Круг сходимости

Основная статья: Степенной ряд

Круг сходимости степенного ряда

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}$

— круг вида

$D=\{z:|z-z_{0}|<R\}$, $z\in \mathbb {C}$,

в котором ряд абсолютно сходится, а вне его, при $|z-z_{0}|>R$, расходится. Иными словами, круг сходимости степенного ряда есть внутренность множества точек сходимости ряда. Радиус круга сходимости называется радиусом сходимости ряда. Круг сходимости может вырождаться в пустое множество, когда $R=0$, и может совпадать со всей плоскостью переменного $z$, когда $R=\infty$. Радиус сходимости ряда Тейлора аналитической функции равен расстоянию от центра ряда до множества особых точек функции, и может быть вычислен по формуле Коши — Адамара:

${1 \over R}={\varlimsup \limits _{n\rightarrow \infty }}\,|a_{n}|^{1/n}$

Эта формула выводится на основе признака Коши.