Хуков закон

Hooke's law: the force is proportional to the extension

Bourdon tubes are based on Hooke's law. The force created by gas pressure inside the coiled metal tube above unwinds it by an amount proportional to the pressure.

The balance wheel at the core of many mechanical clocks and watches depends on Hooke's law. Since the torque generated by the coiled spring is proportional to the angle turned by the wheel, its oscillations have a nearly constant period.

У механици, Хуков закон еластичности је апроксимација која казује да је релативна деформација еластичног тела, у одређеним границама, директно пропорционална напону који на њега делује. Закон је назван по Роберту Хуку, енглеском физичару из 17. века, који га је открио и 1675. изразио латинским анаграмом: ceiiinosssttuu. Решење анаграма је објавио 1676. године као: Ut tensio, sic visкôд: lat је напређен у кôд: la (= Колико истезање, толика сила). He published the solution of his anagram in 1678 as: ut tensio, sic vis ("as the extension, so the force" or "the extension is proportional to the force"). Hooke states in the 1678 work that he was aware of the law since 1660.

У овом првобитном облику, закон се односио пре свега на опруге, тј. чињеницу да је сила коју опруга производи пропорционална њеном истезању или сабијању:

$F=-k\Delta x$

Где је:

$F$ — сила коју опруга производи, знак „—“ означава супротан смер од помераја. Ако је опруга истегљена, њена сила ће тежити да је скупи и супортно, ако је опруга скупљена, сила опруге ће тежити да је рашири
$k$ — константа еластичности (коефицијент пропорционалности)
$\Delta x$ — означава промену дужине при растезању или скупљању опруге у односу на њен основни, природни положај. Знак $\Delta$ није обавезан, али обично се користи као ознака за промену

Данас је познато да Хуков закон важи за широк спектар еластичних тела, која се називају линеарно-еластичним телима, при деформацијама (истезање, увијање и сл.) које она трпе под утицајем сила. За свако такво тело, закон важи само у одређеним границама карактеристичним за њега — напон не сме прећи тзв. границу еластичности. Линеарни однос између деформације и напона је одређен константом пропорционалности, која се у зависности од типа деформације различито назива, такође карактеристичном за дато тело. Граница еластичности и константа пропорционалности зависе од природе материјала од кога је дато тело начињено и од осталих његових особина.

Формална дефиниција

За линеарне опруге

Замислимо једноставну спиралну опругу која има један крај причвршћен за неки фиксни предмет, док слободни крај вуче сила чија је величина F_s. Претпоставимо да је опруга достигла стање равнотеже, где се њена дужина више не мења. Нека је x количина за коју је слободни крај опруге померен из свог „опуштеног” положаја (када није истегнут). Хуков закон наводи да

$F_{s}=kx$

или, еквивалентно,

$x={\frac {F_{s}}{k}}$

где је k позитиван реалан број, карактеристичан за опругу. Штавише, иста формула важи и када је опруга компримована, при чему су F_s и x оба негативна у том случају. Према овој формули, график примењене силе F_s као функције померања x биће права линија која пролази кроз координтни почетак, чији је нагиб k.

Хуков закон за опругу се понекад, али ретко, наводи под конвенцијом да је F_s сила враћања коју опруга врши на било шта што вуче њен слободни крај. У том случају, једначина постаје

$F_{s}=-kx$

пошто је правац силе враћања супротан од смера померања.

Опште „скаларне” опруге

Хуков закон опруге обично се примењује на било који еластични објекат, произвољне сложености, све док се и деформација и напон могу изразити једним бројем који може бити и позитиван и негативан.

На пример, када се блок гуме причвршћен за две паралелне плоче деформише смицањем, а не истезањем или компресијом, сила смицања F_s и бочно померање плоча x поштују Хуков закон (за довољно мале деформације).

Хуков закон се такође примењује када је равна челична шипка или бетонска греда (попут оне која се користи у зградама), ослоњена на оба краја, савијена теретом F постављеном у некој међутачки. Померање x у овом случају је одступање греде, мерено у попречном правцу, у односу на њен неоптерећени облик.

Закон се такође примењује када се истегнута челична жица уврне повлачењем полуге причвршћене на једном крају. У овом случају напрезање F_s се може узети као сила примењена на полугу, а x као растојање које она пређе дуж своје кружне путање. Или, еквивалентно, може се дозволити да F_s буде обртни момент који полуга примењује на крај жице, а x је угао за који се тај крај окреће. У оба случаја F_s је пропорционалан x (иако је константа k различита у сваком случају.)

Векторска формулација

У случају спиралне опруге која је истегнута или сабијена дуж своје осе, примењена (или обнављајућа) сила и резултирајуће издужење или компресија имају исти смер (који је правац наведене осе). Према томе, ако су F_s и x дефинисани као вектори, Хукова једначина и даље важи и наводи да је вектор силе вектор елонгације помножен фиксним скаларом.

Општи тензорски облик

Нека еластична тела ће се деформисати у једном правцу када су изложена сили у другом правцу. Један пример је хоризонтална дрвена греда неквадратног правоугаоног пресека која је савијена попречним оптерећењем које није ни вертикално ни хоризонтално. У таквим случајевима, величина померања x биће пропорционална величини силе F_s, све док смер ове друге остаје исти (а њена вредност није превелика); те ће важити скаларна верзија Хуковог закона F_s = −kx. Међутим, вектори силе и померања неће бити скаларни вишекратници један другог, пошто имају различите правце. Штавише, однос k између њихових величина зависиће од правца вектора F_s.

Ипак, у таквим случајевима често постоји фиксни линеарни однос између вектора силе и деформације, све док су довољно мали. Наиме, постоји функција κ од вектора до вектора, таква да је F = κ(X), и κ(αX₁ + βX₂) = ακ(X₁) + βκ(X₂) за било које реалне бројеве α, β и све векторе померања X₁, X₂. Таква функција се назива тензор (другог реда).

У односу на произвољан Декартов координатни систем, вектори силе и померања могу бити представљени 3 × 1 матрицама реалних бројева. Тада тензор κ који их повезује може бити представљен 3 × 3 матрицом κ реалних коефицијената, која, када се помножи са вектором померања, даје вектор силе:

$\mathbf {F} \,=\,{\begin{bmatrix}F_{1}\\F_{2}\\F_{3}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}\kappa _{11}&\kappa _{12}&\kappa _{13}\\\kappa _{21}&\kappa _{22}&\kappa _{23}\\\kappa _{31}&\kappa _{32}&\kappa _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}\,=\,{\boldsymbol {\kappa }}\mathbf {X}$

То је,

$F_{i}=\kappa _{i1}X_{1}+\kappa _{i2}X_{2}+\kappa _{i3}X_{3}$

за i = 1, 2, 3. Стога се може рећи да Хуков закон F = κX важи и када су X и F вектори са променљивим правцима, осим што је крутост објекта тензор κ, а не један реалан број k.

Хуков закон за континуиране медије

Главни чланак: линеарна еластичност

(a) Schematic of a polymer nanospring. The coil radius, R, pitch, P, length of the spring, L, and the number of turns, N, are 2.5 μm, 2.0 μm, 13 μm, and 4, respectively. Electron micrographs of the nanospring, before loading (b-e), stretched (f), compressed (g), bent (h), and recovered (i). All scale bars are 2 μm. The spring followed a linear response against applied force, demonstrating the validity of Hooke's law at the nanoscale.

The stresses and strains of the material inside a continuous elastic material (such as a block of rubber, the wall of a boiler, or a steel bar) are connected by a linear relationship that is mathematically similar to Hooke's spring law, and is often referred to by that name.

However, the strain state in a solid medium around some point cannot be described by a single vector. The same parcel of material, no matter how small, can be compressed, stretched, and sheared at the same time, along different directions. Likewise, the stresses in that parcel can be at once pushing, pulling, and shearing.

In order to capture this complexity, the relevant state of the medium around a point must be represented by two-second-order tensors, the strain tensor ε (in lieu of the displacement X) and the stress tensor σ (replacing the restoring force F). The analogue of Hooke's spring law for continuous media is then

${\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {c} {\boldsymbol {\varepsilon }},$

where c is a fourth-order tensor (that is, a linear map between second-order tensors) usually called the stiffness tensor or elasticity tensor. One may also write it as

${\boldsymbol {\varepsilon }}=\mathbf {s} {\boldsymbol {\sigma }},$

where the tensor s, called the compliance tensor, represents the inverse of said linear map.

In a Cartesian coordinate system, the stress and strain tensors can be represented by 3 × 3 matrices

${\boldsymbol {\varepsilon }}\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}\,;\qquad {\boldsymbol {\sigma }}\,=\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}$

Being a linear mapping between the nine numbers σ_ij and the nine numbers ε_kl, the stiffness tensor c is represented by a matrix of 3 × 3 × 3 × 3 = 81 real numbers c_ijkl. Hooke's law then says that

$\sigma _{ij}=\sum _{k=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}c_{ijkl}\varepsilon _{kl}$

where i,j = 1,2,3.

All three tensors generally vary from point to point inside the medium, and may vary with time as well. The strain tensor ε merely specifies the displacement of the medium particles in the neighborhood of the point, while the stress tensor σ specifies the forces that neighboring parcels of the medium are exerting on each other. Therefore, they are independent of the composition and physical state of the material. The stiffness tensor c, on the other hand, is a property of the material, and often depends on physical state variables such as temperature, pressure, and microstructure.

Due to the inherent symmetries of σ, ε, and c, only 21 elastic coefficients of the latter are independent. This number can be further reduced by the symmetry of the material: 9 for an orthorhombic crystal, 5 for an hexagonal structure, and 3 for a cubic symmetry. For isotropic media (which have the same physical properties in any direction), c can be reduced to only two independent numbers, the bulk modulus K and the shear modulus G, that quantify the material's resistance to changes in volume and to shearing deformations, respectively.

Литература

• Timshenko, S.; Goodier, J. N. (1951). Theory of Elasticity (на језику: (језик: енглески)) (2. изд.). New York: McGraw-Hill Book Company. CS1 одржавање: Непрепознат језик (веза)
• Krpić, Dragomir (2005) [1996]. Fizička mehanika (3. изд.). Beograd: Fizički fakultet. ISBN 978-86-81019-06-1 (prvo izdanje). 
• Ugural, A. C.; Fenster, S. K. (2003). Advanced Strength and Applied Elasticity (4th изд.). Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-047392-9. 
• Walter Lewin explains Hooke's law. From Walter Lewin (1. 10. 1999). Hooke's Law, Simple Harmonic Oscillator. MIT Course 8.01: Classical Mechanics, Lecture 10. (videotape). Cambridge, MA USA: MIT OCW. Корисна информација се налази на: 1:21–10:10. Архивирано из оригинала (ogg) 29. 6. 2011. г. Приступљено 23. 12. 2010. „...arguably the most important equation in all of Physics.” CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• A test of Hooke's law. From Walter Lewin (1. 10. 1999). Hooke's Law, Simple Harmonic Oscillator. MIT Course 8.01: Classical Mechanics, Lecture 10. (videotape). Cambridge, MA USA: MIT OCW. Корисна информација се налази на: 10:10–16:33. Архивирано из оригинала (ogg) 29. 6. 2011. г. Приступљено 23. 12. 2010. CS1 одржавање: Формат датума (веза)

Спољашње везе

• JavaScript Applet demonstrating Springs and Hooke's law
• JavaScript Applet demonstrating Spring Force