Универзални закон гравитације — разлика између измена

Садржај обрисан Садржај додат

Инлајн

Тренутна верзија на датум 28. мај 2024. у 18:41

Математичар и физичар Исак Њутн у периоду од 1665. до 1685, развио је своју теорију механике, засновану на убрзању, а не само на проучавању брзине, како су то чинили Галилеј и Декарт пре њега. Кључна чињеница коју је Њутн први запазио је да је сила која делује на јабуку која пада са дрвета заправо иста сила која делује на Земљу да се окреће око Сунца. Из тог сазнања потекао је Њутнов закон гравитације, тј. универзални закон гравитације, који се убраја у четврти Њутнов закон, поред 3 основна закона класичне механике.^[1] Универзални закон гравитације је формулисан у Њутновом делу Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, које је прву пут било објављено 5. јула 1687. Кад је Њутн представио Књигу 1 необјављеног текста у априлу 1686. Краљевском друштву, Роберт Хук је тврдио да је Њутн добио закон инверзног квадрата од њега.

У данашњем језику, закон наводи да свака тачка масе привлачи сваку другу тачку масе са силом која делује дуж линије која спаја тачке. Сила је пропорционална производу две масе, и инверзно пропорционална квадрату растојања између њих.^[2]

Формулација закона

${\vec {F}}_{12}=-G\cdot {\frac {m_{1}m_{2}}{d^{2}}}{\vec {u}}_{12}$

Гравитациона сила којом се привлаче тела 1 и 2 сразмерна је производу њихових маса $m_{1}$ и $m_{2}$ , а обрнуто> сразмерна квадрату њиховог растојања, $d^{2}$ .

$G$ , је гравитациона константа која износи $6.67\cdot 10^{-11}{\frac {N\cdot m^{2}}{kg^{2}}}$ (или ${\frac {m^{3}}{kg\cdot s^{2}}}$ ), а ${\vec {u}}_{12}$ је јединични вектор усмерен од тела 1 према телу 2. Негативни предзнак означава да је сила међу телима привлачна сила.

Доказ

Други Њутнов закон:

Основни закон динамике, тј. Други Њутнов закон, који полази од Декартовог принципа инерције (одржање количине кретања), показује да збирно деловање сила на тела једнако $ma$ , где је $m$ инертна маса (која отежава кретање тела), и где је $a$ убрзање (ритам промене брзине).

Уобичајеним називима речено:

Величина силе на неко тело директно је сразмерна убрзању и маси тог тела.

{\overrightarrow {F}}=m\cdot {\overrightarrow {a}}

где је F сила, m маса, a убрзање.

Кеплерови закони и Закон о центрифугалној сили:

С друге стране, из Кеплерових закона, који су изведени из посматрања кретање тела у Сунчевом систему, и закона Кристијана Хајгенса о центрифугалној сили, Њутн је закључио да гравитациона сила између два тела делује по правој линији између њих и обрнуто је пропорционална квадрату њиховог растојања, тј. сразмерна је са ${\frac {1}{d^{2}}}$ , где је $d$ растојање између тела.

Гравитациона константа

Сматрајући да је сила гравитације пропорционална количини материје присутној у телу која делују овом силом (двоструко веће тело делује двоструко већом силом), претпоставио је да је сила пропорционална величини $m_{G}$ коју је назвао гравитациона маса, пропорционална количини материје у телу и његовој способности да врши привлачно деловање.

Трећи Њутнов закон:

По принципу акције и реакције, сила којом друго тело делује на прво је једнака (и усмерена у супротном смеру) сили којом прво тело делује на друго. Ова сила је пропорционална $m'_{G}$ , гравитационој маси другог тела.

Закључак:

Њутн је желео да обједини законе који важе на Земљи са онима који важе на небу (астрономија), нарочито оне који се односе на Земљину тежу и кретање планета).

Основни закон динамике се стога може записати као: $ma=G\cdot {\frac {m_{G}m'_{G}}{d^{2}}}$ . Ако је убрзање $a$ (и брзина) тела које је у слободном паду независно од инерционе масе (као што је показао Галилејев експеримент), онда за тело важи $m=m_{G}$ , дакле гравитациона маса је једнака инерционој маси, што не зависи од врсте и састава тела. Њутн је тестирао ову теорију на много примера и није јој нашао изузетак.

Ако занемаримо остале утицаје и претпоставимо да сила делује тренутно, без кашњења, гравитациону сила између два тачкаста тела може се објаснити на следећи начин:

F=G\cdot {\frac {m_{G}m'_{G}}{d^{2}}}

, где је

G

константа под именом гравитациона константа.

Одавде добијамо и коначни запис Универзалног закона гравитације у скаларном облику:

F_{12}=G\cdot {\frac {m_{1}m_{2}}{d^{2}}}

И у векторском облику:

{\vec {F}}_{12}=-G\cdot {\frac {m_{1}m_{2}}{d^{2}}}{\vec {u}}_{12}

Пример

Наћи привлачну силу гравитације између планете Земље и Сунца и њен интензитет.

Познате вредности су:

гравитациона константа: $G=6.67\cdot 10^{-11}{\frac {N\cdot m^{2}}{kg^{2}}}$
удаљеност Земље од Сунца $r=1.5\cdot 10^{11}m$
маса Сунца $m_{1}=1.99\cdot 10^{30}kg$
маса Земље $m_{2}=5.98\cdot 10^{24}kg$

Универзални закон гравитације гласи:

{\vec {F}}=-G\cdot {\frac {m_{1}m_{2}}{d^{2}}}{\vec {u}},

где је ${\vec {u}}$ јединични вектор од тела 1 ка телу 2.

На основу горенаведеног, добијамо да је тражена сила:

{\vec {F}}=-{\frac {6.67\cdot 10^{-11}Nm^{2}\cdot 1.99\cdot 10^{30}kg\cdot 5.98\cdot 10^{24}kg}{kg^{2}\cdot (1.5\cdot 10^{11}m)^{2}}}=-3.52\cdot 10^{22}N\cdot {\vec {u}},

а њен интензитет:

F=3.52\cdot 10^{22}N.

Знак минус (-) у једначини силе показује да је сила између Земље и Сунца привлачна сила.

Општост Универзалног закона гравитације

Слика приказује 3 Кеплерова закона са две планетарне путање:
(1) Путање планета су елипсе, са жариштима ƒ₁ и ƒ₂ за прву планету и ƒ₁ и ƒ₃ за другу планету. Сунце је смештено у жаришту ƒ₁.
(2) Два засенчена подручја A₁ и A₂ имају једнаке површине и време за планету 1 да прекрије подручје A₁ је једнако да прекрије подручје A₂.
(3) Укупна опходна времена планета 1 и планета 2 имају однос t₁^3/2 : t₂^3/2.

Колико је Њутнов закон гравитације општији у односу на законе који су до тада постојали и који су били и експериментално потврђени, показује чињеница да се сви ти закони могу доказати из њега и да они представљају само неке од специјалних случајева тог закона.

Кеплерови закони

Помоћу Универзалног закона гравитације, могу се доказати и сви Кеплерови закони и уочавају се грешке у Трећем Кеплеровом закону.

Галилејев закон

Њутнов закон гравитације може да искаже Галилејев закон. Ако се са $d$ означи полупречник земље, а $m_{T}=$ је маса Земље, добија се да је $g=G\cdot {\frac {m_{T}}{d^{2}}}=9,81$ m·s⁻².

Примена

Понашање сателита и пројектила, пошто подлежу *Универзалном закону гравитације*

Као и свака теорија, и Универзални закон гравитације је од хипотезе експериментално потврђен.

Једно од открића, којем је основну подлогу дао управо Универзални закон гравитације, је откриће да је могуће у ваздух подигнути, тј. послати на небо и предмете који су тежи од ваздуха.

Закон гравитације и кретања тела

Уобичајено је да се слободни пад узима као пример униформног убрзаног кретања (кретања са сталним убрзањем). Притом се претпоставља да нема отпора ваздуха или трења.

Кружно кретање је састављено од две компоненте, од кретања сталном брзином по правцу и од униформно убрзаног кретања са смером према средишту кружења.

Визуелни пример кретања вештачких сателита ГПС-а заједно са Земљином ротацијом.

За Земљу (M = 6 ∙10²⁴ kg) **брзина кружења** или орбитална брзина на самој површини (r = 6 378 km) износила би 7 910 m/s или 7,91 km/s. Та се брзина зове и **првом космичком брзином**.

**Њутнова замишљена топовска кугла**: уколико би топ на некој узвисини испалио куглу с брзином мањом од брзине кружења (*v_k* = 7.9 km/s) она би имала путању A или B и пала би на Земљу; уколико би кугла ишла брзином кружења она би имала кружну путању C и кретала би се сталном брзином; уколико би кугла кренула брзином већом од брзине кружења она би путовала по елипси D; уколико би кугла кренула брзином већом од брзине ослобађања (*v_o* = 11,2 km/s) она би путовала по хиперболи E и напустила би Земљу.

Појаве у природи тумаче се међуделовањима (интеракцијама). Њутнов закон гравитације је математички опис гравитационе силе или гравитационе интеракције - силе којом се узајамно привлаче две масе. Док су Кеплерови закони описивали начин кретања планета, Њутнов закон гравитације је помогао да се растумачи зашто се планете крећу баш тако како се крећу. Њутн је закон извео на темељу практичног искуства и теоријских разматрања тадашње физике и астрономије, укључивши Кеплерове законе. Обратно, математичким се путем из Њутновог закона гравитације могу извести Кеплерови закони. Али не само то. У природи има кретања која су много сложенија од кретања поједине планете око Сунца. Већ је кретање планетоида и комета сложеније од кретања планета. Исто је тако сложеније кретање мноштва звезда у једном скупу звезда, или звезда једне галаксије, а сва су она условљена Њутновом силом. Стога је Њутнов закон гравитације много општији и и важи у целом свемиру.

Својства те гравитационе силе су следећа. Она је узајамна, привлачна и централна сила. Узајамна је зато што једнаком силом којом тело масе M привлачи масу m, привлачи и тело масе m масу M. Централна је зато што је усмерена од једне масе према другој. Надаље, сила је сразмерна маси сваког тела посебно, а њена величина опада обрнуто сразмерно с квадратом удаљености. Ако се размак тела удвостручи, сила се смањи четири пута; ако се утростручи, смањи се девет пута.

Константа G (универзална гравитациона константа) је константа пропорционалности и према мерењима износи око 6,67428 ∙ 10⁻¹¹ N m² kg⁻². Тела обично се представљају малим куглама. Закон треба примењивати на тачкаста тела (тела сажета у материјалне тачке). Ако тела нису тачкаста, већ проширена, тада је укупна сила између њих једнака збиру свих сила између сваке две материјалне тачке. Стога гравитационо поље око стварног (реалног) тела може бити веома сложено.^[3]

Слободни пад

Гравитациона сила је узрок кретања и промјена стања кретања. У пољу гравитације тела се крећу убрзано. Зато се у убрзању тела одражавају својства гравитационе силе. Убрзање или акцелерација неког малог тела масе m које се налази у пољу сферног тела масе M, према Другом Њутновом закону кретања или темељном закону кретања гласи:

F=m\cdot g

Константа пропорционалности између силе и убрзања је маса убрзаваног тела. На тело масе m делује Њутнова сила, јер се оно налази у гравитационом пољу које окружује масу M. Изједначавањем горњих израза добија се:

g=G{\frac {Mm}{r^{2}}}\

То је убрзање (акцелерација) тела масе m у гравитационом пољу масе M, на растојању r од масе M. Убрзање или акцелерација има уједно димензију јачине гравитационог поља; јачина гравитационог поља је однос гравитационе силе и убрзаване масе. Уобичајено је да се слободни пад (или кретање косином) узима као пример униформног убрзаног кретања (кретања са сталним убрзањем). Притом се претпоставља да нема отпора ваздуха или трења. Горњи математички израз треба узимати с опрезом. Ако и нема отпора, тело ће се кретати сталним убрзањем само на веома малом делу пута, на оном делу на којему се r врло мало мења. Према томе, слободни пад се може узимати као пример униформног убрзаног кретања једино код малих висина пада. Ако је убрзање стално, пут s преваљен у смеру убрзања за време t једнак је:

s={g \over 2}\cdot t^{2}

Кружење сателита

Исак Њутн је схватио да је кружно кретање састављено од две компоненте, од кретања сталном брзином по правцу и од униформно убрзаног кретања са смером према средишту кружења. Кад не би било привлачења, тело би униформном брзином v_k одмицало по правцу и за време t прешло пут v_k∙t. Исто тако, због гравитационог привлачења, тело пада према центру и у том паду, у време t, превали пут gt²/2. Ако тело ипак остаје на кружници, мора бити да се оно током времена t за толико одмакне од кружнице за колико уједно и падне на кружницу. Тај процес присутан је на сваком месту кружнице, на сваком ма како малом одсечку пута. Ако би брзина кретања v била мања од брзине кружења v_k, то тело би због слободног пада пришло центру Земље више него што би се у једноликом кретању по правцу од ње одмакнуло, па би тако прелазило с кружнице већег полупречника на кружницу мањег полупречника, те би у спирали напокон пало на Земљу.

Присили ли се неко тело да се на вртешци креће брзином v, тада оно у смеру према центру има убрзање g (центрипетално убрзање). Између брзине кретања v по кружној стази полупречника r и центрипеталне акцелерације g постоји веза:

g={\frac {v^{2}}{r}}

Креће ли се тело по кружници и појача ли се центрипетална сила, порашће и убрзање и брзина. Ако је сила привлачења гравитациона, и у центру кретања се налази маса M, тада је центрипетално убрзање потпуно одређено и једнако изразу:

g=G{\frac {M}{r^{2}}}\

Тим условом се за дати полупречник стазе од свих могућих центрипеталних убрзања одабира само једно убрзање (акцелерација), а њој одговара само једна, потпуно одређена брзина. Изједначавањем горња два израза, добија се:

v=v_{k}={\sqrt {\frac {GM}{r}}}

За Земљу (M = 6 ∙10²⁴ kg) брзина кружења или орбитална брзина на самој површини (r = 6 378 km) износила би 7 910 m/s или 7,91 km/s. Та се брзина зове и првом космичком брзином. На сваком другом нивоу изнад површине Земље брзина кружења има другу вредност.^[4]

Ослобађање сателита

Када се брзина сателита повећа изнад брзине кружења v_k долази до издужења стазе (путање). Кружница прелази у елипсу, а елипса малог ексцентрицитета прелази у елипсу већег ексцентрицитета. Када стаза постане парабола, тело ће напустити Земљину близину и слободно одлетјети у међупланетарни простор. То је брзину ослобађања v_o или друга космичка брзина. Тела могу бити међусобно везана, или слободна. Тело је везано и чини један физички систем са Земљом када лежи на њој или се креће око ње затвореном путањом. Уопштено, тело има и кинетичку енергију и гравитациону потенцијалну енергију (енергију положаја у гравитационом пољу). Потенцијална енергија E_p масе m у околини масе M једнака је:

E_{p}={\frac {-GMm}{r}}

Договором је потенцијалној енергији додељен негативан предзнак. На мањој удаљености р потенцијална енергија је негативнија него на већој удаљености. С повећањем размака потенцијална енергија поприма мање негативну вредност, а на бесконачној удаљености износ јој падне на нулу. Заправо, релативно највећу вредност има потенцијална енергија на највећој удаљености; то је смисао негативног предзнака. У строгом значењу тело је слободно када се налази на неизмерној удаљености од Земље. С обзиром на то да Земља није сама у свемиру, већ је свемирско гравитационо поље сложено од многих појединачних, тело ће се увек налазити под њиховим утицајем. Зато је и питање слободе више практичко питање: на великим удаљеностима од Земље тело се налази у слободном стању. Однос гравитационе потенцијалне енергије и масе m, дакле израз - GM/r, зове гравитациони потенцијал.

Може се замислити поступак ослобађања тела у случају када је тело на почетку мировало на Земљи, а на крају мировало на практично бесконачној удаљености од Земље. Како је кинетичка енергија у таквом случају и на почетку и на крају поступка једнака нули, то ће тело морати премостити разлику потенцијалне енергије E_p која постоји између површине Земље и бесконачне удаљености. Промена енергије једнака је коначној вредности мање почетне вредности. Будући да се енергија не може ни створити нити изгубити (закон очувања енергије), треба је преузети из кинетичке енергије E_k, тело треба одаслати са Земље с неком почетном брзином v_o:

(E_{p}+E_{k})_{Z}=(E_{p}+E_{k})_{s}\,

{\frac {1}{2}}mv_{o}^{2}+{\frac {-GMm}{r}}=0+0

Тело се мора кренути са брзином ослобађања v_o:

v_{o}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}

Поступак се може одвијати и у супротном смеру. При слободном паду од бесконачности до даљине r разлика потенцијалне енергије прелази у кинетичку, и брзина v_o коју тело има зависи од удаљености r од центра привлачења масе M. То значи да би тело у слободном паду пало до неког положаја r с истом оном брзином с којом се с тог положаја у гравитационом пољу мора ослободити. Брзина ослобађања са Земље износи 11,2 km/s и назива се још другом космичком брзином. Ако се жели да се тело које већ кружи око масе M ослободи, требаће му до брзине ослобађања доделити мању енергију него кад је лежало на Земље. Брзину тела треба повећати од v_k до v_o, заправо кинетичкој енергији треба додати износ G M m / 2 r. Телу треба довести још толико кинетичке енергије колико кинетичке енергије већ има. На такав се начин поступа с свемирским летелицама које се отпремају на планете. Оне се најпре лансирају у путању око Земље, где је безваздушни простор, а онда се у одабраном тренутку поново пале ракетни мотори, ракета постиже брзину ослобађања и усмерава летилицу према циљу.

Кретање вештачких сателита

Вештачки сателити се лансирају у путање које имају различите ексцентрицитете. Брзина којом се крећу зависи од положаја на путањи. На већим удаљеностима од Земље брзина кружења v_k мања је од 7,9 km/s. На слици је неколико облика путање сателита који пролазе тачком која је на некој висини од површине Земље. Тачка најближа Земљи на тој путањи зове се перигеј, а тачка највеће удаљености апогеј. Путања C је кружница и сателит се креће са сталном брзином, с брзином кружења за ту даљину. Стаза D је елиптична. С приближавањем перигеју сателит постиже највећу брзину, која је већа од брзине кружења на том месту; да је једнака брзини кружења, сателит би се кретао кружницом. Елиптичну путању D има вештачки сателит који се креће брзином већом од брзине кружења, а мањом од брзине ослобађања.

По неким особинама кретање вештачких сателита разликује се од кретања природних сателита. Највећа је разлика у томе што је маса вештачких сателита сасвим занемарива према маси Земље. Осим Земље, на путању сателита утичу и Месец и Сунце. Зато се сателит креће у сложеном гравитационом пољу. Ни сама Земља нема једноставно гравитационо поље какво има тачкаста маса, јер је спљоштена на половима, односно испупчена на екватору, а осим тога, унутар већ сложеног облика, материја није једнолико распоређена. Масе су различито распоређене у подручју мора и копна. Већу густину имају слојеви тла који се налазе испод океана, мању слојеви испод копна. Путања сателита стално се поремећује, непрестано се мењају орбитални елементи сателита, те се та поремећења управо могу искористити да би се оценио облик Земље и распоред маса. Подаци добијени након анализе кретања сателита надопуњују податке добијене непосредним геодетским премерима Земље и гравиметријским мерењима (мерењима убрзања силе теже).

Други узрок који доводи до сталне промене путање Земљиног вештачког сателита је отпор Земљине атмосфере. Атмосфера постоји и на врло великим висинама, макар и ретка, па се њен утицај осети након неког времена. Јасно је да је утицај јачи у нижим деловима путање, док је сателит близу перигеја. Сателит губи енергију, апогеј се приближава Земљи и путање се заобљује. Елипса прелази у кружницу, а читава се путања смањује и приближава Земљи. Сателит тоне све дубље и спирално улази у гушће делове атмосфере где изгара, а каткада покоји његов део доспева и до тла.

Види још

Гравитација
Њутнови закони - основни закони класичне механике
Кеплерови закони
Галилејев закон
Исак Њутн

Референце

^ Isaac Newton: "In [experimental] philosophy particular propositions are inferred from the phenomena and afterwards rendered general by induction": "Principia", Book 3, General Scholium, at p.392 in Volume 2 of Andrew Motte's English translation published 1729.
^ Proposition 75, Theorem 35: p.956 - I.Bernard Cohen and Anne Whitman, translators: Isaac Newton, The Principia: Mathematical Principles of Natural Philosophy. Preceded by A Guide to Newton's Principia, by I.Bernard Cohen. University of California Press 1999. ISBN 978-0-520-08816-0. ISBN 978-0-520-08817-7
^ Vladis Vujnović : "Astronomija", Školska knjiga, 1989.
^ Kozmička brzina, [1] "Hrvatska enciklopedija", Leksikografski zavod Miroslav Krleža, www.enciklopedija.hr, 2014.

Спољашње везе

Feather & Hammer Drop on Moon на сајту YouTube
Newton‘s Law of Universal Gravitation Javascript calculator

[1] Isaac Newton: "In [experimental] philosophy particular propositions are inferred from the phenomena and afterwards rendered general by induction": "Principia", Book 3, General Scholium, at p.392 in Volume 2 of Andrew Motte's English translation published 1729.

[Newton1-2] Proposition 75, Theorem 35: p.956 - I.Bernard Cohen and Anne Whitman, translators: Isaac Newton, The Principia: Mathematical Principles of Natural Philosophy. Preceded by A Guide to Newton's Principia, by I.Bernard Cohen. University of California Press 1999. ISBN 978-0-520-08816-0. ISBN 978-0-520-08817-7

[3] Vladis Vujnović : "Astronomija", Školska knjiga, 1989.

[4] Kozmička brzina, [1] "Hrvatska enciklopedija", Leksikografski zavod Miroslav Krleža, www.enciklopedija.hr, 2014.

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Ред 1: / Ред 1: @@
-[[Датотека:NASA-JPL-Caltech - Double the Rubble (PIA11375) (pd).jpg|right|500px]]
+[[Датотека:NASA-JPL-Caltech - Double the Rubble (PIA11375) (pd).jpg|десно|500px]]
-[[Математичар]] и [[физичар]] [[Исак Њутн]] у периоду од [[1665|1665.]] до [[1685|1685.]], развио је своју теорију [[механика|механике]], засновану на [[убрзање|убрзању]], а не само на проучавању [[брзина|брзине]], како су то чинили [[Галилео Галилеј|Галилеј]] и [[Рене Декарт|Декарт]] пре њега. Кључна чињеница коју је Њутн први запазио је да је сила која делује на јабуку која пада са дрвета заправо иста сила која делује на Земљу да се окреће око Сунца. Из тог сазнања потекао је '''Њутнов закон гравитације''', тј. '''универзални закон гравитације''', који се убраја у четврти Њутнов закон, поред 3 [[Њутнови закони|основна закона класичне механике]].<ref>Isaac Newton: "In [experimental] philosophy particular propositions are inferred from the phenomena and afterwards rendered general by induction": "[[Philosophiae Naturalis Principia Mathematica|Principia]]", Book 3, General Scholium, at p.392 in Volume 2 of Andrew Motte's English translation published 1729.</ref> Универзални закон гравитације је формулисан у Њутновом делу -{''[[Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica]]''}-, које је прву пут било објављено 5. јула 1687. Кад је Њутн представио Књигу 1 необјављеног текста у априлу 1686. [[Royal Society|Краљевском друштву]], [[Robert Hooke|Роберт Хук]] је тврдио да је Њутн добио закон инверзног квадрата од њега.
+[[Математичар]] и [[физичар]] [[Исак Њутн]] у периоду од [[1665]]. до [[1685]], развио је своју теорију [[механика|механике]], засновану на [[убрзање|убрзању]], а не само на проучавању [[брзина|брзине]], како су то чинили [[Галилео Галилеј|Галилеј]] и [[Рене Декарт|Декарт]] пре њега. Кључна чињеница коју је Њутн први запазио је да је сила која делује на јабуку која пада са дрвета заправо иста сила која делује на Земљу да се окреће око Сунца. Из тог сазнања потекао је '''Њутнов закон гравитације''', тј. '''универзални закон гравитације''', који се убраја у четврти Њутнов закон, поред 3 [[Њутнови закони|основна закона класичне механике]].<ref>Isaac Newton: "In [experimental] philosophy particular propositions are inferred from the phenomena and afterwards rendered general by induction": "[[Philosophiae Naturalis Principia Mathematica|Principia]]", Book 3, General Scholium, at p.392 in Volume 2 of Andrew Motte's English translation published 1729.</ref> Универзални закон гравитације је формулисан у Њутновом делу -{''[[Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica]]''}-, које је прву пут било објављено 5. јула 1687. Кад је Њутн представио Књигу 1 необјављеног текста у априлу 1686. [[Royal Society|Краљевском друштву]], [[Robert Hooke|Роберт Хук]] је тврдио да је Њутн добио закон инверзног квадрата од њега.
-У данашњем језику, закон наводи да свака [[Point particle|тачка]] [[mass|масе]] привлачи сваку другу тачку масе са [[force|силом]] која делује дуж [[Line (mathematics)|линије]] која спаја тачке. Сила је [[Proportionality (mathematics)|пропорционална]] [[производ]]у две масе, и инверзно пропорционална [[Square (algebra)|квадрату]] растојања између њих.<ref name=Newton1>Proposition 75, Theorem 35: p.956 - I.Bernard Cohen and Anne Whitman, translators: [[Isaac Newton]], ''The Principia'': [[Mathematical Principles of Natural Philosophy]]. Preceded by ''A Guide to Newton's Principia'', by I.Bernard Cohen. University of California Press 1999 {{ISBN|0-520-08816-6}} {{ISBN|0-520-08817-4}}</ref>
+У данашњем језику, закон наводи да свака [[материјална тачка|тачка]] [[mass|масе]] привлачи сваку другу тачку масе са [[сила|силом]] која делује дуж [[Права (линија)|линије]] која спаја тачке. Сила је [[Proportionality (mathematics)|пропорционална]] [[производ]]у две масе, и инверзно пропорционална [[Квадрат (алгебра)|квадрату]] растојања између њих.<ref name="Newton1">Proposition 75, Theorem 35: p.956 - I.Bernard Cohen and Anne Whitman, translators: [[Isaac Newton]], ''The Principia'': [[Mathematical Principles of Natural Philosophy]]. Preceded by ''A Guide to Newton's Principia'', by I.Bernard Cohen. University of California Press 1999. {{ISBN|978-0-520-08816-0}}. {{ISBN|978-0-520-08817-7}}</ref>
 == Формулација закона ==
 <math>\vec{F}_{12}=-G\cdot\frac{m_1 m_2}{d^2}\vec{u}_{12}</math>[[Датотека:Gravity action-reaction.gif]]
-[[Датотека:NewtonsLawOfUniversalGravitation.svg|right|250px]]
+[[Датотека:NewtonsLawOfUniversalGravitation.svg|десно|250px]]
 :'''Гравитациона сила којом се привлаче тела 1 и 2 сразмерна је производу њихових маса <math>m_1</math> и <math>m_2</math>, а обрнуто> сразмерна квадрату њиховог растојања, <math>d^2</math>.'''
@@ Ред 31: / Ред 31: @@
 '''Гравитациона константа'''
-Сматрајући да је сила гравитације пропорционална количини материје присутној у телу која делују овом силом (двоструко веће тело делује двоструко већом силом), пертпоставио је да је сила пропорционална величини <math>m_G</math> коју је назвао ''гравитациона маса'', пропорционална количини материје у телу и његовој способности да врши привлачно деловање.
+Сматрајући да је сила гравитације пропорционална количини материје присутној у телу која делују овом силом (двоструко веће тело делује двоструко већом силом), претпоставио је да је сила пропорционална величини <math>m_G</math> коју је назвао ''гравитациона маса'', пропорционална количини материје у телу и његовој способности да врши привлачно деловање.
 '''Трећи Њутнов закон:'''
@@ Ред 50: / Ред 49: @@
 Одавде добијамо и коначни запис ''Универзалног закона гравитације'' у скаларном облику:
 :<math>F_{12}=G\cdot\frac{m_1 m_2}{d^2}</math>
 И у векторском облику:
 :<math>\vec{F}_{12}=-G\cdot\frac{m_1 m_2}{d^2}\vec{u}_{12}</math>
 === Пример ===
-[[Датотека:Earth and Super-Earth.jpg|right|400px]]
+[[Датотека:Earth and Super-Earth.jpg|десно|400px]]
 Наћи привлачну силу гравитације између планете Земље и Сунца и њен интензитет.
@@ Ред 64: / Ред 63: @@
 * удаљеност Земље од Сунца <math>r = 1.5 \cdot 10^{11} m </math>
 * маса Сунца <math>m_1 = 1.99 \cdot 10^{30} kg </math>
 * маса Земље <math>m_2 = 5.98 \cdot 10^{24} kg </math>
 ''Универзални закон гравитације'' гласи:
@@ Ред 86: / Ред 84: @@
 == Општост Универзалног закона гравитације ==
+[[Датотека:Kepler laws diagram.svg|мини|десно|300px|Слика приказује 3 [[Кеплерови закони|Кеплерова закона]] са две [[планетарна путања|планетарне путање]]:<br /> (1) Путање [[планет]]а су [[елипса|елипсе]], са [[жариште|жариштима]] ''ƒ''<sub>1</sub> и ''ƒ''<sub>2</sub> за прву планету и ''ƒ''<sub>1</sub> и ''ƒ''<sub>3</sub> за другу планету. [[Сунце]] је смештено у жаришту ''ƒ''<sub>1</sub>. <br /> (2) Два засенчена подручја ''A''<sub>1</sub> и ''A''<sub>2</sub> имају једнаке [[површина|површине]] и време за планету 1 да прекрије подручје ''A''<sub>1</sub> је једнако да прекрије подручје ''A''<sub>2</sub>. <br /> (3) Укупна [[опходно вријеме|опходна времена]] планета 1 и планета 2 имају однос -{''t''<sub>1</sub><sup>3/2</sup>&nbsp;:&nbsp;''t''<sub>2</sub><sup>3/2</sup>}-.]]
 Колико је ''Њутнов закон гравитације'' општији у односу на законе који су до тада постојали и који су били и експериментално потврђени, показује чињеница да се сви ти закони могу доказати из њега и да они представљају само неке од специјалних случајева тог закона.
@@ Ред 94: / Ред 94: @@
 === Галилејев закон ===
 {{главни чланак|Галилејев закон}}
-Њутнов закон гравитације може да искаже [[Галилејев закон]]. Aко се са <math>d</math> означи полупречник земље, а <math>m_T=</math> је маса Земље, добија се да је <math>g=G\cdot\frac{m_T}{d^2}=9,81</math> m·s<sup>-2</sup>.
+Њутнов закон гравитације може да искаже [[Галилејев закон]]. Ако се са <math>d</math> означи полупречник земље, а <math>m_T=</math> је маса Земље, добија се да је <math>g=G\cdot\frac{m_T}{d^2}=9,81</math> m·s<sup>−2</sup>.
 == Примена ==
-[[Датотека:Gravitation.gif|190px|thumb|Понашање сателита и пројектила, из разлога што подлежу ''Универзалном закону гравитације'']]
+[[Датотека:Gravitation.gif|190px|лево|мини|Понашање сателита и пројектила, пошто подлежу ''Универзалном закону гравитације'']]
 Као и свака теорија, и ''Универзални закон гравитације'' је од хипотезе експериментално потврђен.
@@ Ред 103: / Ред 103: @@
 == Закон гравитације и кретања тела ==
+[[Датотека:Gravity gravita grave.gif|мини|десно|300px|Уобичајено је да се [[слободни пад]] узима као пример [[Једнолико убрзано кретање по правцу|униформног убрзаног кретања]] (кретања са сталним убрзањем). Притом се претпоставља да нема отпора [[ваздух]]а или [[трење|трења]].]]
-{{рут}}
-Појаве у [[природа|природи]] тумаче се међуделовањима (интеракцијама). Њутнов закон гравитације је у ствари [[математика|математички]] опис [[Гравитација|гравитационе силе]] или гравитационе интеракције - [[сила|силе]] којом се узајамно привлаче две [[маса|масе]]. Док су [[Кеплерови закони]] описивали начин кретања [[планет]]а, Њутнов закон гравитације је помогао да се растумачи зашто се планете крећу баш тако како се крећу. Њутн је закон извео на темељу практичног искуства и теоријских разматрања тадашње [[физика|физике]] и [[астрономија|астрономије]], укључивши Кеплерове законе. Обратно, математичким се путем из Њутновог закона гравитације могу извести Кеплерови закони. Али не само то. У природи има кретања која су много сложенија од кретањаа поједине планете око Сунца. Већ је кретање [[планетоид]]а и [[комет]]а сложеније од кретања планета. Исто је тако сложеније кретање мноштва [[звезда]] у једном скупу звезда, или звезда једне [[галаксија|галаксије]], а сва су она условљена Њутновом силом. Стога је Њутнов закон гравитације много општији и и важи у целом свемиру.
-<!--
-Svojstva te гравитационе sile su sledeća. Ona je uzajamna, privlačna i centralna sila. Uzajamna je zato što jednakom silom kojom tijelo mase ''M'' privlači masu ''m'', privlači i tijelo mase ''m'' masu ''M''. Centralna je zato što je usmjerena od jedne mase prema drugoj. Nadalje, sila je razmjerna masi svakog tijela posebno, a njezina veličina opada obrnuto razmjerno s kvadratom udaljenosti. Ako se razmak tijela udvostruči, sila se smanji četiri puta; ako se utrostruči, smanji se devet puta.
+[[Датотека:Uniform circular motion.svg|мини|десно|300px|[[Кружно кретање]] је састављено од две компоненте, од кретања сталном [[брзина|брзином]] по правцу и од униформно убрзаног кретања са смером према средишту кружења.]]
-Konstanta ''G'' (univerzalna [[gravitacijska konstanta]]) je konstanta razmjernosti i prema mjerenjima iznosi otprilike 6.67428 ∙ 10<sup>−11</sup> N m<sup>2</sup> kg<sup>−2</sup>. Tijela obično predstavljamo malim kuglama, no zakon treba primjenjivati na [[Točka (geometrija)|točkasta tijela]] (tijela sažeta u materijalne točke). Ako tijela nisu točkasta, već proširena, tada je ukupna sila između njih jednaka [[rezultanta|zbroju svih sila]] između svake dvije materijalne točke. Stoga gravitacijsko polje oko stvarnog (realnog) tijela znade biti veoma složeno.<ref> [[Vladis Vujnović]] : "Astronomija", Školska knjiga, 1989. </ref>
+[[Датотека:ConstellationGPS.gif|мини|десно|300px|Визуелни пример кретања [[Вештачки сателит|вештачких сателита]] [[Global Positioning System|ГПС-а]] заједно са [[Земљина ротација|Земљином ротацијом]].]]
+[[Датотека:STS120LaunchHiRes.jpg|мини|десно|300px|За [[Земља|Земљу]] (-{''M'' = 6 ∙10<sup>24</sup> [[kilogram|kg]]}-) '''брзина кружења''' или [[орбитална брзина]] на самој површини (-{''r'' = 6 378 [[metar|km]]}-) износила би 7 910 [[Metar u sekundi|-{m/s}-]] или 7,91 -{km/s}-. Та се брзина зове и '''првом космичком брзином'''. ]]
+[[Датотека:Newton Cannon.svg|мини|десно|300px|'''Њутнова замишљена топовска кугла''': уколико би [[топ]] на некој узвисини испалио куглу с брзином мањом од [[орбитална брзина|брзине кружења]] (-{''v<sub>k</sub>'' = 7.9 km/s}-) она би имала путању -{A}- или -{B}- и пала би на [[Земља|Земљу]]; уколико би кугла ишла брзином кружења она би имала кружну путању -{C}- и кретала би се сталном брзином; уколико би кугла кренула брзином већом од брзине кружења она би путовала по елипси -{D}-; уколико би кугла кренула брзином већом од [[брзина ослобађања|брзине ослобађања]] (-{''v<sub>o</sub>'' = 11,2 km/s}-) она би путовала по [[хипербола|хиперболи]] -{E}- и напустила би Земљу.]]
+Појаве у [[природа|природи]] тумаче се међуделовањима (интеракцијама). Њутнов закон гравитације је [[математика|математички]] опис [[Гравитација|гравитационе силе]] или гравитационе интеракције - [[сила|силе]] којом се узајамно привлаче две [[маса|масе]]. Док су [[Кеплерови закони]] описивали начин кретања [[планет]]а, Њутнов закон гравитације је помогао да се растумачи зашто се планете крећу баш тако како се крећу. Њутн је закон извео на темељу практичног искуства и теоријских разматрања тадашње [[физика|физике]] и [[астрономија|астрономије]], укључивши Кеплерове законе. Обратно, математичким се путем из Њутновог закона гравитације могу извести Кеплерови закони. Али не само то. У природи има кретања која су много сложенија од кретања поједине планете око Сунца. Већ је кретање [[планетоид]]а и [[комет]]а сложеније од кретања планета. Исто је тако сложеније кретање мноштва [[звезда]] у једном скупу звезда, или звезда једне [[галаксија|галаксије]], а сва су она условљена Њутновом силом. Стога је Њутнов закон гравитације много општији и и важи у целом свемиру.
+Својства те гравитационе силе су следећа. Она је узајамна, привлачна и централна сила. Узајамна је зато што једнаком силом којом тело масе -{''M''}- привлачи масу -{''m''}-, привлачи и тело масе -{''m''}- масу -{''M''}-. Централна је зато што је усмерена од једне масе према другој. Надаље, сила је сразмерна маси сваког тела посебно, а њена величина опада обрнуто сразмерно с квадратом удаљености. Ако се размак тела удвостручи, сила се смањи четири пута; ако се утростручи, смањи се девет пута.
+Константа -{''G''}- (универзална [[гравитациона константа]]) је константа пропорционалности и према мерењима износи око 6,67428 ∙ 10<sup>−11</sup> -{N m² kg}-<sup>−2</sup>. Тела обично се представљају малим куглама. Закон треба примењивати на [[Тачка (геометрија)|тачкаста тела]] (тела сажета у материјалне тачке). Ако тела нису тачкаста, већ проширена, тада је укупна сила између њих једнака [[резултанта|збиру свих сила]] између сваке две материјалне тачке. Стога гравитационо поље око стварног (реалног) тела може бити веома сложено.<ref>[[Vladis Vujnović]] : "Astronomija", Školska knjiga, 1989.</ref>
 === Слободни пад ===
+[[Гравитација|Гравитациона сила]] је узрок [[кретање|кретања]] и промјена стања кретања. У пољу гравитације тела се крећу [[Убрзање|убрзано]]. Зато се у убрзању тела одражавају својства гравитационе силе. [[Убрзање]] или акцелерација неког малог тела масе -{''m''}- које се налази у пољу [[сфера|сферног]] тела масе -{''M''}-, према [[Њутнови закони|Другом Њутновом закону кретања]] или '''темељном закону кретања''' гласи:
-[[Gravitacija|Gravitacijska sila]] uzrok je [[Gibanje|gibanjima]] i promjeni stanja gibanja. U polju gravitacije tijela se gibaju [[Ubrzanje|ubrzano]]. Zato se u ubrzanju tijela odražavaju svojstva gravitacijske sile. [[Ubrzanje]] ili akceleracija nekog malenog tijela mase ''m'' koje se nalazi u polju [[sfera|sfernog]] tijela mase ''M'', prema [[Newtonovi zakoni gibanja|2. Newtonom zakonu gibanja]] ili '''temeljnom zakonu gibanja''' glasi:
 ::<math>F=m\cdot g</math>
+Константа пропорционалности између силе и убрзања је [[маса]] убрзаваног тела. На тело масе -{''m''}- делује Њутнова [[сила]], јер се оно налази у гравитационом пољу које окружује масу -{''M''}-. Изједначавањем горњих израза добија се:
-Konstanta razmjernosti između sile i ubrzanja je [[masa]] ubrzavanog tijela. Na tijelo mase ''m'' djeluje Newtonova [[sila]], jer se ono nalazi u gravitacijskom polju koje okružuje masu ''M''. Izjednačavanjem gornjih izraza dobiva se:
 ::<math>g = G \frac{M m}{r^2}\ </math>
+То је убрзање (акцелерација) тела масе -{''m''}- у гравитационом пољу масе -{''M''}-, на растојању -{''r''}- од масе -{''M''}-. Убрзање или акцелерација има уједно димензију јачине гравитационог поља; јачина гравитационог поља је однос гравитационе силе и убрзаване масе. Уобичајено је да се [[слободни пад]] (или кретање косином) узима као пример [[Једнолико убрзано кретање по правцу|униформног убрзаног кретања]] (кретања са сталним убрзањем). Притом се претпоставља да нема отпора ваздуха или [[трење|трења]]. Горњи математички израз треба узимати с опрезом. Ако и нема отпора, тело ће се кретати сталним убрзањем само на веома малом делу пута, на оном делу на којему се -{''r''}- врло мало мења. Према томе, слободни пад се може узимати као пример униформног убрзаног кретања једино код малих висина пада. Ако је убрзање стално, пут -{''s''}- преваљен у смеру убрзања за време -{''t''}- једнак је:
-To je ubrzanje (akceleracija) tijela mase ''m'' u gravitacijskom polju mase ''M'', na daljini ''r'' od mase ''M''. Ubrzanje ili akceleracija ima ujedno dimenziju jakosti gravitacijskog polja; jakost gravitacijskog polja omjer je gravitacijske sile i ubrzavane mase. Uobičajeno je da se [[slobodni pad]] (ili gibanje kosinom) uzima kao primjer [[Jednoliko ubrzano gibanje po pravcu|jednolikog ubrzanog gibanja]] (gibanja sa stalnim ubrzanjem). Pritom se pretpostavlja da nema otpora zraka ili [[trenje|trenja]]. No gornji matematički izraz treba uzimati s oprezom. Ako i nema otpora, tijelo će se gibati stalnim ubrzanjem samo na veoma malom dijelu puta, na onom dijelu na kojemu se ''r'' vrlo malo mijenja. Prema tome, slobodni pad se može uzimati kao primjer jednoliko ubrzanog gibanja jedino kod malih visina pada. Ako je ubrzanje stalno, put ''s'' prevaljen u smjeru ubrzanja za vrijeme ''t'' jednak je:
 ::<math> s ={g \over 2} \cdot t^2 </math>
 === Кружење сателита ===
+Исак Њутн је схватио да је [[кружно кретање]] састављено од две компоненте, од кретања [[Једнолико праволинијско кретање|сталном брзином по правцу]] и од униформно убрзаног кретања са смером према средишту кружења. Кад не би било [[гравитација|привлачења]], тело би униформном брзином -{''v<sub>k</sub>''}- одмицало по правцу и за време -{''t''}- прешло пут -{''v<sub>k</sub>∙t''}-. Исто тако, због гравитационог привлачења, тело пада према центру и у том паду, у време -{''t''}-, превали пут ''-{gt}-<sup>2</sup>/2''. Ако тело ипак остаје на [[кружница|кружници]], мора бити да се оно током времена -{''t''}- за толико одмакне од кружнице за колико уједно и падне на кружницу. Тај процес присутан је на сваком месту кружнице, на сваком ма како малом одсечку пута. Ако би брзина кретања -{''v''}- била мања од [[Орбитална брзина|брзине кружења]] -{''v<sub>k</sub>''}-, то тело би због слободног пада пришло центру Земље више него што би се у једноликом кретању по правцу од ње одмакнуло, па би тако прелазило с кружнице већег [[полупречник]]а на кружницу мањег полупречника, те би у спирали напокон пало на Земљу.
-Isaac Newton je shvatio da je [[kružno gibanje]] sastavljeno od dviju komponenti, od gibanja [[Jednoliko pravocrtno gibanje|stalnom brzinom po pravcu]] i od [[Jednoliko ubrzano gibanje po pravcu|jednoliko ubrzanog gibanja]] sa smjerom prema središtu kruženja. Kad ne bi bilo [[gravitacija|privlačenja]], tijelo bi jednolikom brzinom ''v<sub>k</sub>'' odmicalo po pravcu i za vrijeme ''t'' prešlo put ''v<sub>k</sub>∙t''. No istodobno, zbog gravitacijskog privlačenja, tijelo pada prema centru i u tom padu, u vrijeme ''t'', prevali put ''gt<sup>2</sup>/2''. Ako tijelo ipak ostaje na [[kružnica|kružnici]], mora biti da ono u vrijeme ''t'' za toliko odmakne od kružnice za koliko ujedno i padne na kružnicu! Taj proces prisutan je na svakom mjestu kružnice, na svakom ma kako malom odsječku puta. Ako bi brzina gibanja ''v'' bila manja od [[Orbitalna brzina|brzine kruženja]] ''v<sub>k</sub>'', to tijelo bi zbog slobodnog pada prišlo centru Zemlje više nego što bi se u jednolikom gibanju po pravcu od nje odmaknulo, pa bi tako prelazilo s kružnice većeg [[polumjer]]a na kružnicu manjeg polumjera, te bi u spirali napokon palo na Zemlju.
+Присили ли се неко тело да се на вртешци креће брзином -{''v''}-, тада оно у смеру према центру има убрзање -{''g''}- ([[Центрифугална и центрипетална сила|центрипетално убрзање]]). Између брзине кретања -{''v''}- по кружној стази полупречника -{''r''}- и центрипеталне акцелерације -{''g''}- постоји веза:
-Prisilimo li neko tijelo da se na vrtuljku giba brzinom ''v'', tada ono u smjeru prema centru ima ubrzanje ''g'' ([[Centrifugalna i centripetalna sila|centripetalno ubrzanje]]). Između brzine gibanja ''v'' po kružnoj stazi polumjera ''r'' i centripetalne akceleracije ''g'' postoji veza:
 ::<math> g = \frac{v^2}{r} </math>
+Креће ли се тело по кружници и појача ли се центрипетална сила, порашће и убрзање и брзина. Ако је сила привлачења гравитациона, и у центру кретања се налази маса -{''M''}-, тада је центрипетално убрзање потпуно одређено и једнако изразу:
-Giba li se tijelo po kružnici i pojačamo li centripetalnu silu, porast će i ubrzanje i brzina. No ako je sila privlačenja gravitacijska, a u centru gibanja nalazi se masa ''M'', tada je centripetalna akceleracija posve određena i jednaka izrazu:
 ::<math>g = G \frac{M}{r^2}\ </math>
+Тим условом се за дати полупречник стазе од свих могућих центрипеталних убрзања одабира само једно убрзање (акцелерација), а њој одговара само једна, потпуно одређена брзина. Изједначавањем горња два израза, добија се:
-Tim uvjetom se za dani polumjer staze od svih mogućih centripetalnih ubrzanja odabire samo jedno ubrzanje (akceleracija), a njoj odgovara samo jedna, posve određena brzina. Izjednačavanjem gornjih dvaju izraza, dobivamo:
 ::<math>v = v_k = \sqrt{\frac{GM}{r}} </math>
-Za [[Zemlja|Zemlju]] (''M'' = 6 ∙10<sup>24</sup> [[kilogram|kg]]) '''brzina kruženja''' ili [[orbitalna brzina]] na samoj površini (''r'' = 6 378 [[metar|km]]) iznosila bi 7 910 [[Metar u sekundi|m/s]] ili 7.91 km/s. Ta se brzina zove i '''prvom kozmičkom brzinom'''. Na svakoj drugoj razini iznad površine Zemlje brzina kruženja ima drugu vrijednost. <ref> '''kozmička brzina''', [http://www.enciklopedija.hr/Natuknica.aspx?ID=33595] "Hrvatska enciklopedija", Leksikografski zavod Miroslav Krleža, www.enciklopedija.hr, 2014.</ref>
+За [[Земља|Земљу]] (-{''M''}- = 6 ∙10<sup>24</sup> [[kilogram|-{k}-g]]) '''брзина кружења''' или [[орбитална брзина]] на самој површини (-{''r'' = 6 378 [[metar|km]]}-) износила би 7 910 [[Metar u sekundi|-{m/s}-]] или 7,91 -{km/s}-. Та се брзина зове и '''првом космичком брзином'''. На сваком другом нивоу изнад површине Земље брзина кружења има другу вредност.<ref>''Kozmička brzina'', [http://www.enciklopedija.hr/Natuknica.aspx?ID=33595] "Hrvatska enciklopedija", Leksikografski zavod Miroslav Krleža, www.enciklopedija.hr, 2014.</ref>
 === Ослобађање сателита ===
-Što se događa kada se brzina satelita poveća iznad [[orbitalna brzina|brzine kruženja]] ''v<sub>k</sub>''. Svaka veća brzina dovest će do izduženja staze ([[Putanja|putanje]]). [[Kružnica]] prelazi u elipsu, a [[elipsa]] malog ekscentriciteta prelazi u elipsu većeg [[ekscentricitet]]a. Kada staza postane [[parabola]], tijelo će napustiti Zemljinu blizinu i slobodno odletjeti u međuplanetarni prostor. Tada imamo [[Brzina oslobađanja|brzinu oslobađanja]] ''v<sub>o</sub>'' ili '''drugu kozmičku brzinu'''. Tijela mogu biti međusobno vezana, ili slobodna. Tijelo je vezano i čini jedan fizički sustav sustav sa Zemljom kada leži na njoj ili se giba oko nje zatvorenom putanjom. Općenito, tijelo ima i [[kinetička energija|kinetičku energiju]] i gravitacijsku [[potencijalna energija|potencijalnu energiju]] (energiju položaja u gravitacijskom polju). Potencijalna energija ''E<sub>p</sub>'' mase ''m'' u okolini mase ''M'' jednaka je:
+Када се брзина сателита повећа изнад [[орбитална брзина|брзине кружења]] -{''v<sub>k</sub>''}- долази до издужења стазе ([[Путања|путање]]). [[Кружница]] прелази у елипсу, а [[елипса]] малог ексцентрицитета прелази у елипсу већег [[ексцентрицитет]]а. Када стаза постане [[парабола]], тело ће напустити Земљину близину и слободно одлетјети у међупланетарни простор. То је [[Брзина ослобађања|брзину ослобађања]] -{''v<sub>o</sub>''}- или '''друга космичка брзина'''. Тела могу бити међусобно везана, или слободна. Тело је везано и чини један физички систем са Земљом када лежи на њој или се креће око ње затвореном путањом. Уопштено, тело има и [[кинетичка енергија|кинетичку енергију]] и гравитациону [[потенцијална енергија|потенцијалну енергију]] (енергију положаја у гравитационом пољу). Потенцијална енергија -{''E<sub>p</sub>''}- масе -{''m''}- у околини масе -{''M''}- једнака је:
 :<math>E_p = \frac{-GMm}{r} </math>
+Договором је потенцијалној енергији додељен негативан предзнак. На мањој удаљености -{''р''}- потенцијална енергија је негативнија него на већој удаљености. С повећањем размака потенцијална енергија поприма мање негативну вредност, а на бесконачној удаљености износ јој падне на нулу. Заправо, релативно највећу вредност има потенцијална енергија на највећој удаљености; то је смисао негативног предзнака. У строгом значењу тело је слободно када се налази на неизмерној удаљености од Земље. С обзиром на то да [[Земља]] није сама у [[свемир]]у, већ је свемирско гравитационо поље сложено од многих појединачних, тело ће се увек налазити под њиховим утицајем. Зато је и питање слободе више практичко питање: на великим удаљеностима од Земље тело се налази у слободном стању. Однос гравитационе потенцијалне енергије и масе -{''m''}-, дакле израз -{''- GM/r''}-, зове '''гравитациони потенцијал'''.
-Dogovorom je potencijalnoj energiji pridijeljen negativan predznak. Vidimo da je na manjoj udaljenosti ''r'' potencijalna energija negativnija nego na većoj udaljenosti. S povećanjem razmaka potencijalna energija poprima manje negativnu vrijednost, a na beskonačnoj udaljenosti iznos joj padne na nulu. U stvari, relativno najveću vrijednost ima potencijalna energija na najvećoj udaljenosti; to je smisao negativnog predznaka. U strogom značenju tijelo je slobodno kada se nalazi na neizmjernoj udaljenosti od Zemlje. S obzirom na to da [[Zemlja]] nije sama u [[svemir]]u, već je svemirsko gravitacijsko polje složeno od mnogih pojedinačnih, tijelo će se uvijek nalaziti pod njihovim utjecajem. Zato je i pitanje slobode više praktičko pitanje: na velikim udaljenostima od Zemlje tijelo se nalazi u slobodnom stanju. Omjer gravitacijske potencijalne energije i mase ''m'', dakle izraz ''- GM/r'', zove '''gravitacijski potencijal'''.
+Може се замислити поступак ослобађања тела у случају када је тело на почетку мировало на Земљи, а на крају мировало на практично бесконачној удаљености од Земље. Како је [[кинетичка енергија]] у таквом случају и на почетку и на крају поступка једнака нули, то ће тело морати премостити разлику потенцијалне енергије -{''E<sub>p</sub>''}- која постоји између површине Земље и бесконачне удаљености. Промена енергије једнака је коначној вредности мање почетне вредности. Будући да се енергија не може ни створити нити изгубити ([[закон очувања енергије]]), треба је преузети из [[кинетичка енергија|кинетичке енергије]] -{''E<sub>k</sub>''}-, тело треба одаслати са Земље с неком почетном брзином -{''v<sub>o</sub>''}-:
-Zamislimo postupak oslobađanja tijela u slučaju kada je tijelo na početku mirovalo na Zemlji, a na kraju mirovalo na praktički beskonačnoj udaljenosti od Zemlje. Kako je [[kinetička energija]] u takvom slučaju i na početku i na kraju postupka jednaka nuli, to će tijelo morati premostiti razliku potencijalne energije ''E<sub>p</sub>'' koja postoji između površine Zemlje i beskonačne udaljenosti. Promjena energije jednaka je konačnoj vrijednosti manje početna vrijednost. Budući da se energija ne može ni stvoriti niti izgubiti ([[zakon očuvanja energije]]), treba je preuzeti iz [[kinetička energija|kinetičke energije]] ''E<sub>k</sub>'', tijelo treba odaslati sa Zemlje s nekom početnom brzinom ''v<sub>o</sub>'':
 ::<math>(E_p + E_k)_Z = (E_p + E_k)_s \,</math>
@@ Ред 153: / Ред 163: @@
 ::<math>\frac{1}{2}mv_o^2 + \frac{-GMm}{r} = 0 + 0</math>
-Tijelo mora krenuti s [[Brzina oslobađanja|brzinom oslobađanja]] ''v<sub>o</sub>'':
+Тело се мора кренути са [[Брзина ослобађања|брзином ослобађања]] -{''v<sub>o</sub>''}-:
 :<math>v_o = \sqrt{\frac{2GM}{r}}</math>
+Поступак се може одвијати и у супротном смеру. При слободном паду од бесконачности до даљине -{''r''}- разлика потенцијалне енергије прелази у кинетичку, и брзина -{''v<sub>o</sub>''}- коју тело има зависи од удаљености -{''r''}- од центра привлачења масе -{''M''}-. То значи да би тело у слободном паду пало до неког положаја -{''r''}- с истом оном брзином с којом се с тог положаја у гравитационом пољу мора ослободити. Брзина ослобађања са Земље износи 11,2 -{km/s}- и назива се још '''другом космичком брзином'''. Ако се жели да се тело које већ кружи око масе -{''M''}- ослободи, требаће му до брзине ослобађања доделити мању енергију него кад је лежало на Земље. Брзину тела треба повећати од -{''v<sub>k</sub>''}- до -{''v<sub>o</sub>''}-, заправо кинетичкој енергији треба додати износ -{''G M m / 2 r''}-. Телу треба довести још толико кинетичке енергије колико кинетичке енергије већ има. На такав се начин поступа с [[Свемирске летелице|свемирским летелицама]] које се отпремају на планете. Оне се најпре лансирају у путању око Земље, где је безваздушни простор, а онда се у одабраном тренутку поново пале ракетни мотори, [[ракета]] постиже брзину ослобађања и усмерава летилицу према циљу.
-Postupak se može odvijati i u suprotnom smjeru. Pri slobodnom padu od beskonačnosti do daljine ''r'' razlika potencijalne energije prelazi u kinetičku, i brzina ''v<sub>o</sub>'' koju tijelo ima ovisi o udaljenosti ''r'' od centra privlačenja mase ''M''. To znači da bi tijelo u slobodnom padu palo do nekog položaja ''r'' s istom onom brzinom s kojom se s tog položaja u gravitacijskom polju mora osloboditi. Brzina oslobađanja sa Zemlje iznosi 11.2 km/s i naziva se još '''drugom kozmičkom brzinom'''. Želimo li tijelo koje već kruži oko mase ''M'' osloboditi, trebat će mu do brzine oslobađanja dodijeliti manju energiju nego kad je ležalo na Zemlje. Brzinu tijela treba povećati od ''v<sub>k</sub>'' do ''v<sub>o</sub>'', ustvari kinetičkoj energiji treba dodati iznos ''G M m / 2 r''; dakle, tijelu treba dovesti još toliko kinetičke energije koliko kinetičke energije već ima. Na takav se način postupa s [[Svemirske letjelice|svemirskim letjelicama]] koje se otpremaju na planete. One se najprije lansiraju u putanju oko Zemlje, gdje je bezzračni prostor, a onda se u odabranom trenutku ponovo pale raketni motori, [[raketa]] postiže brzinu oslobađanja i usmjeruje letjelicu prema cilju.
 === Кретање вештачких сателита ===
-[[Umjetni satelit]]i se lansiraju u putanje koje imaju različite [[ekscentricitet]]e. [[Brzina]] kojom se gibaju ovisi o položaju na [[putanja|putanji]]. Na većim udaljenostima od Zemlje [[orbitalna brzina|brzina kruženja]] ''v<sub>k</sub>'' manja je od 7.9 km/s. Na slici je nekoliko oblika putanje satelita koji prolaze točkom koja je na nekoj visini od površini Zemlje. Točka najbliža Zemlji na toj putanji zove se [[perigej]], a točka najveće udaljenosti [[apogej]]. Putanja C je [[kružnica]] i satelit se giba sa stalnom brzinom, s brzinom kruženja za tu daljinu. Staza D je [[elipsa|eliptična]]. S približavanjem perigeju satelit postiže najveću brzinu, koja je veća od brzine kruženja na tom mjestu; da je jednaka brzini kruženja, satelit bi se gibao kružnicom. Eliptičnu putanju D ima umjetni satelit koji se giba brzinom većom od brzine kruženja, a manjom od brzine oslobađanja.
+[[Вештачки сателит]]и се лансирају у путање које имају различите [[ексцентрицитет]]е. [[Брзина]] којом се крећу зависи од положаја на [[путања|путањи]]. На већим удаљеностима од Земље [[орбитална брзина|брзина кружења]] -{''v<sub>k</sub>''}- мања је од 7,9 -{km/s}-. На слици је неколико облика путање сателита који пролазе тачком која је на некој висини од површине Земље. Тачка најближа Земљи на тој путањи зове се [[перигеј]], а тачка највеће удаљености [[апогеј]]. Путања -{C}- је [[кружница]] и сателит се креће са сталном брзином, с брзином кружења за ту даљину. Стаза -{D}- је [[елипса|елиптична]]. С приближавањем перигеју сателит постиже највећу брзину, која је већа од брзине кружења на том месту; да је једнака брзини кружења, сателит би се кретао кружницом. Елиптичну путању -{D}- има вештачки сателит који се креће брзином већом од брзине кружења, а мањом од брзине ослобађања.
-Po nekim osobinama gibanje umjetnih satelita razlikuje se od gibanja prirodnih satelita. Najveća je razlika u tome što je [[masa]] umjetnih satelita sasvim zanemariva prema masi Zemlje. Osim Zemlje, na putanju satelita utječu i [[Mjesec]] i [[Sunce]]. Zato se satelit giba u složenom gravitacijskom polju. Ni sama Zemlja nema jednostavno gravitacijsko polje kakvo ima točkasta masa jer je spljoštena na polovima, odnosno ispupčena na ekvatoru, a osim toga, unutar već složenog oblika, [[materija]] nije jednoliko raspoređena. Mase su različito raspoređene u području [[more|mora]] i [[kopno|kopna]]. Veću [[gustoća|gustoću]] imaju slojevi tla koji se nalaze ispod [[ocean]]a, manju slojevi ispod kopna. Putanja satelita stalno se poremećuje, neprestano se mijenjaju orbitalni elementi satelita, te se ta poremećenja upravo dadu iskoristiti da bi se ocijenio oblik Zemlje i raspored masa. Podaci dobiveni nakon analize gibanja satelita nadopunjuju podatke dobivene neposrednim [[Geodetsko mjerenje|geodetskim premjerima]] Zemlje i gravimetrijskim mjerenjima (mjerenjima ubrzanja [[sila teže|sile teže]]).
+По неким особинама кретање вештачких сателита разликује се од кретања природних сателита. Највећа је разлика у томе што је [[маса]] вештачких сателита сасвим занемарива према маси Земље. Осим Земље, на путању сателита утичу и [[Месец]] и [[Сунце]]. Зато се сателит креће у сложеном гравитационом пољу. Ни сама Земља нема једноставно гравитационо поље какво има тачкаста маса, јер је спљоштена на половима, односно испупчена на екватору, а осим тога, унутар већ сложеног облика, [[материја]] није једнолико распоређена. Масе су различито распоређене у подручју [[море|мора]] и [[копно|копна]]. Већу [[густина|густину]] имају слојеви тла који се налазе испод [[океан]]а, мању слојеви испод копна. Путања сателита стално се поремећује, непрестано се мењају орбитални елементи сателита, те се та поремећења управо могу искористити да би се оценио облик Земље и распоред маса. Подаци добијени након анализе кретања сателита надопуњују податке добијене непосредним [[Геодетско мерење|геодетским премерима]] Земље и гравиметријским мерењима (мерењима убрзања [[сила теже|силе теже]]).
+Други узрок који доводи до сталне промене путање Земљиног вештачког сателита је отпор [[Земљина атмосфера|Земљине атмосфере]]. Атмосфера постоји и на врло великим висинама, макар и ретка, па се њен утицај осети након неког времена. Јасно је да је утицај јачи у нижим деловима путање, док је сателит близу перигеја. Сателит губи енергију, апогеј се приближава Земљи и путање се заобљује. Елипса прелази у кружницу, а читава се путања смањује и приближава Земљи. Сателит тоне све дубље и спирално улази у гушће делове атмосфере где изгара, а каткада покоји његов део доспева и до тла.
-Drugi uzrok koji dovodi do stalne promjene putanje Zemljina umjetnog satelita je otpor [[Zemljina atmosfera|Zemljine atmosfere]]. Atmosfera postoji i na vrlo velikim visinama, makar i rijetka, pa se njezin utjecaj osjeti nakon nekog vremena. Jasno je da je utjecaj jači u nižim dijelovima putanje, dok je satelit blizu perigeja. Satelit gubi energiju, apogej se približava Zemlji i putanje se zaobljuje. Elipsa prelazi u kružnicu, a čitava se putanja smanjuje i približava Zemlji. Satelit tone sve dublje i spiralno ulazi u gušće dijelove atmosfere gdje izgara, a katkada pokoji njegov dio dospijeva i do tla.
--->
 == Види још ==
 * [[Гравитација]]
@@ Ред 174: / Ред 185: @@
 == Референце ==
-{{Reflist|}}
+{{reflist|30em}}
 == Спољашње везе ==
+{{Commonscat|Gravitation}}
 * {{YouTube |5C5_dOEyAfk |Feather & Hammer Drop on Moon}}
 * -{[https://web.archive.org/web/20090817212723/http://www.pythia.com.ar/?id=gravlaw Newton‘s Law of Universal Gravitation Javascript calculator]}-
+{{нормативна контрола}}
-{{Authority control}}
 [[Категорија:Физика]]
+[[Категорија:Исак Њутн]]

Нормативна контрола
Државне	Немачка Јапан
Остале	Енциклопедија Британика