В данной статье приведен список различных квадратурных формул, для численного интегрирования .
В общем виде формула численного интегрирования записывается следующим образом:
∫
Ω
x
f
(
x
)
d
x
=
∑
i
=
1
m
g
w
i
~
f
(
x
i
)
=
∑
i
=
1
m
g
w
i
d
e
t
(
J
(
ξ
i
)
)
f
(
x
(
ξ
i
)
)
{\displaystyle \int \limits _{\Omega _{x}}f(x)dx=\sum _{i=1}^{m_{g}}{{\widetilde {w_{i}}}f(x_{i})}=\sum _{i=1}^{m_{g}}{w_{i}\mathrm {det} (J(\xi _{i}))f(x(\xi _{i}))}}
,
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
— интегрируемая функция;
w
i
{\displaystyle w_{i}}
— веса интегрирования;
ξ
{\displaystyle \xi }
— система координат мастер-элемента;
J
(
ξ
)
=
∂
(
x
1
,
…
,
x
n
)
∂
(
ξ
1
,
…
ξ
n
)
{\displaystyle J(\xi )={\frac {\partial (x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial (\xi _{1},\dots \xi _{n})}}}
— матрица Якоби для перехода на мастер-элемент.
В силу аддитивности интеграла в качестве области интегрирования
Ω
{\displaystyle \Omega }
будут рассматриваться простые области (треугольник , четырёхугольник , тетраэдр и так далее), при сложной геометрии область можно представить как объедение простых и посчитать интеграл по ним или представить с помощью сплайна отображение на мастер-элемент.
В статье для обозначения естественных координат будут использоваться переменные
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
, для обозначения координат мастер-элемента —
ξ
,
η
,
ζ
{\displaystyle \xi ,\eta ,\zeta }
.
Численное интегрирование на мастер-элементе функции
x
5
+
6
x
2
+
1
{\displaystyle x^{5}+6x^{2}+1}
методом гаусса-3
Одномерное интегрирование — это всегда интегрирование по отрезку.
Область интегрирования: отрезок
[
x
0
,
x
1
]
{\displaystyle [x_{0},x_{1}]}
;
Мастер-элемент: отрезок
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
;
Переход на мастер-элемент:
ξ
(
x
)
=
2
x
−
x
0
x
1
−
x
0
−
1
{\displaystyle \xi (x)=2{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-1}
;
Переход с мастер-элемента:
x
(
ξ
)
=
(
x
1
−
x
0
)
(
ξ
+
1
)
2
+
x
0
{\displaystyle x(\xi )={\frac {(x_{1}-x_{0})(\xi +1)}{2}}+x_{0}}
;
Якобиан:
d
e
t
(
J
(
ξ
)
)
=
x
1
−
x
0
2
{\displaystyle \mathrm {det} (J(\xi ))={\frac {x_{1}-x_{0}}{2}}}
.
Номер
Число точек
Порядок интегрирования
ξ
{\displaystyle \xi }
w
{\displaystyle w}
Дополнительно
1
1
1
0
{\displaystyle 0}
2
{\displaystyle 2}
Метод прямоугольников
2
2
1
−
1
{\displaystyle -1}
1
{\displaystyle 1}
Метод трапеций
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
3
2
3
−
1
3
{\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}
1
{\displaystyle 1}
Метод Гаусса -2
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}
1
{\displaystyle 1}
4
3
3
−
1
{\displaystyle -1}
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{3}}}
Метод Симпсона
0
{\displaystyle 0}
4
3
{\displaystyle {\frac {4}{3}}}
1
{\displaystyle 1}
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{3}}}
5
3
5
−
3
5
{\displaystyle -{\sqrt {\frac {3}{5}}}}
5
9
{\displaystyle {\frac {5}{9}}}
Метод Гаусса-3
0
{\displaystyle 0}
8
9
{\displaystyle {\frac {8}{9}}}
3
5
{\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{5}}}}
5
9
{\displaystyle {\frac {5}{9}}}
6
4
7
−
3
7
−
2
7
6
5
{\displaystyle -{\sqrt {{\frac {3}{7}}-{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}}
18
+
30
36
{\displaystyle {\frac {18+{\sqrt {30}}}{36}}}
Метод Гаусса-4
3
7
−
2
7
6
5
{\displaystyle {\sqrt {{\frac {3}{7}}-{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}}
18
+
30
36
{\displaystyle {\frac {18+{\sqrt {30}}}{36}}}
−
3
7
+
2
7
6
5
{\displaystyle -{\sqrt {{\frac {3}{7}}+{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}}
18
−
30
36
{\displaystyle {\frac {18-{\sqrt {30}}}{36}}}
3
7
+
2
7
6
5
{\displaystyle {\sqrt {{\frac {3}{7}}+{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}}
18
−
30
36
{\displaystyle {\frac {18-{\sqrt {30}}}{36}}}
7
5
9
0
{\displaystyle 0}
128
255
{\displaystyle {\frac {128}{255}}}
Метод Гаусса-5
−
1
3
5
−
2
10
7
{\displaystyle -{\frac {1}{3}}{\sqrt {5-2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}}
322
+
70
900
{\displaystyle {\frac {322+{\sqrt {70}}}{900}}}
1
3
5
−
2
10
7
{\displaystyle {\frac {1}{3}}{\sqrt {5-2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}}
322
+
70
900
{\displaystyle {\frac {322+{\sqrt {70}}}{900}}}
−
1
3
5
+
2
10
7
{\displaystyle -{\frac {1}{3}}{\sqrt {5+2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}}
322
−
70
900
{\displaystyle {\frac {322-{\sqrt {70}}}{900}}}
1
3
5
+
2
10
7
{\displaystyle {\frac {1}{3}}{\sqrt {5+2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}}
322
−
70
900
{\displaystyle {\frac {322-{\sqrt {70}}}{900}}}
Квадратный мастер-элемент с изображенной 12-и точечной формулой
Область интегрирования: прямоугольник
[
x
0
,
x
1
]
×
[
y
0
,
y
1
]
{\displaystyle [x_{0},x_{1}]\times [y_{0},y_{1}]}
Мастер-элемент: квадрат
[
−
1
,
1
]
×
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]\times [-1,1]}
Переход на мастер-элемент:
ξ
(
x
,
y
)
=
2
x
−
x
0
x
1
−
x
0
−
1
{\displaystyle \xi (x,y)=2{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-1}
η
(
x
,
y
)
=
2
y
−
y
0
y
1
−
y
0
−
1
{\displaystyle \eta (x,y)=2{\frac {y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}-1}
;
Переход с мастер-элемента:
x
(
ξ
,
η
)
=
(
x
1
−
x
0
)
(
ξ
+
1
)
2
+
x
0
{\displaystyle x(\xi ,\eta )={\frac {(x_{1}-x_{0})(\xi +1)}{2}}+x_{0}}
y
(
ξ
,
η
)
=
(
y
1
−
y
0
)
(
η
+
1
)
2
+
y
0
{\displaystyle y(\xi ,\eta )={\frac {(y_{1}-y_{0})(\eta +1)}{2}}+y_{0}}
;
Якобиан:
d
e
t
(
J
(
ξ
,
η
)
)
=
(
x
1
−
x
0
)
(
y
1
−
y
0
)
4
{\displaystyle \mathrm {det} (J(\xi ,\eta ))={\frac {(x_{1}-x_{0})(y_{1}-y_{0})}{4}}}
.
Данные формулы интегрирования можно использовать и когда область интегрирования — выпуклый четырёх угольник, но тогда формулы перехода на мастер-элемент (и обратно) не будут иметь такой простой вид. Получить выражение для перехода можно используя интерполяционный полином .
Многие из формул интегрирования по квадрату можно получить, как комбинацию формул по отрезку: в качестве точек интегрирования берутся все возможные пары одномерных точек, а в качестве весов — соответствующие произведения весов интегрирования. Примерами таких методов в таблице ниже являются метод прямоугольников, метод трапеций и метод Гаусса-2.
Номер
Число точек
Порядок интегрирования
ξ
{\displaystyle \xi }
η
{\displaystyle \eta }
w
{\displaystyle w}
Дополнительно
1
1
1
0
{\displaystyle 0}
0
{\displaystyle 0}
4
{\displaystyle 4}
Метод прямоугольников (метод среднего)
2
4
1
−
1
{\displaystyle -1}
−
1
{\displaystyle -1}
1
4
{\displaystyle {\frac {1}{4}}}
Метод трапеций
−
1
{\displaystyle -1}
1
{\displaystyle 1}
1
4
{\displaystyle {\frac {1}{4}}}
1
{\displaystyle 1}
−
1
{\displaystyle -1}
1
4
{\displaystyle {\frac {1}{4}}}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
1
4
{\displaystyle {\frac {1}{4}}}
3
4
3
−
1
3
{\displaystyle -{\frac {1}{3}}}
−
1
3
{\displaystyle -{\frac {1}{3}}}
1
{\displaystyle 1}
Метод Гаусса-2
−
1
3
{\displaystyle -{\frac {1}{3}}}
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{3}}}
1
{\displaystyle 1}
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{3}}}
−
1
3
{\displaystyle -{\frac {1}{3}}}
1
{\displaystyle 1}
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{3}}}
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{3}}}
1
{\displaystyle 1}
4
12
7
−
c
{\displaystyle -c}
0
{\displaystyle 0}
w
c
{\displaystyle w_{c}}
a
=
114
−
3
583
287
{\displaystyle a={\sqrt {\frac {114-3{\sqrt {583}}}{287}}}}
b
=
114
+
3
583
287
{\displaystyle b={\sqrt {\frac {114+3{\sqrt {583}}}{287}}}}
c
=
6
7
{\displaystyle c={\sqrt {\frac {6}{7}}}}
w
a
=
307
810
+
923
270
583
{\displaystyle w_{a}={\frac {307}{810}}+{\frac {923}{270{\sqrt {583}}}}}
w
b
=
307
810
−
923
270
583
{\displaystyle w_{b}={\frac {307}{810}}-{\frac {923}{270{\sqrt {583}}}}}
w
c
=
98
405
{\displaystyle w_{c}={\frac {98}{405}}}
Число узлов минимально[1] .
c
{\displaystyle c}
0
{\displaystyle 0}
w
c
{\displaystyle w_{c}}
0
{\displaystyle 0}
−
c
{\displaystyle -c}
w
c
{\displaystyle w_{c}}
0
{\displaystyle 0}
c
{\displaystyle c}
w
c
{\displaystyle w_{c}}
−
a
{\displaystyle -a}
−
a
{\displaystyle -a}
w
a
{\displaystyle w_{a}}
a
{\displaystyle a}
−
a
{\displaystyle -a}
w
a
{\displaystyle w_{a}}
−
a
{\displaystyle -a}
a
{\displaystyle a}
w
a
{\displaystyle w_{a}}
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
w
a
{\displaystyle w_{a}}
−
b
{\displaystyle -b}
−
b
{\displaystyle -b}
w
b
{\displaystyle w_{b}}
b
{\displaystyle b}
−
b
{\displaystyle -b}
w
b
{\displaystyle w_{b}}
−
b
{\displaystyle -b}
b
{\displaystyle b}
w
b
{\displaystyle w_{b}}
b
{\displaystyle b}
b
{\displaystyle b}
w
b
{\displaystyle w_{b}}
Треугольный мастер-элемент, с точками Гаусса-4
Область интегрирования: треугольник, образованный вершинами
(
x
1
,
y
1
)
,
(
x
2
,
y
2
)
,
(
x
3
,
y
3
)
{\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})}
;
Мастер-элемент: треугольник, образованный вершинами
(
0
,
0
)
,
(
1
,
0
)
,
(
0
,
1
)
{\displaystyle (0,0),(1,0),(0,1)}
.
Для перехода на мастер-элемент используются барицентрические координаты (L-координаты), обозначим их
λ
1
,
λ
2
,
λ
3
{\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}
.
λ
i
(
x
,
y
)
=
α
i
1
x
+
α
i
2
y
+
α
i
3
{\displaystyle \lambda _{i}(x,y)=\alpha _{i1}x+\alpha _{i2}y+\alpha _{i3}}
Для вычисления коэффициентов L-координат используется матрица
D
{\displaystyle D}
:
D
=
(
x
1
x
2
x
3
y
1
y
2
y
3
1
1
1
)
{\displaystyle D={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\1&1&1\end{pmatrix}}}
Матрица коэффициентов обратна к
D
{\displaystyle D}
:
A
=
D
−
1
{\displaystyle \mathrm {A} =D^{-1}}
.
Переход на мастер элемент:
ξ
(
x
,
y
)
=
λ
1
(
x
,
y
)
{\displaystyle \xi (x,y)=\lambda _{1}(x,y)}
η
(
x
,
y
)
=
λ
2
(
x
,
y
)
{\displaystyle \eta (x,y)=\lambda _{2}(x,y)}
Переход с мастер элемента:
(
x
y
1
)
=
A
(
ξ
η
1
−
ξ
−
η
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}=\mathrm {A} {\begin{pmatrix}\xi \\\eta \\1-\xi -\eta \end{pmatrix}}}
Якобиан :
d
e
t
(
J
(
ξ
,
η
)
)
=
d
e
t
(
D
)
{\displaystyle \mathrm {det} (J(\xi ,\eta ))=\mathrm {det} (D)}
.
Номер
Число точек
Порядок интегрирования
ξ
{\displaystyle \xi }
η
{\displaystyle \eta }
w
{\displaystyle w}
Дополнительно
1
1
1
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{3}}}
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{3}}}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
Метод среднего
2
3
1
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
0
{\displaystyle 0}
1
6
{\displaystyle {\frac {1}{6}}}
-
0
{\displaystyle 0}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
1
6
{\displaystyle {\frac {1}{6}}}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
1
6
{\displaystyle {\frac {1}{6}}}
2
3
2
1
6
{\displaystyle {\frac {1}{6}}}
1
6
{\displaystyle {\frac {1}{6}}}
1
6
{\displaystyle {\frac {1}{6}}}
Метод Гаусса-3
2
3
{\displaystyle {\frac {2}{3}}}
1
6
{\displaystyle {\frac {1}{6}}}
1
6
{\displaystyle {\frac {1}{6}}}
2
3
{\displaystyle {\frac {2}{3}}}
1
6
{\displaystyle {\frac {1}{6}}}
1
6
{\displaystyle {\frac {1}{6}}}
4
4
3
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{3}}}
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{3}}}
−
9
32
{\displaystyle -{\frac {9}{32}}}
Метод Гаусса-4
3
5
{\displaystyle {\frac {3}{5}}}
1
5
{\displaystyle {\frac {1}{5}}}
25
96
{\displaystyle {\frac {25}{96}}}
1
5
{\displaystyle {\frac {1}{5}}}
3
5
{\displaystyle {\frac {3}{5}}}
25
96
{\displaystyle {\frac {25}{96}}}
1
5
{\displaystyle {\frac {1}{5}}}
1
5
{\displaystyle {\frac {1}{5}}}
25
96
{\displaystyle {\frac {25}{96}}}
5
7
3
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{3}}}
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{3}}}
9
40
{\displaystyle {\frac {9}{40}}}
Метод Ньютона-Котеса (Newton-Cotes (англ.) )
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
0
{\displaystyle 0}
1
15
{\displaystyle {\frac {1}{15}}}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
1
15
{\displaystyle {\frac {1}{15}}}
0
{\displaystyle 0}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
1
15
{\displaystyle {\frac {1}{15}}}
1
{\displaystyle 1}
0
{\displaystyle 0}
1
40
{\displaystyle {\frac {1}{40}}}
0
{\displaystyle 0}
1
{\displaystyle 1}
1
40
{\displaystyle {\frac {1}{40}}}
0
{\displaystyle 0}
0
{\displaystyle 0}
1
40
{\displaystyle {\frac {1}{40}}}
Кубический мастер-элемент, с изображенной 14-и точечной формулой
Область интегрирования: параллелепипед
[
x
0
,
x
1
]
×
[
y
0
,
y
1
]
×
[
z
0
,
z
1
]
{\displaystyle [x_{0},x_{1}]\times [y_{0},y_{1}]\times [z_{0},z_{1}]}
Мастер-элемент: куб
[
−
1
,
1
]
×
[
−
1
,
1
]
×
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]\times [-1,1]\times [-1,1]}
Переход на мастер-элемент:
ξ
(
x
,
y
,
z
)
=
2
x
−
x
0
x
1
−
x
0
−
1
{\displaystyle \xi (x,y,z)=2{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-1}
η
(
x
,
y
,
z
)
=
2
y
−
y
0
y
1
−
y
0
−
1
{\displaystyle \eta (x,y,z)=2{\frac {y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}-1}
ζ
(
x
,
y
,
z
)
=
2
z
−
z
0
z
1
−
z
0
−
1
{\displaystyle \zeta (x,y,z)=2{\frac {z-z_{0}}{z_{1}-z_{0}}}-1}
Переход с мастер-элемента:
x
(
ξ
,
η
,
ζ
)
=
(
x
1
−
x
0
)
(
ξ
+
1
)
2
+
x
0
{\displaystyle x(\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {(x_{1}-x_{0})(\xi +1)}{2}}+x_{0}}
y
(
ξ
,
η
,
ζ
)
=
(
y
1
−
y
0
)
(
η
+
1
)
2
+
y
0
{\displaystyle y(\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {(y_{1}-y_{0})(\eta +1)}{2}}+y_{0}}
;
z
(
ξ
,
η
,
ζ
)
=
(
z
1
−
z
0
)
(
ζ
+
1
)
2
+
z
0
{\displaystyle z(\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {(z_{1}-z_{0})(\zeta +1)}{2}}+z_{0}}
;
Якобиан:
d
e
t
(
J
(
ξ
,
η
,
ζ
)
)
=
(
x
1
−
x
0
)
(
y
1
−
y
0
)
(
z
1
−
z
0
)
8
{\displaystyle \mathrm {det} (J(\xi ,\eta ,\zeta ))={\frac {(x_{1}-x_{0})(y_{1}-y_{0})(z_{1}-z_{0})}{8}}}
.
Аналогично как и для квадрата, куб можно использовать как мастер-элемент для произвольного шестигранника , но тогда формулы перехода и якобиана усложнится.
Так же, аналогично с квадратом, многие формулы интегрирования по кубу можно получить из формул интегрирования по отрезку, координаты узлов — это все возможные тройки коордиант одномерной формулы, а веса интегрирования — произведение соответствующих весов одномерной формулы.
Номер
Число точек
Порядок интегрирования
ξ
{\displaystyle \xi }
η
{\displaystyle \eta }
ζ
{\displaystyle \zeta }
w
{\displaystyle w}
Дополнительно
1
1
1
0
{\displaystyle 0}
0
{\displaystyle 0}
0
{\displaystyle 0}
8
{\displaystyle 8}
Метод прямоугольников (метод среднего)
2
8
3
−
1
3
{\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}
−
1
3
{\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}
−
1
3
{\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}
1
{\displaystyle 1}
Метод Гаусса-2
−
1
3
{\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}
−
1
3
{\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}
1
{\displaystyle 1}
−
1
3
{\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}
−
1
3
{\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}
1
{\displaystyle 1}
−
1
3
{\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}
1
{\displaystyle 1}
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}
−
1
3
{\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}
−
1
3
{\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}
1
{\displaystyle 1}
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}
−
1
3
{\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}
1
{\displaystyle 1}
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}
−
1
3
{\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}
1
{\displaystyle 1}
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}
1
{\displaystyle 1}
3
14
5
−
19
30
{\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{30}}}}
0
{\displaystyle 0}
0
{\displaystyle 0}
320
361
{\displaystyle {\frac {320}{361}}}
Число узлов в классе формул с порядком аппроксимации 5 и не содержащих начало координат минимально.[2]
19
30
{\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{30}}}}
0
{\displaystyle 0}
0
{\displaystyle 0}
320
361
{\displaystyle {\frac {320}{361}}}
0
{\displaystyle 0}
−
19
30
{\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{30}}}}
0
{\displaystyle 0}
320
361
{\displaystyle {\frac {320}{361}}}
0
{\displaystyle 0}
19
30
{\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{30}}}}
0
{\displaystyle 0}
320
361
{\displaystyle {\frac {320}{361}}}
0
{\displaystyle 0}
0
{\displaystyle 0}
−
19
30
{\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{30}}}}
320
361
{\displaystyle {\frac {320}{361}}}
0
{\displaystyle 0}
0
{\displaystyle 0}
19
30
{\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{30}}}}
320
361
{\displaystyle {\frac {320}{361}}}
−
19
33
{\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}}
−
19
33
{\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}}
−
19
33
{\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}}
121
361
{\displaystyle {\frac {121}{361}}}
−
19
33
{\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}}
−
19
33
{\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}}
19
33
{\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}}
121
361
{\displaystyle {\frac {121}{361}}}
−
19
33
{\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}}
19
33
{\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}}
−
19
33
{\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}}
121
361
{\displaystyle {\frac {121}{361}}}
−
19
33
{\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}}
19
33
{\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}}
19
33
{\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}}
121
361
{\displaystyle {\frac {121}{361}}}
19
33
{\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}}
−
19
33
{\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}}
−
19
33
{\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}}
121
361
{\displaystyle {\frac {121}{361}}}
19
33
{\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}}
−
19
33
{\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}}
19
33
{\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}}
121
361
{\displaystyle {\frac {121}{361}}}
19
33
{\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}}
19
33
{\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}}
−
19
33
{\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}}
121
361
{\displaystyle {\frac {121}{361}}}
19
33
{\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}}
19
33
{\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}}
19
33
{\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}}
121
361
{\displaystyle {\frac {121}{361}}}
Поскольку формулы интегрирования высоких порядков содержат много точек, то их приведём отдельно.
Порядок: 7, число точек: 34
Номер точки
ξ
{\displaystyle \xi }
η
{\displaystyle \eta }
ζ
{\displaystyle \zeta }
w
{\displaystyle w}
Дополнительно
1
a
{\displaystyle a}
0
{\displaystyle 0}
0
{\displaystyle 0}
w
1
{\displaystyle w_{1}}
a
=
6
7
{\displaystyle a={\sqrt {\frac {6}{7}}}}
,
b
=
960
−
33
238
2726
{\displaystyle b={\sqrt {\frac {960-33{\sqrt {238}}}{2726}}}}
,
c
=
960
+
33
238
2726
{\displaystyle c={\sqrt {\frac {960+33{\sqrt {238}}}{2726}}}}
,
w
1
=
1078
3645
{\displaystyle w_{1}={\frac {1078}{3645}}}
,
w
2
=
343
3645
{\displaystyle w_{2}={\frac {343}{3645}}}
,
w
3
=
43
135
+
829
238
136323
{\displaystyle w_{3}={\frac {43}{135}}+{\frac {829{\sqrt {238}}}{136323}}}
,
w
4
=
43
135
−
829
238
136323
{\displaystyle w_{4}={\frac {43}{135}}-{\frac {829{\sqrt {238}}}{136323}}}
2
−
a
{\displaystyle -a}
0
{\displaystyle 0}
0
{\displaystyle 0}
w
1
{\displaystyle w_{1}}
3
0
{\displaystyle 0}
a
{\displaystyle a}
0
{\displaystyle 0}
w
1
{\displaystyle w_{1}}
4
0
{\displaystyle 0}
−
a
{\displaystyle -a}
0
{\displaystyle 0}
w
1
{\displaystyle w_{1}}
5
0
{\displaystyle 0}
0
{\displaystyle 0}
a
{\displaystyle a}
w
1
{\displaystyle w_{1}}
6
0
{\displaystyle 0}
0
{\displaystyle 0}
−
a
{\displaystyle -a}
w
1
{\displaystyle w_{1}}
7
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
0
{\displaystyle 0}
w
2
{\displaystyle w_{2}}
8
a
{\displaystyle a}
−
a
{\displaystyle -a}
0
{\displaystyle 0}
w
2
{\displaystyle w_{2}}
9
−
a
{\displaystyle -a}
a
{\displaystyle a}
0
{\displaystyle 0}
w
2
{\displaystyle w_{2}}
10
−
a
{\displaystyle -a}
−
a
{\displaystyle -a}
0
{\displaystyle 0}
w
2
{\displaystyle w_{2}}
11
a
{\displaystyle a}
0
{\displaystyle 0}
a
{\displaystyle a}
w
2
{\displaystyle w_{2}}
12
a
{\displaystyle a}
0
{\displaystyle 0}
−
a
{\displaystyle -a}
w
2
{\displaystyle w_{2}}
13
−
a
{\displaystyle -a}
0
{\displaystyle 0}
a
{\displaystyle a}
w
2
{\displaystyle w_{2}}
14
−
a
{\displaystyle -a}
0
{\displaystyle 0}
−
a
{\displaystyle -a}
w
2
{\displaystyle w_{2}}
15
0
{\displaystyle 0}
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
w
2
{\displaystyle w_{2}}
16
0
{\displaystyle 0}
a
{\displaystyle a}
−
a
{\displaystyle -a}
w
2
{\displaystyle w_{2}}
17
0
{\displaystyle 0}
−
a
{\displaystyle -a}
a
{\displaystyle a}
w
2
{\displaystyle w_{2}}
18
0
{\displaystyle 0}
−
a
{\displaystyle -a}
−
a
{\displaystyle -a}
w
2
{\displaystyle w_{2}}
19
b
{\displaystyle b}
b
{\displaystyle b}
b
{\displaystyle b}
w
3
{\displaystyle w_{3}}
20
b
{\displaystyle b}
b
{\displaystyle b}
−
b
{\displaystyle -b}
w
3
{\displaystyle w_{3}}
21
b
{\displaystyle b}
−
b
{\displaystyle -b}
b
{\displaystyle b}
w
3
{\displaystyle w_{3}}
22
b
{\displaystyle b}
−
b
{\displaystyle -b}
−
b
{\displaystyle -b}
w
3
{\displaystyle w_{3}}
23
−
b
{\displaystyle -b}
b
{\displaystyle b}
b
{\displaystyle b}
w
3
{\displaystyle w_{3}}
24
−
b
{\displaystyle -b}
b
{\displaystyle b}
−
b
{\displaystyle -b}
w
3
{\displaystyle w_{3}}
25
−
b
{\displaystyle -b}
−
b
{\displaystyle -b}
b
{\displaystyle b}
w
3
{\displaystyle w_{3}}
26
−
b
{\displaystyle -b}
−
b
{\displaystyle -b}
−
b
{\displaystyle -b}
w
3
{\displaystyle w_{3}}
27
c
{\displaystyle c}
c
{\displaystyle c}
c
{\displaystyle c}
w
4
{\displaystyle w_{4}}
28
c
{\displaystyle c}
c
{\displaystyle c}
−
c
{\displaystyle -c}
w
4
{\displaystyle w_{4}}
29
c
{\displaystyle c}
−
c
{\displaystyle -c}
c
{\displaystyle c}
w
4
{\displaystyle w_{4}}
30
c
{\displaystyle c}
−
c
{\displaystyle -c}
−
c
{\displaystyle -c}
w
4
{\displaystyle w_{4}}
31
−
c
{\displaystyle -c}
c
{\displaystyle c}
c
{\displaystyle c}
w
4
{\displaystyle w_{4}}
32
−
c
{\displaystyle -c}
c
{\displaystyle c}
−
c
{\displaystyle -c}
w
4
{\displaystyle w_{4}}
33
−
c
{\displaystyle -c}
−
c
{\displaystyle -c}
c
{\displaystyle c}
w
4
{\displaystyle w_{4}}
34
−
c
{\displaystyle -c}
−
c
{\displaystyle -c}
−
c
{\displaystyle -c}
w
4
{\displaystyle w_{4}}
Тетраэдральный мастер-элемент с точками Гаусса-11
Область интегрирования: тетраэдр , образованный вершинами
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
,
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
,
(
x
3
,
y
3
,
y
3
)
,
(
x
4
,
y
4
,
z
4
)
{\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2}),(x_{3},y_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4},z_{4})}
.
Мастер-элемент: тетраэдр , образованный вершинами
(
0
,
0
,
0
)
,
(
1
,
0
,
0
)
,
(
0
,
1
,
0
)
,
(
0
,
0
,
1
)
{\displaystyle (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
.
Аналогично с треугольником для перехода на мастер-элемент используются L-координаты тетраэдра, обозначим их
λ
1
,
λ
2
,
λ
3
,
λ
4
{\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\lambda _{4}}
:
λ
i
(
x
,
y
,
z
)
=
α
i
1
x
+
α
i
2
y
+
α
i
3
z
+
α
i
4
{\displaystyle \lambda _{i}(x,y,z)=\alpha _{i1}x+\alpha _{i2}y+\alpha _{i3}z+\alpha _{i4}}
Матрица коэффициентов определяется, как:
A
=
D
−
1
{\displaystyle \mathrm {A} =D^{-1}}
, где
D
=
(
x
1
x
2
x
3
x
4
y
1
y
2
y
3
y
4
z
1
z
2
z
3
z
4
1
1
1
1
)
{\displaystyle D={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}&y_{4}\\z_{1}&z_{2}&z_{3}&z_{4}\\1&1&1&1\end{pmatrix}}}
Переход на мастер-элемент:
ξ
(
x
,
y
,
z
)
=
λ
1
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle \xi (x,y,z)=\lambda _{1}(x,y,z)}
η
(
x
,
y
,
z
)
=
λ
2
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle \eta (x,y,z)=\lambda _{2}(x,y,z)}
ζ
(
x
,
y
,
z
)
=
λ
3
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle \zeta (x,y,z)=\lambda _{3}(x,y,z)}
Переход с мастер-элемента:
(
x
y
z
1
)
=
D
(
ξ
η
ζ
1
−
ξ
−
η
−
ζ
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\end{pmatrix}}=D{\begin{pmatrix}\xi \\\eta \\\zeta \\1-\xi -\eta -\zeta \end{pmatrix}}}
Якобиан :
d
e
t
(
J
(
ξ
,
η
,
ζ
)
)
=
d
e
t
(
D
)
{\displaystyle \mathrm {det} (J(\xi ,\eta ,\zeta ))=\mathrm {det} (D)}
.
Номер
Число точек
Порядок интегрирования
ξ
{\displaystyle \xi }
η
{\displaystyle \eta }
ζ
{\displaystyle \zeta }
w
{\displaystyle w}
Дополнительно
1
1
1
1
4
{\displaystyle {\frac {1}{4}}}
1
4
{\displaystyle {\frac {1}{4}}}
1
4
{\displaystyle {\frac {1}{4}}}
1
6
{\displaystyle {\frac {1}{6}}}
Метод среднего
2
4
3
5
+
3
5
20
{\displaystyle {\frac {5+3{\sqrt {5}}}{20}}}
5
−
5
20
{\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}}
5
−
5
20
{\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}}
1
24
{\displaystyle {\frac {1}{24}}}
Метод Гаусса-4
5
−
5
20
{\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}}
5
+
3
5
20
{\displaystyle {\frac {5+3{\sqrt {5}}}{20}}}
5
−
5
20
{\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}}
1
24
{\displaystyle {\frac {1}{24}}}
5
−
5
20
{\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}}
5
−
5
20
{\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}}
5
+
3
5
20
{\displaystyle {\frac {5+3{\sqrt {5}}}{20}}}
1
24
{\displaystyle {\frac {1}{24}}}
5
−
5
20
{\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}}
5
−
5
20
{\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}}
5
−
5
20
{\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}}
1
24
{\displaystyle {\frac {1}{24}}}
3
11
4
1
4
{\displaystyle {\frac {1}{4}}}
1
4
{\displaystyle {\frac {1}{4}}}
1
4
{\displaystyle {\frac {1}{4}}}
−
74
5625
{\displaystyle -{\frac {74}{5625}}}
Метод Гаусса-11
11
14
{\displaystyle {\frac {11}{14}}}
5
70
{\displaystyle {\frac {5}{70}}}
5
70
{\displaystyle {\frac {5}{70}}}
343
45000
{\displaystyle {\frac {343}{45000}}}
5
70
{\displaystyle {\frac {5}{70}}}
11
14
{\displaystyle {\frac {11}{14}}}
5
70
{\displaystyle {\frac {5}{70}}}
343
45000
{\displaystyle {\frac {343}{45000}}}
5
70
{\displaystyle {\frac {5}{70}}}
5
70
{\displaystyle {\frac {5}{70}}}
11
14
{\displaystyle {\frac {11}{14}}}
343
45000
{\displaystyle {\frac {343}{45000}}}
5
70
{\displaystyle {\frac {5}{70}}}
5
70
{\displaystyle {\frac {5}{70}}}
5
70
{\displaystyle {\frac {5}{70}}}
343
45000
{\displaystyle {\frac {343}{45000}}}
1
+
5
/
14
4
{\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}}
1
−
5
/
14
4
{\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}}
1
−
5
/
14
4
{\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}}
56
2250
{\displaystyle {\frac {56}{2250}}}
1
−
5
/
14
4
{\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}}
1
+
5
/
14
4
{\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}}
1
−
5
/
14
4
{\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}}
56
2250
{\displaystyle {\frac {56}{2250}}}
1
−
5
/
14
4
{\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}}
1
−
5
/
14
4
{\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}}
1
+
5
/
14
4
{\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}}
56
2250
{\displaystyle {\frac {56}{2250}}}
1
−
5
/
14
4
{\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}}
1
+
5
/
14
4
{\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}}
1
+
5
/
14
4
{\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}}
56
2250
{\displaystyle {\frac {56}{2250}}}
1
+
5
/
14
4
{\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}}
1
−
5
/
14
4
{\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}}
1
+
5
/
14
4
{\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}}
56
2250
{\displaystyle {\frac {56}{2250}}}
1
+
5
/
14
4
{\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}}
1
+
5
/
14
4
{\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}}
1
−
5
/
14
4
{\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}}
56
2250
{\displaystyle {\frac {56}{2250}}}
Мысовсих И. П. Интерполяционные кубатурные формулы. — Москва: Наука, 1981. — С. 336.