Equação do quarto grau: diferenças entre revisões
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:<math>a_4 y^2+a_2y + a_0=0 \,</math>, onde <math>y=x^2\,</math> |
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E as raízes da equação de quarto grau será: x<sub>1</sub>=y<sub>1</sub>;x<sub>2</sub>=y<sub>2</sub>;x<sub>3</sub>=-y<sub>1</sub>;x<sub>4</sub>=-y<sub>2</sub>. |
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===O método de Ferrari=== |
===O método de Ferrari=== |
Revisão das 13h24min de 6 de novembro de 2011
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Em matemática, uma equação do quarto grau ou equação quártica é uma equação polinomial monovariável de grau quarto. A forma geral de uma equação do quarto grau é dada por:
- , com
A hipótese garante que o termo de quarta ordem é não-nulo. Todos os coeficientes são dados.
Exemplos
Existência de soluções
O Teorema fundamental da álgebra, uma equação quártica terá sempre quatro soluções (raízes), simples ou múltiplas no conjunto dos números complexos.
Formas especiais
Equação biquadrática
Uma equação biquadrática é uma equação do quarto grau da seguinte forma:
- , como
Esta equação pode ser reduzida a uma equação do segundo grau através seguinte mudança de variáveis:
- , onde
E as raízes da equação de quarto grau será: x1=y1;x2=y2;x3=-y1;x4=-y2.
O método de Ferrari
As soluções podem ser encontradas usando o método de Ferrari desenvolvido pelo matemático italiano Lodovico Ferrari.
É importante observar que, em sua época (século XVI), não havia sido desenvolvida a notação simbólica, e números negativos normalmente não eram reconhecidos como números. As soluções eram dadas para casos concretos, e supunha-se que o leitor era capaz de generalizar.
Ferrari resolveu uma equação que, em linguagem moderna, pode ser escrita como:
Nota-se que a equação geral pode ser facilmente reduzida a este caso particular através da transformação , dividindo-se a equação resultante por a4.
A partir daqui, o método consiste em arrumar os termos da equação de forma a que ela seja escrita na forma , cuja solução pode ser obtida através dos métodos de solução de equação do segundo grau.
No primeiro passo, o primeiro membro da equação, , é transformado no quadrado baseado em , ou seja, :
Em seguida, somam-se termos em uma nova variável y, porém de forma a que o primeiro membro não deixe de ser um quadrado. Para isto, além de somar y2, devemos somar também , ou seja:
Reescrevendo:
Para que o segundo membro desta equação, , seja um quadrado da forma , é necessário que o termo de grau 1 em x (r) seja o dobro da raiz quadrada do produto do termo de grau 2 em x () pelo termo de grau 0 em x ().
Em outras palavras, isto requer:
que, expandido, gera a equação do terceiro grau:
Equações polinomiais |