Якобиа́н (определитель Яко́би , функциональный определитель ) — определённое обобщение производной функции одной переменной на случай отображений из евклидова пространства в себя.
Якобиан выражается как определитель матрицы Якоби — матрицы, составленной из частных производных отображения.
Якобиан отображения
f
{\displaystyle f}
в точке
x
{\displaystyle x}
обычно обозначается
J
a
c
x
f
{\displaystyle \mathop {\rm {Jac}} \nolimits _{x}f}
, иногда также следующим образом:
D
(
f
1
,
…
,
f
n
)
D
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle {\frac {D(f_{1},\dots ,f_{n})}{D(x_{1},\dots ,x_{n})}}}
,или
∂
(
f
1
,
…
,
f
n
)
∂
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle {\frac {\partial (f_{1},\dots ,f_{n})}{\partial (x_{1},\dots ,x_{n})}}}
Также якобианом иногда (по-русски такое употребление термина не вполне принято) называют саму матрицу Якоби, а не её определитель. По-английски и в некоторых других языках термин якобиан считается равно приложимым к матрице Якоби и её определителю [ 1] .
Введён Якоби (1833, 1841).
Якобиан векторной функции
u
:
R
n
→
R
n
,
u
=
(
u
1
,
…
,
u
n
)
,
u
i
=
u
i
(
x
1
,
…
,
x
n
)
,
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle \mathbf {u} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},\mathbf {u} =(u_{1},\ldots ,u_{n}),u_{i}=u_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),i=1,\ldots ,n}
, имеющей в некоторой точке
x
{\displaystyle x}
все частные производные первого порядка, определяется как
det
(
∂
u
1
∂
x
1
(
x
)
∂
u
1
∂
x
2
(
x
)
⋯
∂
u
1
∂
x
n
(
x
)
∂
u
2
∂
x
1
(
x
)
∂
u
2
∂
x
2
(
x
)
⋯
∂
u
2
∂
x
n
(
x
)
⋯
⋯
⋯
⋯
∂
u
n
∂
x
1
(
x
)
∂
u
n
∂
x
2
(
x
)
⋯
∂
u
n
∂
x
n
(
x
)
)
.
{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}{\partial u_{1} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{1} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{1} \over \partial x_{n}}(x)\\{\partial u_{2} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{2} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{2} \over \partial x_{n}}(x)\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\partial u_{n} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{n} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{n} \over \partial x_{n}}(x)\end{pmatrix}}.}
Также можно говорить об определителе Якоби или якобиане системы функций
u
1
,
…
,
u
n
{\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}}
.
Если функции
x
~
1
(
x
1
,
…
,
x
n
)
,
…
,
x
~
n
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle {\tilde {x}}_{1}(x_{1},\dots ,x_{n}),\ldots ,{\tilde {x}}_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})}
определяют преобразование координат
x
i
→
x
~
j
{\displaystyle x_{i}\rightarrow {\tilde {x}}_{j}}
, то смысл определителя Якоби состоит в отношении объёмов[ 2] параллелепипедов, «натянутых» на
d
x
~
1
,
d
x
~
2
,
…
,
d
x
~
n
{\displaystyle d{\tilde {x}}_{1},d{\tilde {x}}_{2},\dots ,d{\tilde {x}}_{n}}
и на
d
x
1
,
d
x
2
,
…
,
d
x
n
{\displaystyle dx_{1},dx_{2},\dots ,dx_{n}}
при равенстве произведений
d
x
~
1
d
x
~
2
…
d
x
~
n
=
d
x
1
d
x
2
…
d
x
n
{\displaystyle d{\tilde {x}}_{1}d{\tilde {x}}_{2}\dots d{\tilde {x}}_{n}=dx_{1}dx_{2}\dots dx_{n}}
.
Якобиан часто применяется при анализе неявных функций.
Неравенство определителя Якоби нулю служит удобным необходимым и достаточным условием локальной невырожденности преобразования координат, то есть означает, что в окрестности рассматриваемой точки это преобразование является диффеоморфизмом .
Интеграл по области при невырожденном преобразовании координат
x
~
j
→
x
i
{\displaystyle {\tilde {x}}_{j}\rightarrow x_{i}}
преобразуется как
∫
Ω
~
f
(
x
~
1
,
x
~
2
,
…
,
x
~
n
)
d
x
~
1
d
x
~
2
…
d
x
~
n
=
{\displaystyle \int \limits _{\tilde {\Omega }}f({\tilde {x}}_{1},{\tilde {x}}_{2},\dots ,{\tilde {x}}_{n})d{\tilde {x}}_{1}d{\tilde {x}}_{2}\dots d{\tilde {x}}_{n}=}
=
∫
Ω
f
(
x
~
1
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
,
x
~
2
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
,
…
,
x
~
n
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
)
|
D
(
x
~
1
,
x
~
2
,
…
,
x
~
n
)
D
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
|
d
x
1
d
x
2
…
d
x
n
{\displaystyle =\int \limits _{\Omega }f({\tilde {x}}_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),{\tilde {x}}_{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),\dots ,{\tilde {x}}_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})){\bigg |}{\frac {D({\tilde {x}}_{1},{\tilde {x}}_{2},\dots ,{\tilde {x}}_{n})}{D(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}}{\bigg |}dx_{1}dx_{2}\dots dx_{n}}
(формула замены переменных в n -мерном интеграле ).
Пример 1. Переход элементарной площади
d
S
=
d
x
d
y
{\displaystyle \mathrm {d} S=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}
от декартовых координат (x , y ) к полярным координатам (r , φ ):
x
=
r
cos
φ
{\displaystyle x=r\,\cos \varphi }
y
=
r
sin
φ
.
{\displaystyle y=r\,\sin \varphi .}
Матрица Якоби имеет следующий вид
I
^
(
r
,
φ
)
=
[
∂
x
∂
r
∂
x
∂
φ
∂
y
∂
r
∂
y
∂
φ
]
=
[
cos
φ
−
r
sin
φ
sin
φ
r
cos
φ
]
.
{\displaystyle {\hat {I}}(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\,\sin \varphi \\\sin \varphi &r\,\cos \varphi \end{bmatrix}}.}
А якобиан перехода от декартовых координат к полярным — есть определитель матрицы Якоби:
J
(
r
,
φ
)
=
det
I
^
(
r
,
φ
)
=
det
[
cos
φ
−
r
sin
φ
sin
φ
r
cos
φ
]
=
r
.
{\displaystyle J(r,\varphi )=\det {\hat {I}}(r,\varphi )=\det {\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\,\sin \varphi \\\sin \varphi &r\,\cos \varphi \end{bmatrix}}=r.}
Таким образом, элемент площади при переходе от декартовых к полярным координатам будет выглядеть следующим образом:
d
S
=
d
x
d
y
=
J
(
r
,
φ
)
d
r
d
φ
=
r
d
r
d
φ
{\displaystyle \mathrm {d} S=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=J(r,\varphi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi =r\,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi }
Пример 2. Переход элементарного объёма
d
V
=
d
x
d
y
d
z
{\displaystyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z}
от декартовых координат (x , y , z ) к сферическим координатам (r , θ , φ ) :
x
=
r
sin
θ
cos
φ
{\displaystyle x=r\,\sin \theta \,\cos \varphi }
y
=
r
sin
θ
sin
φ
{\displaystyle y=r\,\sin \theta \,\sin \varphi }
z
=
r
cos
θ
.
{\displaystyle z=r\,\cos \theta .}
Матрица Якоби имеет следующий вид
I
^
(
r
,
θ
,
φ
)
=
[
∂
x
∂
r
∂
x
∂
θ
∂
x
∂
φ
∂
y
∂
r
∂
y
∂
θ
∂
y
∂
φ
∂
z
∂
r
∂
z
∂
θ
∂
z
∂
φ
]
=
[
sin
θ
cos
φ
r
cos
θ
cos
φ
−
r
sin
θ
sin
φ
sin
θ
sin
φ
r
cos
θ
sin
φ
r
sin
θ
cos
φ
cos
θ
−
r
sin
θ
0
]
.
{\displaystyle {\hat {I}}(r,\theta ,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial z}{\partial r}}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \varphi &r\,\cos \theta \,\cos \varphi &-r\,\sin \theta \,\sin \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi &r\,\cos \theta \,\sin \varphi &r\,\sin \theta \,\cos \varphi \\\cos \theta &-r\,\sin \theta &0\end{bmatrix}}.}
А якобиан перехода от декартовых координат к сферическим — есть определитель матрицы Якоби:
J
(
r
,
θ
,
φ
)
=
det
I
^
(
r
,
θ
,
φ
)
=
det
[
sin
θ
cos
φ
r
cos
θ
cos
φ
−
r
sin
θ
sin
φ
sin
θ
sin
φ
r
cos
θ
sin
φ
r
sin
θ
cos
φ
cos
θ
−
r
sin
θ
0
]
=
r
2
sin
θ
.
{\displaystyle J(r,\theta ,\varphi )=\det {\hat {I}}(r,\theta ,\varphi )=\det {\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \varphi &r\,\cos \theta \,\cos \varphi &-r\,\sin \theta \,\sin \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi &r\,\cos \theta \,\sin \varphi &r\,\sin \theta \,\cos \varphi \\\cos \theta &-r\,\sin \theta &0\end{bmatrix}}=r^{2}\sin \theta .}
Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:
d
V
=
d
x
d
y
d
z
=
J
(
r
,
θ
,
φ
)
d
r
d
θ
d
φ
=
r
2
sin
θ
d
r
d
θ
d
φ
{\displaystyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=J(r,\theta ,\varphi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi }
Абсолютное значение Якобиана в некоторой точке
x
{\displaystyle x}
равно коэффициенту искажения объёмов в этой точке (то есть пределу отношения объёма образа окрестности точки
x
{\displaystyle x}
к объёму самой окрестности, когда размеры окрестности стремятся к нулю).
Якобиан в точке
x
{\displaystyle x}
положителен, если отображение не меняет ориентации в окрестности точки М, и отрицателен в противоположном случае.
Если Якобиан отображения не обращается в нуль в области
Δ
{\displaystyle \Delta }
, то отображение
Δ
{\displaystyle \Delta }
является локальным диффеоморфизмом .
Применение в физике