Equação do quarto grau

Gráfico de um polinômio do quarto grau, com quatro raízes reais distintas

Em matemática, uma equação do quarto grau ou equação biquadrática é uma equação polinomial monovariável de grau quarto. A forma geral de uma equação do quarto grau é dada por:

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,

com

a\neq 0.

A hipótese $a\neq 0.$ garante que o termo de quarta ordem é não-nulo.

Exemplos

2x^{4}+4x^{3}-26x^{2}-28x+48=0

x^{4}-1=0

x^{4}-5x^{2}+6=0

Existência de soluções

O Teorema fundamental da álgebra, uma equação quártica terá sempre quatro soluções (raízes), simples ou múltiplas no conjunto dos números complexos.

Formas especiais

Equação biquadrática

Uma equação biquadrática é uma equação do quarto grau incompleta da seguinte forma:

ax^{4}+cx^{2}+e=0,

como

a\neq 0

Esta equação pode ser reduzida a uma equação do segundo grau através seguinte mudança de variáveis:

ay^{2}+cy+e=0,

onde

y=x^{2}

Cujas raízes em y são descobertas pela Fórmula de Bhaskara: $y={\frac {-c\pm {\sqrt {c^{2}-4ae}}}{2a}},$

E em x:

x=\pm {\sqrt {\frac {-c+{\sqrt {c^{2}-4ae}}}{2a}}}

e

x=\pm {\sqrt {\frac {-c-{\sqrt {c^{2}-4ae}}}{2a}}}

O método de Ferrari

As soluções podem ser encontradas usando o método de Ferrari desenvolvido pelo matemático italiano Lodovico Ferrari.

É importante observar que, em sua época (século XVI), não havia sido desenvolvida a notação simbólica, e números negativos normalmente não eram reconhecidos como números. As soluções eram dadas para casos concretos, e supunha-se que o leitor era capaz de generalizar.

Ferrari resolveu uma equação que, em linguagem moderna, pode ser escrita como:

x^{4}+px^{2}+q=rx

Nota-se que a equação geral $az^{4}+bz^{3}+cz^{2}+dz+e=0$ pode ser facilmente reduzida a este caso através da transformação $z=x-{\frac {b}{4a}},$ dividindo-se a equação resultante por a₄.

A partir daqui, o método consiste em arrumar os termos da equação de forma a que ela seja escrita na forma $(x^{2}+A)^{2}=(Bx+C)^{2},$ cuja solução pode ser obtida através dos métodos de solução de equação do segundo grau.

No primeiro passo, o primeiro membro da equação, $x^{4}+px^{2}+q,$ é transformado no quadrado baseado em $x^{4}+q,$ ou seja, $x^{4}+2{\sqrt {q}}x^{2}+q:$

x^{4}+q=rx-px^{2}

x^{4}+2{\sqrt {q}}x^{2}+q=(2{\sqrt {q}}-p)x^{2}+rx

2)\,\,\,\,\,(x^{2}+{\sqrt {q}})^{2}=rx+\left(2{\sqrt {q}}-p\right)x^{2}

Em seguida, somam-se termos em uma nova variável y, porém de forma a que o primeiro membro não deixe de ser um quadrado. Para isto, além de somar y², devemos somar também $2(x^{2}+{\sqrt {q}})y,$ ou seja:

(x^{2}+{\sqrt {q}})^{2}+2(x^{2}+{\sqrt {q}})y+y^{2}=

rx+\left(2{\sqrt {q}}-p\right)x^{2}+2(x^{2}+{\sqrt {q}})y+y^{2}

Reescrevendo:

2)\,\,\,\,\,(x^{2}+{\sqrt {q}}+y)^{2}=(2{\sqrt {q}}-p+2y)x^{2}+rx+2y{\sqrt {q}}+y^{2}

Para que o segundo membro desta equação, $(2{\sqrt {q}}-p+2y)x^{2}+rx+2y{\sqrt {q}}+y^{2},$ seja um quadrado da forma $(Bx+C)^{2},$ é necessário que o termo de grau 1 em x (r) seja o dobro da raiz quadrada do produto do termo de grau 2 em x ( $2{\sqrt {q}}-p+2y$ ) pelo termo de grau 0 em x ( $2y{\sqrt {q}}+y^{2}$ ).