Eulerjeva funkcija fi

Eulerjeva fúnkcija φ(n) [òjlerjeva ~ fí] je v teoriji števil multiplikativna aritmetična funkcija poljubnega pozitivnega celega števila n in da skupno število pozitivnih celih števil, ki ne presegajo n, in so n tuja. Ali drugače rečeno, ki so manjša od n in so n relativno praštevila. Na primer, φ(8) = 4, ker so štiri števila, 1, 3, 5 in 7 tuja številu 8. Funkcijo je uvedel in raziskoval švicarski matematik Leonhard Euler in se imenuje po njem. Funkciji rečejo tudi kar Eulerjeva funkcija. Angleški matematik James Joseph Sylvester je zanjo leta 1882 uvedel ime »totientna funkcija«, kjer je »totient« sestavljenka iz totalni in kvocient..

Eulerjeva funkcija fi je pomembna predvsem, ker da velikost multiplikativne grupe celih števil po modulu n, oziroma natančneje, φ(n) je kardinalno število enotskih grup kolobarja Z/nZ. To dejstvo skupaj z Lagrangeevim izrekom zagotovi dokaz Eulerjevega izreka.

Računanje Eulerjeve funkcije φ(n)

Praštevila

Če je n sámo praštevilo p, velja φ(p) = p - 1.

Primer: φ(19) = 19 - 1 = 18.

Potence praštevil

Če je n = p^m (m ≥ 1) potenca kakega praštevila, velja:

$\varphi (n)=\varphi (p^{m})=p^{m}-p^{m-1}=p^{m-1}(p-1)\;.$

Primer: φ(16) = φ( 2⁴) = 2⁴ - 2³ = 16 - 8 = 8, oziroma: φ(16) = φ(2⁴) = 2³ · (2 - 1) = 8 · 1 = 8.

Tuja števila

Če sta si a in b tuji števili, je funkcija multiplikativna in velja:

$\varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)\;.$

Primer: φ(15) = φ(3) · φ(5) = 2 · 4 = 8.

Obe zgornji lastnosti lahko združimo v:

$\varphi (n)=n\prod _{p|n}\left(1-{1 \over p}\right)\;.$

Primer: φ(2004) = φ(2² · 3 · 167) = 2004 · (1 - 1/2) · (1 - 1/3) · (1 - 1/167) = 664;

Nekatere vrednosti funkcije

$\varphi (n)$	+0	+1	+2	+3	+4	+5	+6	+7	+8	+9
0+		1	1	2	2	4	2	6	4	6
10+	4	10	4	12	6	8	8	16	6	18
20+	8	12	10	22	8	20	12	18	12	28
30+	8	30	16	20	16	24	12	36	18	24
40+	16	40	12	42	20	24	22	46	16	42
50+	20	32	24	52	18	40	24	36	28	58
60+	16	60	30	36	32	48	20	66	32	44
70+	24	70	24	72	36	40	36	60	24	78
80+	32	54	40	82	24	64	42	56	40	88
90+	24	72	44	60	46	72	32	96	42	60