta, na multiplicação, com i, j e k, e que estes três símbolos formais operam de acordo com as regras:[5]
- i2 = j2 = k2 = -1
- ij = k, jk = i, ki = j
- ji = -k, kj = -i, ik = -j
Uma apresentação equivalente, porém anacrônica (pois matrizes foram introduzidas na matemática por Cayley, em 1855), dos quaterniões pode ser feita por meio de matrizes complexas. Um quaternião seria uma matriz H dada por:[6]
Obviamente, 1 é a matriz identidade, e os elementos i, j e k podem ser identificados com as matrizes:[6]
Exemplo: série formal de Laurent
[editar | editar código-fonte]Outro exemplo clássico parte de um corpo (comutativo) L e um automorfismo σ de L. Seja L((T; σ)) o anel das séries de Laurent formais com variável T e coeficientes em L, ou seja, cada elemento de L é escrito, formalmente, como uma série de potências que começa em alguma potência (positiva ou negativa) de T mas não termina, ou seja, são termos da forma:
A soma é feita componente a componente, porém o produto é feito após a aplicação da regra:
Prova-se que estas operações definem um anel, e que a multiplicação tem elemento inverso. Se o automorfismo σ não for a própria identidade, então a multiplicação não é comutativa.[7]
- ↑ A nomenclatura não é consistente. Um anel com elemento neutro multiplicativo e no qual todo elemento não nulo tem inverso é chamado, por alguns autores, de anel de divisão (division ring), e por outros de corpo (field) ou mesmo de skew field. Skew field, na nomenclatura mais usual, corresponde ao corpo não comutativo.
- ↑ Robert Gardner, Part IV. Rings and Fields, Section IV.18. Rings and Fields, Definition 18.16 [em linha]
- ↑ a b Paul Moritz Cohn, Skew Field Constructions (1977), Prefácio, p.vii, [google books, visualização parcial]
- ↑ Cédric Milliet, Small Skew Fields [em linha]
- ↑ a b Robert B. Ash, Abstract Algebra: The Basic Graduate Year, Chapter 2 Ring Fundamentals, 2.1 Basic Definitions and Properties [em linha]
- ↑ Introduction to Modern Algebra, 2. Fields, 2.5 Skew fields (division rings) and the quaternions, 2.5.2. The Quaternions H [em linha]
- ↑ a b P. K. Draxl, London Mathematical Society Lecture Note Series. 81 , Skew Fields p.2s [google books]
- ↑ P. K. Draxl, London Mathematical Society Lecture Note Series. 81 , Skew Fields p.5 [google books]