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Tensor eletromagnético de tensão–energia

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Na física relativística, o tensor eletromagnético tensão–energia é a contribuição para o tensor tensão–energia devido ao campo eletromagnético.[1] O tensor tensão–energia descreve o fluxo de energia e momento no espaço-tempo. O tensor eletromagnético de tensão–energia contém o negativo do tensor de tensão de Maxwell clássico que governa as interações eletromagnéticas.

Unidades do S.I.

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No espaço livre e no espaço-tempo plano, o tensor eletromagnético tensão–energia em unidades do S.I. é:<refname="WheelerEtAl"/>

onde é o tensor eletromagnético e onde é o tensor métrico de Minkowski [en] de assinatura métrica (− + + +). Ao usar a métrica com assinatura (+ − − −), a expressão à direita do sinal de igual terá sinal oposto.

Explicitamente em forma de matriz:

onde

é o vetor de Poynting,

é o tensor de tensão de Maxwell e c é a velocidade da luz. Assim, é expresso e medido em unidades de pressão do S.I. (pascal).

Convenções de unidades C.G.S.

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A permissividade do espaço livre e a permeabilidade do espaço livre em unidades gaussianas c.g.s. são:

então:

e na forma de matriz explícita:

onde o vetor de Poynting se torna:

O tensor tensão-energia para um campo eletromagnético em um meio dielétrico é menos bem compreendido e é o assunto da controvérsia não resolvida de Abraham – Minkowski.[2]

O elemento do tensor tensão-energia representa o fluxo do μ-ésimo componente do quadrimomento do campo eletromagnético, , passando por um hiperplano ( é constante ). Representa a contribuição do eletromagnetismo para a fonte do campo gravitacional (curvatura do espaço-tempo) na relatividade geral.

Propriedades algébricas

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O tensor eletromagnético tensão-energia tem várias propriedades algébricas:

  • É um tensor simétrico:
  • O tensor não tem traços:
Prova

Usando a forma explícita do tensor,

Baixando os índices e usando o fato de que

Então, usando

,

Observe que no primeiro termo, μ e α e apenas índices fictícios, então os renomeamos como α e β, respectivamente.

A simetria do tensor é como para um tensor tensão–energia geral na relatividade geral. O traço do tensor energia–momento é um escalar de Lorentz; o campo eletromagnético (e em particular as ondas eletromagnéticas) não tem escala de energia invariante de Lorentz, então seu tensor de energia-momento deve ter um traço de fuga. Essa ausência de traços eventualmente se relaciona com a falta de massa do fóton.[3]

Leis de conservação

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Ver artigo principal: Leis de conservação

O tensor eletromagnético tensão–energia permite uma maneira compacta de escrever as leis de conservação de energia e de momento linear no eletromagnetismo. A divergência do tensor tensão–energia é:

onde é a força de Lorentz (4D) por unidade de volume na matéria.

Esta equação é equivalente às seguintes leis de conservação 3D

descrevendo respectivamente o fluxo de densidade de energia eletromagnética

e densidade de momento eletromagnético

onde J é a densidade de corrente elétrica, ρ a densidade de carga elétrica e é a densidade de força de Lorentz.

  1. Gravitation (em inglês), J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne, W.H. Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0
  2. No entanto, veja Pfeifer et al., Review of modern physics (em inglês) 79, página 1197 (2007)
  3. Garg, Anupam. Classical electromagnetism in a nutshell (em inglês), página 564 (Princeton university press, 2012).