Equação do quarto grau

Gráfico de um polinômio do quarto grau, com quatro raízes reais distintas

Em matemática, uma equação do quarto grau ou equação quártica é uma equação polinomial monovariável de grau quarto. A forma geral de uma equação do quarto grau é dada por:

$a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\,$, com $a_{4}\neq 0.$

A hipótese $a_{4}\neq 0.$ garante que o termo de quarta ordem é não-nulo. Todos os coeficientes $a_{k}\,$ são dados.

Exemplos

$2x^{4}+4x^{3}-26x^{2}-28x+48=0\,$

$x^{4}=1\,$

$x^{4}-5x^{2}+6=0\,$

Existência de soluções

O Teorema fundamental da álgebra, uma equação quártica terá sempre quatro soluções (raízes), simples ou múltiplas no conjunto dos números complexos.

Formas especiais

Equação biquadrática

Ver artigo principal: Equação biquadrada

Uma equação biquadrática é uma equação do quarto grau da seguinte forma:

$a_{4}x^{4}+a_{2}x^{2}+a_{0}=0\,$, como $a_{4}\neq 0\,$

Esta equação pode ser reduzida a uma equação do segundo grau através seguinte mudança de variáveis:

$a_{4}y^{2}+a_{2}y+a_{0}=0\,$, onde $y=x^{2}\,$

E as raízes da equação de quarto grau será: x₁=y₁;x₂=y₂;x₃=-y₁;x₄=-y₂.

O método de Ferrari

As soluções podem ser encontradas usando o método de Ferrari desenvolvido pelo matemático italiano Lodovico Ferrari.

É importante observar que, em sua época (século XVI), não havia sido desenvolvida a notação simbólica, e números negativos normalmente não eram reconhecidos como números. As soluções eram dadas para casos concretos, e supunha-se que o leitor era capaz de generalizar.

Ferrari resolveu uma equação que, em linguagem moderna, pode ser escrita como:

$1)\,\,\,\,\,x^{4}+px^{2}+q=rx$

Nota-se que a equação geral $a_{4}z^{4}+a_{3}z^{3}+\ldots +a_{0}=0\,$ pode ser facilmente reduzida a este caso particular através da transformação $z=x-{\frac {a_{3}}{4a_{4}}}\,$, dividindo-se a equação resultante por a₄.

A partir daqui, o método consiste em arrumar os termos da equação de forma a que ela seja escrita na forma $(x^{2}+A)^{2}=(Bx+C)^{2}\,$, cuja solução pode ser obtida através dos métodos de solução de equação do segundo grau.

No primeiro passo, o primeiro membro da equação, $x^{4}+px^{2}+q\,$, é transformado no quadrado baseado em $x^{4}+q\,$, ou seja, $x^{4}+2{\sqrt {q}}x^{2}+q\,$:

$x^{4}+q=rx-px^{2}\,$

$x^{4}+2{\sqrt {q}}x^{2}+q=(2{\sqrt {q}}-p)x^{2}+rx\,$

$2)\,\,\,\,\,(x^{2}+{\sqrt {q}})^{2}=rx+\left(2{\sqrt {q}}-p\right)x^{2}$

Em seguida, somam-se termos em uma nova variável y, porém de forma a que o primeiro membro não deixe de ser um quadrado. Para isto, além de somar y², devemos somar também $2(x^{2}+{\sqrt {q}})y\,$, ou seja:

$(x^{2}+{\sqrt {q}})^{2}+2(x^{2}+{\sqrt {q}})y+y^{2}=\,$

$rx+\left(2{\sqrt {q}}-p\right)x^{2}+2(x^{2}+{\sqrt {q}})y+y^{2}\,$

Reescrevendo:

$2)\,\,\,\,\,(x^{2}+{\sqrt {q}}+y)^{2}=(2{\sqrt {q}}-p+2y)x^{2}+rx+2y{\sqrt {q}}+y^{2}$

Para que o segundo membro desta equação, $(2{\sqrt {q}}-p+2y)x^{2}+rx+2y{\sqrt {q}}+y^{2}\,$, seja um quadrado da forma $(Bx+C)^{2}\,$, é necessário que o termo de grau 1 em x (r) seja o dobro da raiz quadrada do produto do termo de grau 2 em x ($2{\sqrt {q}}-p+2y\,$) pelo termo de grau 0 em x ($2y{\sqrt {q}}+y^{2}$).

Em outras palavras, isto requer:

$4(2{\sqrt {q}}-p+2y)(2y{\sqrt {q}}+y^{2})-r^{2}=0$

que, expandido, gera a equação do terceiro grau:

$8y^{3}+(24{\sqrt {q}}-4p)y^{2}+(16q-8p{\sqrt {q}})y-r^{2}=0$