Fórmula quadrática
Em álgebra, a fórmula quadrática, também conhecida como fórmula de Bhaskara no Brasil,[1] é uma fórmula que fornece a solução de uma equação do 2º grau (ou equação quadrática). Existem outras formas de resolver uma equação quadrática, como fatoração, completamento de quadrados, pelo gráfico da função e outras.
Dada uma equação quadrática geral no formato:
cujo discriminante é positivo (onde representa um valor desconhecido, , e representam constantes, sendo ), a fórmula quadrática é:
na qual o sinal de mais ou menos "±" indica que a equação quadrática tem duas soluções.[2] Quando escritas separadamente, estas são:
Cada uma dessas duas soluções é chamada de raiz (ou zero) da equação quadrática. Geometricamente, essas raízes representam os valores de em que qualquer parábola, descrita como , cruza o eixo .[3]
Além de ser uma fórmula que fornece as raízes de qualquer parábola, a fórmula quadrática também pode ser usada para identificar o eixo de simetria da mesma parábola,[4] e o número de raízes reais que uma equação quadrática contém.[5]
Embora no Brasil seja comumente atribuída a Bhaskara II, uma variante da fórmula que fornece a raiz real de uma equação quadrática já havia sido descoberta séculos antes do nascimento de Bhaskara, pelo matemático indiano Brahmagupta.[6] Em partes da Alemanha e da Suíça, a fórmula é coloquialmente conhecida como a "fórmula da meia-noite", porque os alunos devem ser capazes de recitá-la mesmo que sejam acordados à meia-noite.[7]
Formulações equivalentes
Quando o discriminante é positivo, a fórmula quadrática também pode ser escrita no formato
que pode ser simplificado para
Essa versão da fórmula facilita a descoberta das raízes quando se usa uma calculadora.
Quando o discriminante é negativo, raízes complexas estão envolvidas. Nesse caso, a fórmula quadrática acima pode ser descrita com a seguinte expressão (na qual a expressão fora da raíz quadrada é a parte real e a contida na raíz é a parte imaginária):
Método de Muller
Uma fórmula quadrática menos conhecida, que é utilizada no Método de Muller e que pode ser encontrada pelas Fórmulas de Vieta, fornece (assumindo , ) as mesmas raízes pela equação:
Formulações baseadas em parametrizações alternativas
A parametrização padrão da equação quadrática é
Algumas fontes, particularmente as mais velhas, usam parametrizações da equação quadrática como
- , onde ,
ou
- , onde .[8]
Essas parametrizações resultam em formas levemente diferentes para a solução, mas que são equivalentes à parametrização padrão.
Usando a técnica de 'completar o quadrado'
Método padrão
Divida a equação quadrática por , que é permitido porque :
Subtraia dos dois lados da equação, o que resulta em:
A equação quadrática agora está em um formato em que a técnica de completar o quadrado é aplicável. Adicionando uma constante a ambos os lados da equação de tal forma que o lado esquerdo da equação se torne um quadrado perfeito, a equação quadrática se torna:
o que produz:
Assim, após reorganizar os termos do lado direito da equação para terem um denominador comum, nós obtemos:
Desta maneira, completamos o quadrado. Se o discriminante é positivo, podemos extrair a raiz quadrada de ambos os lados, resultando na seguinte equação:
Nesse caso, isolar a variável nos fornece a fórmula quadrática:
Existem múltiplas variações dessa derivação com diferenças mínimas, principalmente em relação à manipulação da constante .
Método mais curto
Também é possível completar o quadrado com uma sequência mais curta, e muitas vezes mais simples:[9]
- Multiplique cada lado por ,
- Reorganize.
- Adicione a ambos os lados para completar o quadrado.
- O lado esquerdo é a expansão do polinômio .
- Extraia a raiz quadrada de ambos os lado.
- Isole .
Nesse caso, a fórmula quadrática é derivada da seguinte forma:
Essa derivação da fórmula quadrática é extremamente antiga e era conhecida na Índia pelo menos desde 1025.[10] Comparada à derivação em uso padrão, essa derivação alternativa evita frações até o último passo e portanto não requer uma reorganização após o terceiro passo para obter um denominador comum no lado direito.[9]
Por substituição
Outra técnica é a solução por substituição. Nessa técnica, nós substituímos na equação quadrática para obtermos:
Expandindo o resultado e agrupando as potências de obtemos:
Ainda não impusemos uma segunda condição em e , então escolheremos um para que o termo do meio desapareça. Ou seja, ou .
Subtraindo o termo constante de ambos os lados da equação (para movê-lo para o lado direito) e então dividindo por temos:
Substituindo temos:
Portanto, contanto que o discriminante seja positivo,
Expressando novamente em termos de usando a fórmula , A fórmula quadrática conhecida pode ser obtida:
Usando identidades algébricas
O método a seguir foi usada por muitos matemáticos ao longo da história:[11]
Sejam r1 e r2 as raízes da equação quadrática padrão. A derivação começa ao lembrarmos da identidade:
Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados, temos:
Sabendo que a ≠ 0, podemos dividir a equação padrão por a para obter um polinômio quadrático com as mesmas raízes. Isto é,
Podemos então perceber que a soma das raízes da equação quadrática padrão é dada por , e o produto destas raízes é dado por . Com isso em mente, podemos reescrever a identidade da seguinte forma:
O que leva a,
Já que , se usarmos
então obtemos
e se ao invés disso usarmos
então podemos calcular que
Combinando esses resultados usando a abreviação ±, temos que as soluções da equação quadrática são:
Desenvolvimento histórico
Os primeiros métodos para resolver equações quadráticas eram geométricos. Tabletes cuneiforme babilônios continham problemas reduzíveis a resoluções de equações quadráticas.[12] O Papiro de Berlim egípcio, que remonta ao Império Médio (2050 a.C até 1710 a.C), contém a solução para uma equação quadrática de dois termos.[13]
O matemático grego Euclides (c. 300 a.C) usou métodos geométricos para resolver equações quadráticas no Livro 2 de seu tratado matemático Elementos.[12] Regras para equações quadráticas aparecem no livro chinês Os nove capítulos da arte matemática (c. 200 a.C).[10] Em seu tratado Arithmetica, o matemático grego Diofanto (c. 250 d.C) resolveu equações quadráticas com um método mais reconhecível como algébrico quando comparado à álgebra geométrica de Euclides.[12] Sua solução só fornecia uma raiz, mesmo em casos com duas raízes positivas.[10]
O matemático indiano Brahmagupta (597–668) descreveu explicitamente a fórmula quadrática em seu tratado Brāhmasphuṭasiddhānta,[14] publicado em 628 d.C., mas escrito em palavras em vez de símbolos.[15] Sua solução da equação quadrática ax2 + bx = c foi a seguinte: "Ao número absoluto multiplicado por quatro vezes o [coeficiente do] quadrado, adicione o quadrado do [coeficiente do] termo médio; a raiz quadrada do mesmo, menos o [coeficiente do] termo médio, sendo dividido por duas vezes o [coeficiente do] quadrado é o valor."[16] Isso é equivalente a:
O autor do método empregado por Bhaskara Akaria, para resolução das equações quadráticas, foi provavelmente o matemático indiano Sridhara [en] (870-930 d.C.),[17] que apresentou um algoritmo para resolver equações quadráticas, embora não haja indicação de que ele tenha considerado ambas as raízes.[18] A fórmula, por vezes chamada "fórmula de Bhaskara", veio com um matemático francês, François Viète (1540-1603), que deu à fórmula geral, um tratamento algébrico mais formal.
- ↑ «Fórmula de Bhaskara». Mundo Educação. Consultado em 3 de julho de 2022
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- ↑ «Axis of Symmetry of a Parabola. How to find axis from equation or from a graph. To find the axis of symmetry ...». www.mathwarehouse.com. Consultado em 3 de julho de 2022
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- ↑ a b Hoehn, Larry (maio de 1975). «A More Elegant Method of Deriving the Quadratic Formula». The Mathematics Teacher (5): 442–443. ISSN 0025-5769. doi:10.5951/MT.68.5.0442. Consultado em 3 de julho de 2022
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- ↑ Sridharacharya Formula, cuemath.com
- ↑ «Sridhara. Quick Info», MacTutor