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Análise harmónica

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A análise harmónica (português europeu) ou harmônica (português brasileiro) é o ramo da matemática que estuda a representação de funções ou sinais como a sobreposição de ondas base. Ela investiga e generaliza as noções das séries de Fourier e da transformação de Fourier. As ondas básicas são chamadas de harmónicas, e este ramo da matemática logo passou a ser conhecido pelo nome de "análise harmónica". Nos dois séculos passados (XIX e XX), tornou-se um tema vasto, com aplicações em áreas tão diversas como o processamento de sinais, mecânica quântica, e ciência neuronal.

Determinação dos coeficientes de uma série trigonométrica

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Suponhamos que a função f(x) de uma variável real independente x, definida no intervalo (-π, +π), possa ser representada por uma série trigonométrica, “uniformemente convergente” em todos os seus pontos de definição, isto é:

(1)

As funções uniformes no intervalo (-π,+π) ou (0,2π), contínuas ou com número finito de descontinuidades finitas e que não tenham número infinito de máximos e mínimos no intervalo considerado podem ser desenvolvíveis em séries deste tipo. As funções encontradas em problemas práticos geralmente satisfazem estas condições. (Se x0 é um ponto de descontinuidade finita da função, a série dá para este ponto o valor médio.)

O cálculo do coeficiente an, do termo geral em cosseno, é obtido multiplicando-se ambos os membros de (1) por cos nx dx e integrando-se entre os limites –π e +π. Assim:

Logo:


Observação:

  • se m≠n

    e, portanto, a integral indefinida será:

    o que permite constatar que a integral definida (-π,+π) é nula.


  • se m=n

    e a integral indefinida será

    que é nula no intervalo (-π,+π).


Analogamente, multiplicando-se ambos os membros de (1) por e integrando-se, obtemos:

Numericamente estes termos podem ser calculados assim:


onde:

Δx = 2π/N (os intervalos Δx são iguais portanto, e em radianos)
(1/π)Δx = Δx/π = (2π/N)/π = 2/N
N = Número de intervalos correspondentes a um comprimento de onda.

Portanto:

Observação: Os valores de xn são convertidos para radianos:

xn = 2π.(fração de λ correspondente a xn)

isto é:

xn = 2π.( xn' - x0' )/( xm' - x0' )

onde x0 é o valor da variável independente, em qualquer unidade, em que inicia se um comprimento de onda e xm' aquele em que termina o comprimento de onda considerado.

De forma análoga se calcula os coeficientes bn, sendo que b0 = 0 pois sen 0 = 0.

Se a função é simétrica em relação ao eixo x, dizemos que f e impar e não tem coeficientes de ordem par.

Ligações externas

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  • Matemática para a Engenharia, Homero Pinto Caputo, Ao Livro Técnico S.A., 1969