Обратные тригонометрические функции

(перенаправлено с «Арктангенс»)

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

  • арксинус (обозначение:  угол, синус которого равен )
  • арккосинус (обозначение:  угол, косинус которого равен и т. д.)
  • арктангенс (обозначение: ; в иностранной литературе )
  • арккотангенс (обозначение: ; в иностранной литературе или (намного реже) )
  • арксеканс (обозначение: )
  • арккосеканс (обозначение: ; в иностранной литературе )

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат. arcus — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Так, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Манера обозначать таким образом обратные тригонометрических функции появилась у австрийского математика XVIII века Карла Шерфера и закрепилась благодаря Лагранжу. Впервые специальный символ для обратной тригонометрической функции использовал Даниил Бернулли в 1729 году. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: но они не прижились[1]. Лишь изредка в иностранной литературе, также как и в научных/инженерных калькуляторах, пользуются обозначениями типа sin−1, cos−1 для арксинуса, арккосинуса и т. п.[2], — такая запись считается не очень удобной, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1.

Тригонометрические функции периодичны, поэтому функции, обратные к ним, многозначны. То есть, значение аркфункции представляет собой множество углов (дуг), для которых соответствующая прямая тригонометрическая функция равна заданному числу. Например, означает множество углов , синус которых равен . Из множества значений каждой аркфункции выделяют её главные значения (см. графики главных значений аркфункций ниже), которые обычно и имеют в виду, говоря об арксинусе, арккосинусе и т. д.

В общем случае при условии все решения уравнения можно представить в виде [3]

Основное соотношение

править
 
 

Функция arcsin

править
 
График функции  

Аркси́нусом числа x называется такое значение угла y, выраженного в радианах, для которого  

Функция   непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей.

  •   при  
  •   при  
  •   (область определения),
  •   (область значений).

Свойства функции arcsin

править
  •   (функция является нечётной).
  •   при  .
  •   при  
  •   при  
  •  
  •  
  •  
  •  

Получение функции arcsin

править

Дана функция  . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, на всей числовой прямой обратное соответствие   функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок  , на котором функция   строго монотонно возрастает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на отрезке   существует обратная функция  , график которой симметричен графику функции   относительно прямой  .

Функция arccos

править
 
График функции  

Аркко́синусом числа x называется такое значение угла y в радианной мере, для которого  

Функция   непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей и неотрицательной.

  •   при  
  •   при  
  •   (область определения),
  •   (область значений).

Свойства функции arccos

править
  •   Функция центрально-симметрична относительно точки   является индифферентной (ни чётной, ни нечётной).
  •   при  
  •   при  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Получение функции arccos

править

Дана функция  . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, на всей числовой прямой обратное соответствие   функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок  , на котором функция   строго монотонно убывает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на отрезке   существует обратная функция  , график которой симметричен графику функции   относительно прямой  .

Функция arctg

править
 
График функции  

Аркта́нгенсом числа x называется такое значение угла   выраженное в радианах, для которого  

Функция   определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго возрастающей.

  •   при  
  •   при  
  •   (область определения),
  •   (область значений).

Свойства функции arctg

править
  •   (функция является нечётной).
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  , где   — обратный гиперболический тангенс, ареатангенс.
  •  

Получение функции arctg

править

Дана функция  . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие   функцией не является. Поэтому рассмотрим интервал  , на котором функция   строго монотонно возрастает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на интервале   существует обратная функция  , график которой симметричен графику функции   относительно прямой  .

Функция arcctg

править
 
График функции  

Арккота́нгенсом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого  

Функция   определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго убывающей и всюду положительной.

  •   при  
  •   при  
  •  
  •  

Свойства функции arcctg

править
  •   График функции центрально-симметричен относительно точки   Функция является индифферентной (ни чётной, ни нечётной).
  •   при любых  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Получение функции arcctg

править

Дана функция  . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие   функцией не является. Поэтому рассмотрим интервал  , на котором функция   строго монотонно убывает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на интервале   существует обратная функция  , график которой симметричен графику функции   относительно прямой  .

График арккотангенса получается из графика арктангенса, если последний отразить относительно оси ординат (то есть заменить знак аргумента,  ) и сместить вверх на π/2; это вытекает из вышеупомянутой формулы  

Функция arcsec

править
 
График функции  

Арксе́кансом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого  

Функция   непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей и всюду неотрицательной.

  •   при  
  •   при  
  •   (область определения),
  •   (область значений).

Свойства функции arcsec

править
  •   График функции центрально-симметричен относительно точки   Функция является индифферентной (ни чётной, ни нечётной).
  •   при любых  
  •  
  •  
  •  

Функция arccosec

править
 
График функции  

Арккосе́кансом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого  

Функция   непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей.

  •   при  
  •   при  
  •   (область определения),
  •   (область значений).

Свойства функции arccosec

править
  •   (функция является нечётной).
  •  
  •  
  •  

Разложение в ряды

править
  •   для всех  [4]
  •   для всех  
  •   для всех  

Производные от обратных тригонометрических функций

править

Все обратные тригонометрические функции бесконечно дифференцируемы в каждой точке своей области определения. Первые производные:

 
производные обратных тригонометрических функций
Функция   Производная   Примечание
   
   
   
   
   
   

Интегралы от обратных тригонометрических функций

править

Неопределённые интегралы

править

Для действительных и комплексных x:

 

Для действительных x ≥ 1:

 
См. также Список интегралов от обратных тригонометрических функций

Использование в геометрии

править
 
Прямоугольный треугольник ABC

Обратные тригонометрические функции используются для вычисления углов треугольника, если известны его стороны, например, с помощью теоремы косинусов.

В прямоугольном треугольнике эти функции от отношений сторон сразу дают угол. Так, если катет длины   является противолежащим для угла  , то

 

Связь с натуральным логарифмом

править

Для вычисления значений обратных тригонометрических функций от комплексного аргумента удобно использовать формулы, выражающие их через натуральный логарифм:

 
 
 
 
 
 

См. также

править

Примечания

править
  1. Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник, изд. 3-е. — СПб.: ЛКИ, 2008. — С. 211. — ISBN 978-5-382-00839-4.
  2. Здесь знак −1 определяет функцию x = f−1 (y), обратную функции y = f (x)
  3. Энциклопедический словарь, 1985, с. 220.
  4. При значении x, близком к 1, эта расчётная формула даёт большую погрешность. Поэтому можно воспользоваться формулой   где  

Ссылки

править