De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Formula lui Moivre este o egalitate ce face legătura între numere complexe și trigonometrie.
Poartă numele matematicianului Abraham de Moivre, care în 1707 a obținut egalitatea:
![{\displaystyle \cos x={\frac {1}{2}}(\cos(nx)+i\sin(nx))^{1/n}+{\frac {1}{2}}(\cos(nx)-i\sin(nx))^{1/n},}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PoqrBoNBEyghBzgi4ajwPaNm0oNzBaDC5aAsQytCOaNs0ygeOnDo3)
pe care a reușit să o demonstreze pentru orice
Pornind de la aceasta, de Moivre sugerează că are loc și relația:
(formula lui Moivre)
Leonhard Euler a demonstrat-o utilizând formula lui Cotes.
Cea mai simplă demonstrație a formulei face apel la metoda inducției matematice.
Astfel în cazul inițial pentru
formula este verificată.
Acum se trece la demonstrarea pasului inductiv presupunând formula adevărată pentru
adică:
![{\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{k}=r^{k}(\cos kx+i\sin kx),a=cosx,b=sinx}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EyqhAatsNatwOzgi0zgi2oAa5oqdBaghDzNoPnDa4aAzAajaNaNs4)
și se arată de aici valabilitatea formulei și pentru
Într-adevăr,
![{\displaystyle =(\cos kx\cdot \cos x-\sin kx\cdot \sin x)+i(\sin kx\cdot \cos x+\sin x\cdot \cos kx)=\cos(k+1)x+i\sin(k+1)x.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82ajG2aDs5zjs2zAdDo2sQntBFzDGQoDK4aAsPzDhEztdFyqe3aje2)
Formula lui Moivre este valabilă și pentru
întreg negativ.
Dacă în locul lui n este introdus inversul său ca exponent fracționar
și se ia
se obține:
![{\displaystyle 1^{1/n}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9BngoNzAhCaDa0nji2zAhCnjo5nDvEnjs1oDCPyge1yjoNaArBajeQ)
care are n valori diferite când k parcurge mulțimea
Acestea sunt de fapt rădăcinile de ordinul n ale unității, situate pe cercul unitate.