Картезијански умножак

У математици, Декартов (Картезијански) умножак је директни умножак скупова. Име је добио по француском математичару Декарту, захваљујући чијем заснивању аналитичке геометрије је постављен темељ за овај концепт.

Декартов умножак А×Б скупова А={x,y,з} и Б={1,2,3}

Посебно, Декартов умножак два скупа X (нпр. скуп тачака на x-оси) и Y (нпр. скуп тачака на y-оси), у ознаци X × Y, је скуп свих могућих уређених парова код којих је прва компонента елемент скупа X а друга компонента елемент скупа Y (у примеру би то била цела раван x0y):

$A\times B=\{(x,y)|x\in A\;\wedge \;y\in B\}.$

Декартов умножак два коначна скупа може се представити табелом, тако да су елементи једног скупа распоређени у редове, а другог у колоне. Тада се уређени парови могу схватити као ћелије у табели, где је свака одређена својим редом и колоном.

Примери

Умножак непразних скупова

Нека су дати скупови $A=\{1,2,3\}$ и $B=\{1,2\}$.

$A\times B=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)\}$

$B\times A=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)\}$

У питању су различити скупови, тј. $A\times B\neq B\times A$.

Шпил карата

Шпил од 52 карте

На шпилу од 52 карте се може илустровати декартов умножак. Шпил има 13 врста карата {А, К, Q, Ј, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} и свака врста се појављује у четири боје {♠, ♥, ♦, ♣}. Декартов умножак ових скупова се састоји од 52 уређена пара свих могућих карата.

Врста × боја даје следећи скуп {(А, ♠), (А, ♥), (А, ♦,), (А, ♣), (К, ♠), ..., (3, ♣), (2, ♠), (2, ♥), (2, ♦), (2, ♣)}.

Боја × врста даје следећи скуп {(♠, А), (♠, К), (♠, Q), (♠, Ј), (♠, 10), ..., (♣, 6), (♣, 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}.

У питању су различити дисјунктни скупови.

Дводимензионални координатни систем

Картезијанске координате тачака

Главни историјски пример је картезијанска раван у аналитичкој геометрији. У циљу представљања геометријских облика на нумерички начин и добијања нумеричких информација од оваквих репрезентација облика, Рене Декарт је свакој тачки у равни доделио пар реалних бројева, названих координатама. Обично се такав пар првих и других компонената назива x и y координата, респективно. Скуп свих таквих парова, односно картезијански умножак ℝ × ℝ где су ℝ реални бројеви, представља скуп свих тачака у равни.

Имплементација у теорији скупова

Формална дефиниција Декартовог умношка са аспекта теорије скупова следи из дефиниције уређеног пара. Најчешћа дефиниција уређеног пара је $(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}$, коју је дао Куратовски. Из дефиниције следи да је $X\times Y\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))$, где је ${\mathcal {P}}$ партитивни скуп. Дакле, постојање Декартовог умношка било која два скупа у Цермело-Френкел теорији скупова је последица аксиоме пара, аксиоме уније, аксиоме партитивног скупа, и схеме сепарације. Пошто се функције најчешће дефинишу као специјалан случај релација, а релације се дефинишу као подскуп Декартовог умношка, следи да је Декартов умножак суштински неопходан за већину других дефиниција.

Некомутативност и неасоцијативност

Нека су А, Б, C и D скупови.

Декартов умножак није комутативан,

$A\times B\neq B\times A$,

јер су координате уређених парова пермутоване, осим ако је испуњен један од следећих услова:

• А је једнако Б,
• бар један од скупова А и Б је празан.

Примери:

• Скупови А и Б су различити. На пример: А = {1,2}; Б = {3,4}

А × Б = {1,2} × {3,4} = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

Б × А = {3,4} × {1,2} = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}

• Скупови А и Б су једнаки. На пример: А = Б = {1,2}

A × B = B × A = {1,2} × {1,2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}

• Један од скупова А или Б је празан. На пример: А = {1,2}; Б = ∅

А × Б = {1,2} × ∅ = ∅

Б × А = ∅ × {1,2} = ∅

У општем случају, Декартов умножак није асоцијативан (осим ако је један од скупова празан).

$(A\times B)\times C\neq A\times (B\times C)$

На пример, ако је А = {1}, онда је (А × А) × А = {((1,1),1)} ≠ { (1,(1,1)) } = А × (А × А).

Декартов умножак у односу на пресек, унију, подскуп

Скуповна једнакост (А∩Б)×(Ц∩Д)=(А×Ц)∩(Б×Д) илустрована на примеру скупова А={x∈ℝ:2≤x≤5}, Б={x∈ℝ:3≤x≤7}, C={y∈ℝ:1≤y≤3}, и D={y∈ℝ:2≤y≤4}.

(А∪Б)×(Ц∪Д)≠(А×Ц)∪(Б×Д) графички приказ

Скуповне једнакости А×(Б∩Ц)=(А×Б)∩(А×Ц), А×(Б∪Ц)=(А×Б)∪(А×Ц) и А×(Б\C)=(А×Б)\(А×Ц) илустроване скуповима А={y∈ℝ:1≤y≤4}, Б={x∈ℝ:2≤x≤5} и C={x∈ℝ:4≤x≤7}.

Декартов умножак се лепо понаша у односу на пресек скупова.

$(A\cap B)\times (C\cap D)=(A\times C)\cap (B\times D)$

Међутим, скуповна једнакост не важи уколико пресек заменимо са унијом.

$(A\cup B)\times (C\cup D)\neq (A\times C)\cup (B\times D)$

У ствари, важи следећа једнакост: $(A\times C)\cup (B\times D)=[(A\setminus B)\times C]\cup [(A\cap B)\times (C\cup D)]\cup [(B\setminus A)\times D]$

За разлику скупова важи идентитет:

$(A\times C)\setminus (B\times D)=[A\times (C\setminus D)]\cup [(A\setminus B)\times C]$

Следеће скуповне једнакости илуструју дистрибутивност Декартовог умношка и скуповних операција

$A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)$,

$A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$,

$A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus (A\times C)$,

$(A\times B)^{c}=(A^{c}\times B^{c})\cup (A^{c}\times B)\cup (A\times B^{c})$.

За подскупове важи следеће:

Ако је $A\subseteq B$ онда је $A\times C\subseteq B\times C$,

Ако су А,Б $\neq \emptyset$ онда је $A\times B\subseteq C\times D\iff A\subseteq C\land B\subseteq D$.

Кардиналност

Кардиналност (кардинал или кардинални број) је број елемената скупа. На пример, нека су дата два скупа: А = {а, б} и Б = {5, 6}. Скупови А и Б имају по два елемента. Њихов Декартов умножак, у ознаци А × Б, даје нови скуп који се састоји од следећих елемената:

А × Б = {(а,5), (а,6), (б,5), (б,6)}.

Сваки елемент скупа А се упарује са сваким елементом скупа Б. Сваки уређени пар је елемент у резултујућем скупу А × Б. Број различитих елемената у Декартовом умношку скупова једнак је умношку броја елемената скупова чији се Декартов умножак рачуна; у овом случају је 2·2=4. Кардинални број добијеног скупа, једнак је омношку кардиналних бројева скупова чији се Декартов умножак рачуна. Дакле,

||А × Б| = |А| · |Б|.

Слично,

||А × Б × C| = |А| · |Б| · |C|

и тако даље.

Скуп А × Б је бесконачан ако је бар један од скупова А или Б бесконачан а други скуп је непразан.

$n$-арни умножак

Декартово степеновање

Декартов квадрат (или бинарни Декартов умножак) скупа X је Декартов умножак X² = X × X. Пример овог умношка је дводимензионална раван Р² = Р × Р где је Р скуп реалних бројева: Р² је скуп свих тачака (x,y) где су x и y реални бројеви (види Декартов координатни систем).

Декартов степен скупа X може се дефинисати као:

$X^{n}=\underbrace {X\times X\times \cdots \times X} _{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\ |\ x_{i}\in X{\text{ za sve }}i=1,\ldots ,n\}.$

Одговарајући пример је Р³ = Р × Р × Р, где је Р скуп реалних бројева. Општији пример је Р^н.

н-арни Декартов степен скупа X је изоморфан простору функција које пресликавају скуп од н елемената у скуп X. Као специјалан случај, 0-арни Декартов степен од X може се узети једноелементни скуп и одговарајуће празно пресликавање са кодоменом X.

Коначни н-арни умножак

Декартов умножак може се уопштити на н-арни Декартов умножак са н скупова X₁, ..., X_н:

$X_{1}\times \cdots \times X_{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in X_{i}\}.$

Овако дефинисан умножак је скуп н-торки. Ако се н-торке дефинишу као угњеждени уређени парови, онда се скуп н-торки може поистоветити са (X₁ × ... × X_н−1) × X_н.

Бесконачни умношци

Могуће је дефинисати Декартов умножак за произвољну (бесконачну) индексирану фамилију скупова. Ако је I произвољан скуп индекса, и $\{X_{i}\}_{i\in I}$ фамилија скупова индексираних са I, тада се Декартов умножак скупова у X дефинише као

$\prod _{i\in I}X_{i}=\left\{\left.f:I\to \bigcup _{i\in I}X_{i}\ \right|\ (\forall i)(f(i)\in X_{i})\right\},$

што представља скуп свих функција дефинисаних на скупу индекса тако да вредност функције за одређени индекс и буде елеменет скупа X_и. Чак и када је сваки од X_и непразан, Декартов умножак може бити празан ако не претпоставимо да важи аксиома избора (која је еквивалентна тврђењу да је сваки такав умножак непразан).

За свако ј из I, функција

$\pi _{j}:\prod _{i\in I}X_{i}\to X_{j},$

дефинисана са $\pi _{j}(f)=f(j)$ назива се ј-та пројекција.

Важан случај је када је скуп индекса скуп природних бројева $\mathbb {N}$: овај Декартов умножак је скуп свих бесконачних секвенци где је и-та координата из одговарајућег скупа X_и. На пример, сваки елемент умношка

$\prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {R} =\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \cdots$

може се представити као вектор са пребројиво много реалних координата. Овај скуп се најчешће означава са $\mathbb {R} ^{\omega }$, или $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$.

Спољашње везе

• Чланак о Декартовом умношку (en)