Sari la conținut

Limită a unui șir

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
n n sin(1/n)
1 0.841471
2 0.958851
...
10 0.998334
...
100 0.999983

Pe masură ce n crește, valoarea n sin(1/n) devine tot mai apropiată de 1. Spunem că limita acestui șir este 1.

Termenul de limită a unui șir este unul dintre cele mai importante concepte ale analizei matematice reale, fiind un caz particular al conceptului de limită. Acesta oferă definiția riguroasă a faptului că un șir converge spre un anumit punct numit limită.

Conceptul are ca punct de plecare probleme practice de calcul, de exemplu al dobânzii cu capitalizare.

  • Pentru un șir de numere reale
Un număr real L se numește limita șirului xn, notându-se sub forma:
dacă și numai dacă pentru orice număr real ε > 0, există un număr natural N astfel încât pentru orice n > N avem |xnL| < ε.
Un element este numit limita șirului și se notează:
dacă și numai dacă, pentru orice număr real ε > 0, există un număr natural N astfel încât pentru orice n > N, d(xn,L) < ε.
  • Șirul 1, -1, 1, -1, 1, ... este divergent.
  • Șirul 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... are limita 1. Acesta este un exemplu de serie infinită.
  • Dacă a este un număr real cu modul|a| < 1, atunci șirul an are limita zero. Dacă 0 < a, atunci șirul a1/n are limita 1.

De asemenea:






Cazul șirurilor de funcții

[modificare | modificare sursă]

Definiție. Fie un șir de funcții, Se spune că șirul este punctual convergent pe către f pentru și se scrie dacă (în ) pentru

Definiție. Un șir de funcții se numește uniform convergent pe către o funcție și se scrie   dacă este îndeplinită următoarea condiție:

natural astfel încât să existe relația pentru

Teoremă.

(a) Un șir de funcții mărginite, (adică: ) este uniform convergent către o funcție dacă și numai dacă
(b) Orice șir de funcții uniform convergent pe este punctual convergent pe reciproca este falsă.

Fie și Evident

adică unde:

Dar deci Așadar, șirul este dar nu este pe

Legături externe

[modificare | modificare sursă]