Универзални закон гравитације — разлика између измена

Садржај обрисан Садржај додат

Инлајн

Верзија на датум 3. јануар 2019. у 07:21

Математичар и физичар Исак Њутн у периоду од 1665. до 1685., развио је своју теорију механике, засновану на убрзању, а не само на проучавању брзине, како су то чинили Галилеј и Декарт пре њега. Кључна чињеница коју је Њутн први запазио је да је сила која делује на јабуку која пада са дрвета заправо иста сила која делује на Земљу да се окреће око Сунца. Из тог сазнања потекао је Њутнов закон гравитације, тј. универзални закон гравитације, који се убраја у четврти Њутнов закон, поред 3 основна закона класичне механике.^[1] Универзални закон гравитације је формулисан у Њутновом делу Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, које је прву пут било објављено 5. јула 1687. Кад је Њутн представио Књигу 1 необјављеног текста у априлу 1686. Краљевском друштву, Роберт Хук је тврдио да је Њутн добио закон инверзног квадрата од њега.

У данашњем језику, закон наводи да свака тачка масе привлачи сваку другу тачку масе са силом која делује дуж линије која спаја тачке. Сила је пропорционална производу две масе, и инверзно пропорционална квадрату растојања између њих.^[2]

Формулација закона

${\vec {F}}_{12}=-G\cdot {\frac {m_{1}m_{2}}{d^{2}}}{\vec {u}}_{12}$

Гравитациона сила којом се привлаче тела 1 и 2 сразмерна је производу њихових маса $m_{1}$ и $m_{2}$ , а обрнуто> сразмерна квадрату њиховог растојања, $d^{2}$ .

$G$ , је гравитациона константа која износи $6.67\cdot 10^{-11}{\frac {N\cdot m^{2}}{kg^{2}}}$ (или ${\frac {m^{3}}{kg\cdot s^{2}}}$ ), а ${\vec {u}}_{12}$ је јединични вектор усмерен од тела 1 према телу 2. Негативни предзнак означава да је сила међу телима привлачна сила.

Доказ

Други Њутнов закон:

Основни закон динамике, тј. Други Њутнов закон, који полази од Декартовог принципа инерције (одржање количине кретања), показује да збирно деловање сила на тела једнако $ma$ , где је $m$ инертна маса (која отежава кретање тела), и где је $a$ убрзање (ритам промене брзине).

Уобичајеним називима речено:

Величина силе на неко тело директно је сразмерна убрзању и маси тог тела.

{\overrightarrow {F}}=m\cdot {\overrightarrow {a}}

где је F сила, m маса, a убрзање.

Кеплерови закони и Закон о центрифугалној сили:

С друге стране, из Кеплерових закона, који су изведени из посматрања кретање тела у Сунчевом систему, и закона Кристијана Хајгенса о центрифугалној сили, Њутн је закључио да гравитациона сила између два тела делује по правој линији између њих и обрнуто је пропорционална квадрату њиховог растојања, тј. сразмерна је са ${\frac {1}{d^{2}}}$ , где је $d$ растојање између тела.

Гравитациона константа

Сматрајући да је сила гравитације пропорционална количини материје присутној у телу која делују овом силом (двоструко веће тело делује двоструко већом силом), пертпоставио је да је сила пропорционална величини $m_{G}$ коју је назвао гравитациона маса, пропорционална количини материје у телу и његовој способности да врши привлачно деловање.

Трећи Њутнов закон:

По принципу акције и реакције, сила којом друго тело делује на прво је једнака (и усмерена у супротном смеру) сили којом прво тело делује на друго. Ова сила је пропорционална $m'_{G}$ , гравитационој маси другог тела.

Закључак:

Њутн је желео да обједини законе који важе на Земљи са онима који важе на небу (астрономија), нарочито оне који се односе на Земљину тежу и кретање планета).

Основни закон динамике се стога може записати као: $ma=G\cdot {\frac {m_{G}m'_{G}}{d^{2}}}$ . Ако је убрзање $a$ (и брзина) тела које је у слободном паду независно од инерционе масе (као што је показао Галилејев експеримент), онда за тело важи $m=m_{G}$ , дакле гравитациона маса је једнака инерционој маси, што не зависи од врсте и састава тела. Њутн је тестирао ову теорију на много примера и није јој нашао изузетак.

Ако занемаримо остале утицаје и претпоставимо да сила делује тренутно, без кашњења, гравитациону сила између два тачкаста тела може се објаснити на следећи начин:

F=G\cdot {\frac {m_{G}m'_{G}}{d^{2}}}

, где је

G

константа под именом гравитациона константа.

Одавде добијамо и коначни запис Универзалног закона гравитације у скаларном облику:

F_{12}=G\cdot {\frac {m_{1}m_{2}}{d^{2}}}

И у векторском облику:

{\vec {F}}_{12}=-G\cdot {\frac {m_{1}m_{2}}{d^{2}}}{\vec {u}}_{12}

Пример

Наћи привлачну силу гравитације између планете Земље и Сунца и њен интензитет.

Познате вредности су:

гравитациона константа: $G=6.67\cdot 10^{-11}{\frac {N\cdot m^{2}}{kg^{2}}}$
удаљеност Земље од Сунца $r=1.5\cdot 10^{11}m$
маса Сунца $m_{1}=1.99\cdot 10^{30}kg$
маса Земље $m_{2}=5.98\cdot 10^{24}kg$

Универзални закон гравитације гласи:

{\vec {F}}=-G\cdot {\frac {m_{1}m_{2}}{d^{2}}}{\vec {u}},

где је ${\vec {u}}$ јединични вектор од тела 1 ка телу 2.

На основу горенаведеног, добијамо да је тражена сила:

{\vec {F}}=-{\frac {6.67\cdot 10^{-11}Nm^{2}\cdot 1.99\cdot 10^{30}kg\cdot 5.98\cdot 10^{24}kg}{kg^{2}\cdot (1.5\cdot 10^{11}m)^{2}}}=-3.52\cdot 10^{22}N\cdot {\vec {u}},

а њен интензитет:

F=3.52\cdot 10^{22}N.

Знак минус (-) у једначини силе показује да је сила између Земље и Сунца привлачна сила.

Општост Универзалног закона гравитације

Колико је Њутнов закон гравитације општији у односу на законе који су до тада постојали и који су били и експериментално потврђени, показује чињеница да се сви ти закони могу доказати из њега и да они представљају само неке од специјалних случајева тог закона.

Кеплерови закони

Помоћу Универзалног закона гравитације, могу се доказати и сви Кеплерови закони и уочавају се грешке у Трећем Кеплеровом закону.

Галилејев закон

Њутнов закон гравитације може да искаже Галилејев закон. Aко се са $d$ означи полупречник земље, а $m_{T}=$ је маса Земље, добија се да је $g=G\cdot {\frac {m_{T}}{d^{2}}}=9,81$ m·s^-2.

Примена

Понашање сателита и пројектила, из разлога што подлежу *Универзалном закону гравитације*

Као и свака теорија, и Универзални закон гравитације је од хипотезе експериментално потврђен.

Једно од открића, којем је основну подлогу дао управо Универзални закон гравитације, је откриће да је могуће у ваздух подигнути, тј. послати на небо и предмете који су тежи од ваздуха.

Закон гравитације и кретања тела

Појаве у природи тумаче се међуделовањима (интеракцијама). Њутнов закон гравитације је у ствари математички опис гравитационе силе или гравитационе интеракције - силе којом се узајамно привлаче две масе. Док су Кеплерови закони описивали начин кретања планета, Њутнов закон гравитације је помогао да се растумачи зашто се планете крећу баш тако како се крећу. Њутн је закон извео на темељу практичног искуства и теоријских разматрања тадашње физике и астрономије, укључивши Кеплерове законе. Обратно, математичким се путем из Њутновог закона гравитације могу извести Кеплерови закони. Али не само то. У природи има кретања која су много сложенија од кретањаа поједине планете око Сунца. Већ је кретање планетоида и комета сложеније од кретања планета. Исто је тако сложеније кретање мноштва звезда у једном скупу звезда, или звезда једне галаксије, а сва су она условљена Њутновом силом. Стога је Њутнов закон гравитације много општији и и важи у целом свемиру.

Види још

Гравитација
Њутнови закони - основни закони класичне механике
Кеплерови закони
Галилејев закон
Исак Њутн

Референце

^ Isaac Newton: "In [experimental] philosophy particular propositions are inferred from the phenomena and afterwards rendered general by induction": "Principia", Book 3, General Scholium, at p.392 in Volume 2 of Andrew Motte's English translation published 1729.
^ Proposition 75, Theorem 35: p.956 - I.Bernard Cohen and Anne Whitman, translators: Isaac Newton, The Principia: Mathematical Principles of Natural Philosophy. Preceded by A Guide to Newton's Principia, by I.Bernard Cohen. University of California Press 1999 ISBN 0-520-08816-6 ISBN 0-520-08817-4

Спољашње везе

Feather & Hammer Drop on Moon на сајту YouTube
Newton‘s Law of Universal Gravitation Javascript calculator

[1] Isaac Newton: "In [experimental] philosophy particular propositions are inferred from the phenomena and afterwards rendered general by induction": "Principia", Book 3, General Scholium, at p.392 in Volume 2 of Andrew Motte's English translation published 1729.

[Newton1-2] Proposition 75, Theorem 35: p.956 - I.Bernard Cohen and Anne Whitman, translators: Isaac Newton, The Principia: Mathematical Principles of Natural Philosophy. Preceded by A Guide to Newton's Principia, by I.Bernard Cohen. University of California Press 1999 ISBN 0-520-08816-6 ISBN 0-520-08817-4

[1]

[2]

@@ Ред 84: / Ред 84: @@
 Знак минус (-) у једначини силе показује да је сила између Земље и Сунца привлачна сила.
 == Општост Универзалног закона гравитације ==
 Колико је ''Њутнов закон гравитације'' општији у односу на законе који су до тада постојали и који су били и експериментално потврђени, показује чињеница да се сви ти закони могу доказати из њега и да они представљају само неке од специјалних случајева тог закона.
@@ Ред 101: / Ред 102: @@
 Једно од открића, којем је основну подлогу дао управо ''Универзални закон гравитације'', је откриће да је могуће у ваздух подигнути, тј. послати на небо и предмете који су тежи од ваздуха.
+== Закон гравитације и кретања тела ==
+{{рут}}
+Појаве у [[природа|природи]] тумаче се међуделовањима (интеракцијама). Њутнов закон гравитације је у ствари [[математика|математички]] опис [[Гравитација|гравитационе силе]] или гравитационе интеракције - [[сила|силе]] којом се узајамно привлаче две [[маса|масе]]. Док су [[Кеплерови закони]] описивали начин кретања [[планет]]а, Њутнов закон гравитације је помогао да се растумачи зашто се планете крећу баш тако како се крећу. Њутн је закон извео на темељу практичног искуства и теоријских разматрања тадашње [[физика|физике]] и [[астрономија|астрономије]], укључивши Кеплерове законе. Обратно, математичким се путем из Њутновог закона гравитације могу извести Кеплерови закони. Али не само то. У природи има кретања која су много сложенија од кретањаа поједине планете око Сунца. Већ је кретање [[планетоид]]а и [[комет]]а сложеније од кретања планета. Исто је тако сложеније кретање мноштва [[звезда]] у једном скупу звезда, или звезда једне [[галаксија|галаксије]], а сва су она условљена Њутновом силом. Стога је Њутнов закон гравитације много општији и и важи у целом свемиру.
+<!--
+Svojstva te гравитационе sile su sledeća. Ona je uzajamna, privlačna i centralna sila. Uzajamna je zato što jednakom silom kojom tijelo mase ''M'' privlači masu ''m'', privlači i tijelo mase ''m'' masu ''M''. Centralna je zato što je usmjerena od jedne mase prema drugoj. Nadalje, sila je razmjerna masi svakog tijela posebno, a njezina veličina opada obrnuto razmjerno s kvadratom udaljenosti. Ako se razmak tijela udvostruči, sila se smanji četiri puta; ako se utrostruči, smanji se devet puta.
+Konstanta ''G'' (univerzalna [[gravitacijska konstanta]]) je konstanta razmjernosti i prema mjerenjima iznosi otprilike 6.67428 ∙ 10<sup>−11</sup> N m<sup>2</sup> kg<sup>−2</sup>. Tijela obično predstavljamo malim kuglama, no zakon treba primjenjivati na [[Točka (geometrija)|točkasta tijela]] (tijela sažeta u materijalne točke). Ako tijela nisu točkasta, već proširena, tada je ukupna sila između njih jednaka [[rezultanta|zbroju svih sila]] između svake dvije materijalne točke. Stoga gravitacijsko polje oko stvarnog (realnog) tijela znade biti veoma složeno.<ref> [[Vladis Vujnović]] : "Astronomija", Školska knjiga, 1989. </ref>
+=== Слободни пад ===
+[[Gravitacija|Gravitacijska sila]] uzrok je [[Gibanje|gibanjima]] i promjeni stanja gibanja. U polju gravitacije tijela se gibaju [[Ubrzanje|ubrzano]]. Zato se u ubrzanju tijela odražavaju svojstva gravitacijske sile. [[Ubrzanje]] ili akceleracija nekog malenog tijela mase ''m'' koje se nalazi u polju [[sfera|sfernog]] tijela mase ''M'', prema [[Newtonovi zakoni gibanja|2. Newtonom zakonu gibanja]] ili '''temeljnom zakonu gibanja''' glasi:
+::<math>F=m\cdot g</math>
+Konstanta razmjernosti između sile i ubrzanja je [[masa]] ubrzavanog tijela. Na tijelo mase ''m'' djeluje Newtonova [[sila]], jer se ono nalazi u gravitacijskom polju koje okružuje masu ''M''. Izjednačavanjem gornjih izraza dobiva se:
+::<math>g = G \frac{M m}{r^2}\ </math>
+To je ubrzanje (akceleracija) tijela mase ''m'' u gravitacijskom polju mase ''M'', na daljini ''r'' od mase ''M''. Ubrzanje ili akceleracija ima ujedno dimenziju jakosti gravitacijskog polja; jakost gravitacijskog polja omjer je gravitacijske sile i ubrzavane mase. Uobičajeno je da se [[slobodni pad]] (ili gibanje kosinom) uzima kao primjer [[Jednoliko ubrzano gibanje po pravcu|jednolikog ubrzanog gibanja]] (gibanja sa stalnim ubrzanjem). Pritom se pretpostavlja da nema otpora zraka ili [[trenje|trenja]]. No gornji matematički izraz treba uzimati s oprezom. Ako i nema otpora, tijelo će se gibati stalnim ubrzanjem samo na veoma malom dijelu puta, na onom dijelu na kojemu se ''r'' vrlo malo mijenja. Prema tome, slobodni pad se može uzimati kao primjer jednoliko ubrzanog gibanja jedino kod malih visina pada. Ako je ubrzanje stalno, put ''s'' prevaljen u smjeru ubrzanja za vrijeme ''t'' jednak je:
+::<math> s ={g \over 2} \cdot t^2 </math>
+=== Кружење сателита ===
+Isaac Newton je shvatio da je [[kružno gibanje]] sastavljeno od dviju komponenti, od gibanja [[Jednoliko pravocrtno gibanje|stalnom brzinom po pravcu]] i od [[Jednoliko ubrzano gibanje po pravcu|jednoliko ubrzanog gibanja]] sa smjerom prema središtu kruženja. Kad ne bi bilo [[gravitacija|privlačenja]], tijelo bi jednolikom brzinom ''v<sub>k</sub>'' odmicalo po pravcu i za vrijeme ''t'' prešlo put ''v<sub>k</sub>∙t''. No istodobno, zbog gravitacijskog privlačenja, tijelo pada prema centru i u tom padu, u vrijeme ''t'', prevali put ''gt<sup>2</sup>/2''. Ako tijelo ipak ostaje na [[kružnica|kružnici]], mora biti da ono u vrijeme ''t'' za toliko odmakne od kružnice za koliko ujedno i padne na kružnicu! Taj proces prisutan je na svakom mjestu kružnice, na svakom ma kako malom odsječku puta. Ako bi brzina gibanja ''v'' bila manja od [[Orbitalna brzina|brzine kruženja]] ''v<sub>k</sub>'', to tijelo bi zbog slobodnog pada prišlo centru Zemlje više nego što bi se u jednolikom gibanju po pravcu od nje odmaknulo, pa bi tako prelazilo s kružnice većeg [[polumjer]]a na kružnicu manjeg polumjera, te bi u spirali napokon palo na Zemlju.
+Prisilimo li neko tijelo da se na vrtuljku giba brzinom ''v'', tada ono u smjeru prema centru ima ubrzanje ''g'' ([[Centrifugalna i centripetalna sila|centripetalno ubrzanje]]). Između brzine gibanja ''v'' po kružnoj stazi polumjera ''r'' i centripetalne akceleracije ''g'' postoji veza:
+::<math> g = \frac{v^2}{r} </math>
+Giba li se tijelo po kružnici i pojačamo li centripetalnu silu, porast će i ubrzanje i brzina. No ako je sila privlačenja gravitacijska, a u centru gibanja nalazi se masa ''M'', tada je centripetalna akceleracija posve određena i jednaka izrazu:
+::<math>g = G \frac{M}{r^2}\ </math>
+Tim uvjetom se za dani polumjer staze od svih mogućih centripetalnih ubrzanja odabire samo jedno ubrzanje (akceleracija), a njoj odgovara samo jedna, posve određena brzina. Izjednačavanjem gornjih dvaju izraza, dobivamo:
+::<math>v = v_k = \sqrt{\frac{GM}{r}} </math>
+Za [[Zemlja|Zemlju]] (''M'' = 6 ∙10<sup>24</sup> [[kilogram|kg]]) '''brzina kruženja''' ili [[orbitalna brzina]] na samoj površini (''r'' = 6 378 [[metar|km]]) iznosila bi 7 910 [[Metar u sekundi|m/s]] ili 7.91 km/s. Ta se brzina zove i '''prvom kozmičkom brzinom'''. Na svakoj drugoj razini iznad površine Zemlje brzina kruženja ima drugu vrijednost. <ref> '''kozmička brzina''', [http://www.enciklopedija.hr/Natuknica.aspx?ID=33595] "Hrvatska enciklopedija", Leksikografski zavod Miroslav Krleža, www.enciklopedija.hr, 2014.</ref>
+=== Ослобађање сателита ===
+Što se događa kada se brzina satelita poveća iznad [[orbitalna brzina|brzine kruženja]] ''v<sub>k</sub>''. Svaka veća brzina dovest će do izduženja staze ([[Putanja|putanje]]). [[Kružnica]] prelazi u elipsu, a [[elipsa]] malog ekscentriciteta prelazi u elipsu većeg [[ekscentricitet]]a. Kada staza postane [[parabola]], tijelo će napustiti Zemljinu blizinu i slobodno odletjeti u međuplanetarni prostor. Tada imamo [[Brzina oslobađanja|brzinu oslobađanja]] ''v<sub>o</sub>'' ili '''drugu kozmičku brzinu'''. Tijela mogu biti međusobno vezana, ili slobodna. Tijelo je vezano i čini jedan fizički sustav sustav sa Zemljom kada leži na njoj ili se giba oko nje zatvorenom putanjom. Općenito, tijelo ima i [[kinetička energija|kinetičku energiju]] i gravitacijsku [[potencijalna energija|potencijalnu energiju]] (energiju položaja u gravitacijskom polju). Potencijalna energija ''E<sub>p</sub>'' mase ''m'' u okolini mase ''M'' jednaka je:
+:<math>E_p = \frac{-GMm}{r} </math>
+Dogovorom je potencijalnoj energiji pridijeljen negativan predznak. Vidimo da je na manjoj udaljenosti ''r'' potencijalna energija negativnija nego na većoj udaljenosti. S povećanjem razmaka potencijalna energija poprima manje negativnu vrijednost, a na beskonačnoj udaljenosti iznos joj padne na nulu. U stvari, relativno najveću vrijednost ima potencijalna energija na najvećoj udaljenosti; to je smisao negativnog predznaka. U strogom značenju tijelo je slobodno kada se nalazi na neizmjernoj udaljenosti od Zemlje. S obzirom na to da [[Zemlja]] nije sama u [[svemir]]u, već je svemirsko gravitacijsko polje složeno od mnogih pojedinačnih, tijelo će se uvijek nalaziti pod njihovim utjecajem. Zato je i pitanje slobode više praktičko pitanje: na velikim udaljenostima od Zemlje tijelo se nalazi u slobodnom stanju. Omjer gravitacijske potencijalne energije i mase ''m'', dakle izraz ''- GM/r'', zove '''gravitacijski potencijal'''.
+Zamislimo postupak oslobađanja tijela u slučaju kada je tijelo na početku mirovalo na Zemlji, a na kraju mirovalo na praktički beskonačnoj udaljenosti od Zemlje. Kako je [[kinetička energija]] u takvom slučaju i na početku i na kraju postupka jednaka nuli, to će tijelo morati premostiti razliku potencijalne energije ''E<sub>p</sub>'' koja postoji između površine Zemlje i beskonačne udaljenosti. Promjena energije jednaka je konačnoj vrijednosti manje početna vrijednost. Budući da se energija ne može ni stvoriti niti izgubiti ([[zakon očuvanja energije]]), treba je preuzeti iz [[kinetička energija|kinetičke energije]] ''E<sub>k</sub>'', tijelo treba odaslati sa Zemlje s nekom početnom brzinom ''v<sub>o</sub>'':
+::<math>(E_p + E_k)_Z = (E_p + E_k)_s \,</math>
+::<math>\frac{1}{2}mv_o^2 + \frac{-GMm}{r} = 0 + 0</math>
+Tijelo mora krenuti s [[Brzina oslobađanja|brzinom oslobađanja]] ''v<sub>o</sub>'':
+:<math>v_o = \sqrt{\frac{2GM}{r}}</math>
+Postupak se može odvijati i u suprotnom smjeru. Pri slobodnom padu od beskonačnosti do daljine ''r'' razlika potencijalne energije prelazi u kinetičku, i brzina ''v<sub>o</sub>'' koju tijelo ima ovisi o udaljenosti ''r'' od centra privlačenja mase ''M''. To znači da bi tijelo u slobodnom padu palo do nekog položaja ''r'' s istom onom brzinom s kojom se s tog položaja u gravitacijskom polju mora osloboditi. Brzina oslobađanja sa Zemlje iznosi 11.2 km/s i naziva se još '''drugom kozmičkom brzinom'''. Želimo li tijelo koje već kruži oko mase ''M'' osloboditi, trebat će mu do brzine oslobađanja dodijeliti manju energiju nego kad je ležalo na Zemlje. Brzinu tijela treba povećati od ''v<sub>k</sub>'' do ''v<sub>o</sub>'', ustvari kinetičkoj energiji treba dodati iznos ''G M m / 2 r''; dakle, tijelu treba dovesti još toliko kinetičke energije koliko kinetičke energije već ima. Na takav se način postupa s [[Svemirske letjelice|svemirskim letjelicama]] koje se otpremaju na planete. One se najprije lansiraju u putanju oko Zemlje, gdje je bezzračni prostor, a onda se u odabranom trenutku ponovo pale raketni motori, [[raketa]] postiže brzinu oslobađanja i usmjeruje letjelicu prema cilju.
+=== Кретање вештачких сателита ===
+[[Umjetni satelit]]i se lansiraju u putanje koje imaju različite [[ekscentricitet]]e. [[Brzina]] kojom se gibaju ovisi o položaju na [[putanja|putanji]]. Na većim udaljenostima od Zemlje [[orbitalna brzina|brzina kruženja]] ''v<sub>k</sub>'' manja je od 7.9 km/s. Na slici je nekoliko oblika putanje satelita koji prolaze točkom koja je na nekoj visini od površini Zemlje. Točka najbliža Zemlji na toj putanji zove se [[perigej]], a točka najveće udaljenosti [[apogej]]. Putanja C je [[kružnica]] i satelit se giba sa stalnom brzinom, s brzinom kruženja za tu daljinu. Staza D je [[elipsa|eliptična]]. S približavanjem perigeju satelit postiže najveću brzinu, koja je veća od brzine kruženja na tom mjestu; da je jednaka brzini kruženja, satelit bi se gibao kružnicom. Eliptičnu putanju D ima umjetni satelit koji se giba brzinom većom od brzine kruženja, a manjom od brzine oslobađanja.
+Po nekim osobinama gibanje umjetnih satelita razlikuje se od gibanja prirodnih satelita. Najveća je razlika u tome što je [[masa]] umjetnih satelita sasvim zanemariva prema masi Zemlje. Osim Zemlje, na putanju satelita utječu i [[Mjesec]] i [[Sunce]]. Zato se satelit giba u složenom gravitacijskom polju. Ni sama Zemlja nema jednostavno gravitacijsko polje kakvo ima točkasta masa jer je spljoštena na polovima, odnosno ispupčena na ekvatoru, a osim toga, unutar već složenog oblika, [[materija]] nije jednoliko raspoređena. Mase su različito raspoređene u području [[more|mora]] i [[kopno|kopna]]. Veću [[gustoća|gustoću]] imaju slojevi tla koji se nalaze ispod [[ocean]]a, manju slojevi ispod kopna. Putanja satelita stalno se poremećuje, neprestano se mijenjaju orbitalni elementi satelita, te se ta poremećenja upravo dadu iskoristiti da bi se ocijenio oblik Zemlje i raspored masa. Podaci dobiveni nakon analize gibanja satelita nadopunjuju podatke dobivene neposrednim [[Geodetsko mjerenje|geodetskim premjerima]] Zemlje i gravimetrijskim mjerenjima (mjerenjima ubrzanja [[sila teže|sile teže]]).
+Drugi uzrok koji dovodi do stalne promjene putanje Zemljina umjetnog satelita je otpor [[Zemljina atmosfera|Zemljine atmosfere]]. Atmosfera postoji i na vrlo velikim visinama, makar i rijetka, pa se njezin utjecaj osjeti nakon nekog vremena. Jasno je da je utjecaj jači u nižim dijelovima putanje, dok je satelit blizu perigeja. Satelit gubi energiju, apogej se približava Zemlji i putanje se zaobljuje. Elipsa prelazi u kružnicu, a čitava se putanja smanjuje i približava Zemlji. Satelit tone sve dublje i spiralno ulazi u gušće dijelove atmosfere gdje izgara, a katkada pokoji njegov dio dospijeva i do tla.
+-->
 == Види још ==
 * [[Гравитација]]

Нормативна контрола
Државне	Немачка Јапан
Остале	Енциклопедија Британика