Në matematikë, transformimi i Laplasit (i emërtuar sipas zbuluesit, Pierre-Simon Laplace) është një transformim integral që pasqyron një funksion me vlera reale (zakonisht
, në rrafshin e kohës) në një funksion të ndryshores komplekse
(në rrafshin e frekuencës). Shndërrimi ka shumë zbatime në shkencë dhe inxhinieri sepse është një mjet për të zgjidhur ekuacione diferenciale. Në veçanti, ai shndërron ekuacionet diferenciale të zakonshme (EDZ) në ekuacione algjebrike dhe thurjen në shumëzim.
Transformimi I Laplasit për sinjalin
përkufizohet si :
![{\displaystyle X(S)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-st}\,dt}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Da2vAaqaNzDmPo2o3oDzBoDrFnga4otC2aDnBaNi2zjC0zNCPyqi5)
Ku ndryshorja
është madhësi komplekse
. Zbatim më të madh praktikë ka transformimi i njëanshëm i Laplasit , ku merr parasysh vetem pjesën shkakesore të sinjalit
![{\displaystyle X(s)=\int _{0}^{\infty }x(t)e^{-st}\,dt}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Na2rCnqsPyjlEyjC0aNs3aqa3zDG3oNnBnAoQyjePzDdCzqi2zNwQ)
Shumës së peshuar(kombinimit linear) të hyrjeve I përgjigjet kombinimi linear i transformimeve përkatëse me pesha të njëjta.
dhe ![{\displaystyle ~x_{2}(t)\leftrightarrow X_{2}(s)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9FygdBaDm1zArCzqoPyti0ytK3zgs0nqhEntwQyje1a2vCytGQoNG1)
![{\displaystyle ax_{1}(t)+bx_{2}(t)\leftrightarrow aX_{1}(s)+bX_{2}(s)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82o2nDatw3yqhEaNKNnDGNzqa3ngzByqiOnAhDzta3oNnAnjlDztwQ)
.Zona e konvergjencës së X(s) formohet nga bashkësia vlerave të s për të cilat bashkërisht konvergjojnë
dhe
Sinjali i zhvendosur për tο çiftohet me transformimin
![{\displaystyle ~x(t-t_{0})\leftrightarrow e^{-st_{0}}X(s)\ }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82oqo5oAvBz2zDntJAoqe0ytdCytw5zNi2oAo5zqvAo2nCzNC1atC2)
.Vetia vlen pa kufizim vetëm për transformimin dyanësor, pra si për vlera pozitive ashtu edhe për vlera negative të zhvendosjes
.Te transformimi njëanësor i .
.Laplasit vetia vlen vetëm për vlera pozitive të
, pra për
vetia nuk vlen.
Nëse
atëherë vlen
![{\displaystyle ~e^{s_{0}t}x(t)\leftrightarrow X(s-s_{0})}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84zDFAngaNnti5zjlCz2dAz2zCoqeQzDeOyti2ots1zgnEajo3zjrA)
Zona e konvergjencës së
zhvendoset për Re[sₒ] ndaj asaj të
.
Nëse
dhe
është numër real atëherë vlen:
Zona e konvergjencës gjithashtu shkallëzohet
Nëse
dhe
, me zona të konvergjencës
,
përkatësisht
, atëherë:
![{\displaystyle ~x_{1}(t)*x_{2}(t)\leftrightarrow X_{1}(s)X_{2}(s)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9FztaNaNnEagrEnjJCnAs1yjzAoqaPzAeNatlAotmPaAzAztKNyjK3)
- Vetia e diferencimit në kohë
Në qoftë se
është transformimi i njëanshëm i
, atëherë për
derivatin e
vlen:
![{\displaystyle ~{dx(t) \over dt}\leftrightarrow sX(s)-x(0)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82zjnDoqi1ntw4ajiNaNvCytoOnqw1ajs0ytG2njo3njGOzAo2aAw2)
Zona e konvergjencës mbetet e njëjtë me atë të
, pos në rastin
kur
ka pol në
, në këtë rast ky pol anulohet dhe për rrjedhojë
zona e konvergjencës ndryshon.
Transformim dyanësor i rendit arbitrar të derivatit të
merr
trajtën:
![{\displaystyle ~{d^{m}x(t) \over dt^{m}}\leftrightarrow s^{m}X(s)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9FyqzAzDi4oqs2o2zDz2a5ntFCztw4zDzDzjvBnge3yjw5ytJEyjm1)
- Diferencimi në rrafshin s
![{\displaystyle ~-tx(t)\leftrightarrow {dX(s) \over ds}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Pytw2zji4oNo2z2vFoNmQnjC2nAs3nDC2aDzEaNG1ajlAoDvAati3)
Zona e konvergjencës mbetet e njëjtë.
Në rastin e përgjithshëm, për derivatin e
, vlen:
![{\displaystyle ~(-1)^{m}t^{m}x(t)\leftrightarrow {d^{m}X(s) \over ds^{m}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OztG3aNeNzDlCzgw1aDw4oqiOaArFzgvEzDs1zDhFzjFAzga0oDvA)
- Integrimi në rrafshin kohor:
![{\displaystyle ~\int _{-\infty }^{t}x(\lambda )\,d\lambda \leftrightarrow {\frac {X(s)}{s}}\ }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9BaNwNaNmNyqiQaqiOntC3ntC1ajK0zte2yqwPotlEnAvEotFBaqi1)
- Terorema për vlerën fillestare:
Vlera fillestare e sinjalit shkakësor
mund të përcaktohet nga
përmes relacionit:
![{\displaystyle x(0)=\lim _{s=\infty }{sX(s)}\ }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80otmOaNaOzDG1agwNaAzAaqa2ztrDztBBoNrDztK5yjmOajlBaAnD)
- Teorema për pikën fundore:
Vlera fundore e sinjalit shkakësor
mund të përcaktohet nga
relacioni:
![{\displaystyle x(\infty )=\lim _{s=0}{sX(s)}\ }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OztvFzAs4zjvFzAe0zqo5zAiPoqnAoDJCyjK4ygvCo2aPoNaPaNGN)
Sinjali në domenin kohor |
Sinjali në domenin s |
Zona e konvergjencës
|
![{\displaystyle x(t)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CztvDaDK1ngeNothBzDeQzNa3oDs4nti0a2eQyji4atm3nAi1nDrD) |
![{\displaystyle X(S)\ }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PzDBDo2nFyge0nDzCnqe4ngaOaNJBnDCNnDw4ytzDyjK5oNGOo2zE) |
ROC
|
![{\displaystyle u(t)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EaNK1ngoNoDo1nje4aAo4zNi1yja1nga5aqzDoDeOnDw2ytCNyts5) |
![{\displaystyle {\frac {1}{s}}\ }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83zjwOaDa1aqe2ajaNotvEyqnAatK1ytK5ajvCoAe5ajsPotFCnqeQ) |
|
![{\displaystyle -u(-t)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CzDm5zgiOaqdFaNGQaNlDztoOnqwOoqsPo2eQaAe1ntm1zjC5aAsN) |
![{\displaystyle {\frac {1}{s}}\ }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83zjwOaDa1aqe2ajaNotvEyqnAatK1ytK5ajvCoAe5ajsPotFCnqeQ) |
|
![{\displaystyle tu(t)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Qyqa4yjBFagvCzjJAnDnAnta4atoNzjvCnAhDaje3njhEyjsPaAwO) |
![{\displaystyle {\frac {1}{s^{2}}}\ }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82zgs0nDi3ngdDygs4aDrAygeNz2s3aArAaghEaNeOnDC2zteNaDeQ) |
|
![{\displaystyle t^{k}u(t)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9FoAnEntnCyqhCzthFzNe1oDhCzNrCzDoPytFDnDw4nqaNagvEzjlA) |
![{\displaystyle {\frac {k!}{s^{k+1}}}\ }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84aDe1oDi2nDs1ajvDztwQyjsPaNCQo2vDaDa4atK0z2ePaNa0nDG2) |
|
![{\displaystyle e^{-at}u(t)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EztJEaNGNytBDotK0otKPzNePoqdFntFFatvDztmNoqw3nAw3zNBF) |
![{\displaystyle {\frac {1}{s+a}}\ }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80nja0nAvEzNhAyjBEnjFEo2s3ati5nDnDztKOa2oOyqvBngi5yjJE) |
|
![{\displaystyle -e^{-at}u(t)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84zgzDoDrAzqaQnDm5zDo2z2w3ztrEnAs1ajC0ztnFyqiQnghCzAe1) |
![{\displaystyle {\frac {1}{s+a}}\ }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80nja0nAvEzNhAyjBEnjFEo2s3ati5nDnDztKOa2oOyqvBngi5yjJE) |
|
![{\displaystyle te^{-at}u(t)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85nDnDoqo1yqwPnjC1aqdDotK3oDoOa2eQyqnDagrEaDdCzqvBoDw2) |
![{\displaystyle {\frac {1}{{s+a}^{2}}}\ }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OzgvBzAvBzqiPzqnFoDs2otK3ntlBajdAaAdBaNFFygrAaDw4ygvD) |
|
![{\displaystyle -te^{-at}u(t)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85ytFDzDrDytG1agi4oNm0yqhDzAa0oDmPyqo1oAnEage5atm0zqaN) |
![{\displaystyle {\frac {1}{{s+a}^{2}}}\ }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OzgvBzAvBzqiPzqnFoDs2otK3ntlBajdAaAdBaNFFygrAaDw4ygvD) |
|
![{\displaystyle cosw_{o}tu(t)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EnqzFoto1otKNnqwOaNG4oNsQaDi3zDFDage3nDm2njdBotzAa2s4) |
![{\displaystyle {\frac {s}{s^{2}+{w_{o}}^{2}}}\ }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Qzqi5ajwQagzCatsNaDdFatBBzNe0zAe0aje0zDo2z2i5oDzEytvA) |
|
![{\displaystyle sinw_{o}tu(t)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83yjlCaqe4zDlBntlAzNwNzNvCzAi3oqsOngePajJFoNhEyto1njFC) |
![{\displaystyle {\frac {w}{s^{2}+{w_{o}}^{2}}}\ }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Nyjo2yge2ygwQytBAyjvFyjwOyjo3njlEztoPzAs1atwPnDC5ngdA) |
|
![{\displaystyle e^{-at}cosw_{o}tu(t)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OagzDaNmOzNe5a2vDzDoPatm4oDoOo2dFyqe4zDnEyjzDzjhAnDaQ) |
![{\displaystyle {\frac {s+a}{{(s+a)}^{2}+{w_{o}}^{2}}}\ }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Eajw5yti1ota2njzBajnDotJDo2a0njdEntvDoDBBzNaNnjo4oAi3) |
|
![{\displaystyle e^{-at}sinw_{o}tu(t)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83njm2zDe4ajrBnjw3njC2otFBnqvCotJBztCNytJFotvFzqsPntdB) |
![{\displaystyle {\frac {w}{{(s+a)}^{2}+{w_{o}}^{2}}}\ }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Bnje5oti3oAi2ngiQoNvAa2vBate3nDdDotJFoNaNyqrCzAdCajvB) |
|
Bazë për përcaktimin e shprehjes për transformim të kundërt të Laplasit , mund të shërbejnë shprehjet e cifteve transfomuese Furie.
- Sipas interpretimit më të drejtpërdrejt , transformimi Furie
paraqet vlerat e transformimit të Laplasit ,
, nëpër boshtin imagjinar ![{\displaystyle j\omega }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82aNs2yte1aDzBzqiQnjGPyjJBytm4zjm4yji5ajiQngi3nDlEnjm5)
![{\displaystyle X(s)=X(\sigma +j\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-\sigma t}e^{-j\omega t}=\int _{-\infty }^{\infty }[x(t)e^{-\sigma t}]e^{-j\omega t}\,dt=F[x(t)e^{-\sigma t}]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84nDzBaqiPyte2yji1yjoOnqrFaDC3njhBztlAoAdFyqo2ztaQaDm3)
- Transformimi i Laplasit i sinjalit x(t) mund të interpretohet edhe si transformim Furie i sinjalit
.
Me këtë shmanget problemi i përfshirjes së boshtit imagjinar në zonën e konvergjencës.
![{\displaystyle x(t)e^{\sigma t}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(\sigma +j\omega )e^{j\omega t}\,d\omega }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83otdBaqsOatKQnjnAajlDyqiQotnFzjrFnqeQngiNnqe0njePate4)
ose
![{\displaystyle x(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(\sigma +j\omega )e^{(\sigma +j\omega )t}\,d\omega }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85oDi5ytCOoDsOzge5nDo0atzCnDo4ztzEoDBAaqw3yjaOaDe3zgoP)
Në teorinë e qarqeve elektrikë,rryma në një kapacitor është e përpjesshme me kapacitancën dhe shkallën e ndryshimit në potencialin elektrik (me ekuacionet për sistemin SI të njësive). Simbolikisht kjo shprehetj nga ekuacioni diferencial
ku C është kapacitanca e kondensatorit, i = i(t) është rryma elektrike nëpërmjet kondensatorit si funksion i kohës, dhe v = v(t) është voltazhi ndërmjet terminaleve të kondensatorit, është gjithashtu një funksion i kohës.
Duke marrë shndërrimin e Laplasit të këtij ekuacioni, përftojmë
ku
dhe
Duke zgjidhur për V(s) marrim
Përkufizimin i impedancës komplekse Z (në ohm) është raporti i voltazhit kompleks V i pjesëtuar me rrymën komplekse I duke mbajtur gjëndjen fillestare V0 në çastin t=0:
Duke përdorur këtë përkufizim dhe ekuacionin e mëparshëm, gjejmë që:
e cila është shprehja e saktë për impedancën komplekse të kondensatorit. Më tej, shndërrimi i Laplasit gjen zbatime të shumta në teorinë e kontrollit.
Konsideroni një sistem LTI me funksionin e transferimit:
Përgjigja impuls është vetëm transformimi i anasjelltë i Laplasit i këtij funksioni transferimi:
- [1]
- Hwei P. Hsu, 1995, McGraw-Hill. “Schaum's Outline of Theory and Problems of Signals and Systems”
- E. Kamen and B. Heck; 3rd ed., 2006, Prentice Hall.“Signals and Systems”
- Alan V. Oppenheim, 2nd ed., Ligj. 1 1 1996, Prentice Hall. “Fundamentals of Signals and Systems-Using Matlab”
- “Sinjalet dhe Sistemet” Ilir Limani – Ligjërata të Autorizuara