Универзални закон гравитације

Matematičar i fizičar Isak Njutn u periodu od 1665. do 1685., razvio je svoju teoriju mehanike, zasnovanu na ubrzanju, a ne samo na proučavanju brzine, kako su to činili Galilej i Dekart pre njega.

Ključna činjenica koju je Njutn prvi zapazio je da je sila koja deluje na jabuku koja pada sa drveta zapravo ista sila koja deluje na Zemlju da se okreće oko Sunca. Iz tog saznanja potekao je Njutnov zakon gravitacije, tj. univerzalni zakon gravitacije, koji se ubraja u četvrti Njutnov zakon, pored 3 osnovna zakona klasične mehanike.

Formulacija zakona

${\vec {F}}_{12}=-G\cdot {\frac {m_{1}m_{2}}{d^{2}}}{\vec {u}}_{12}$

Gravitaciona sila kojom se privlače tela 1 i 2 srazmerna je proizvodu njihovih masa $m_{1}$ i $m_{2}$, a obrnuto> srazmerna kvadratu njihovog rastojanja, $d^{2}$.

$G$, je gravitaciona konstanta koja iznosi $6.67\cdot 10^{-11}{\frac {N\cdot m^{2}}{kg^{2}}}$ (ili ${\frac {m^{3}}{kg\cdot s^{2}}}$), a ${\vec {u}}_{12}$ je jedinični vektor usmeren od tela 1 prema telu 2. Negativni predznak označava da je sila među telima privlačna sila.

Dokaz

Drugi Njutnov zakon:

Osnovni zakon dinamike, tj. Drugi Njutnov zakon, koji polazi od Dekartovog principa inercije (održanje količine kretanja), pokazuje da zbirno delovanje sila na tela jednako $ma$, gde je $m$ inertna masa (koja otežava kretanje tela), i gde je $a$ ubrzanje (ritam promene brzine).

Uobičajenim nazivima rečeno:

Veličina sile na neko telo direktno je srazmerna ubrzanju i masi tog tela.

${\overrightarrow {F}}=m\cdot {\overrightarrow {a}}$

gde je F sila, m masa, a ubrzanje.

Keplerovi zakoni i Zakon o centrifugalnoj sili:

S druge strane, iz Keplerovih zakona, koji su izvedeni iz posmatranja kretanje tela u Sunčevom sistemu, i zakona Kristijana Hajgensa o centrifugalnoj sili, Njutn je zaključio da gravitaciona sila između dva tela deluje po pravoj liniji između njih i obrnuto je proporcionalna kvadratu njihovog rastojanja, tj. srazmerna je sa ${\frac {1}{d^{2}}}$, gde je $d$ rastojanje između tela.

Gravitaciona konstanta

Smatrajući da je sila gravitacije proporcionalna količini materije prisutnoj u telu koja deluju ovom silom (dvostruko veće telo deluje dvostruko većom silom), pertpostavio je da je sila proporcionalna veličini $m_{G}$ koju je nazvao gravitaciona masa, proporcionalna količini materije u telu i njegovoj sposobnosti da vrši privlačno delovanje.

Treći Njutnov zakon:

Po principu akcije i reakcije, sila kojom drugo telo deluje na prvo je jednaka (i usmerena u suprotnom smeru) sili kojom prvo telo deluje na drugo. Ova sila je proporcionalna $m'_{G}$, gravitacionoj masi drugog tela.

Zaključak:

Njutn je želeo da objedini zakone koji važe na Zemlji sa onima koji se mogu važe na nebu (astronomija), naročito one koji se odnose na Zemljinu težu i kretanje planeta).

Osnovni zakon dinamike se stoga može zapisati kao: $ma=G\cdot {\frac {m_{G}m'_{G}}{d^{2}}}$. Ako je ubrzanje $a$ (i brzina) tela koje je u slobodnom padu nezavisno od inercione mase (kao što je pokazao Galilejev eksperiment), onda za telo važi $m=m_{G}$, dakle gravitaciona masa je jednaka inercionoj masi, što ne zavisi od vrste i sastava tela. Njutn je testirao ovu teoriju na mnogo primera i nije joj našao izuzetak.

Ako zanemarimo ostale uticaje i pretpostavimo da sila deluje trenutno, bez kašnjenja, gravitacionu sila između dva tačkasta tela može se objasniti na sledeći način:

$F=G\cdot {\frac {m_{G}m'_{G}}{d^{2}}}$, gde je $G$ konstanta pod imenom gravitaciona konstanta.

Odavde dobijamo i konačni zapis Univerzalnog zakona gravitacije u skalarnom obliku:

$F_{12}=G\cdot {\frac {m_{1}m_{2}}{d^{2}}}$

I u vektorskom obliku:

${\vec {F}}_{12}=-G\cdot {\frac {m_{1}m_{2}}{d^{2}}}{\vec {u}}_{12}$

Primer

Naći privlačnu silu gravitacije između planete Zemlje i Sunca i njen intenzitet.

Poznate vrednosti su:

• gravitaciona konstanta: $G=6.67\cdot 10^{-11}{\frac {N\cdot m^{2}}{kg^{2}}}$
• udaljenost Zemlje od Sunca $r=1.5\cdot 10^{11}m$
• masa Sunca $m_{1}=1.99\cdot 10^{30}kg$
• masa Zemlje $m_{2}=5.98\cdot 10^{24}kg$

Univerzalni zakon gravitacije glasi:

${\vec {F}}=-G\cdot {\frac {m_{1}m_{2}}{d^{2}}}{\vec {u}},$

gde je ${\vec {u}}$ jedinični vektor od tela 1 ka telu 2.

Na osnovu gorenavedenog, dobijamo da je tražena sila:

${\vec {F}}=-{\frac {6.67\cdot 10^{-11}Nm^{2}\cdot 1.99\cdot 10^{30}kg\cdot 5.98\cdot 10^{24}kg}{kg^{2}\cdot (1.5\cdot 10^{11}m)^{2}}}=-3.52\cdot 10^{22}N\cdot {\vec {u}},$

a njen intenzitet:

$F=3.52\cdot 10^{22}N.$

Znak minus (-) u jednačini sile pokazuje da je sila između Zemlje i Sunca privlačna sila.

Opštost Univerzalnog zakona gravitacije

Koliko je Njutnov zakon gravitacije opštiji u odnosu na zakone koji su do tada postojali i koji su bili i eksperimentalno potvrđeni, pokazuje činjenica da se svi ti zakoni mogu dokazati iz njega i da oni predstavljaju samo neke od specijalnih slučajeva tog zakona.

Keplerovi zakoni

Glavni članak: Keplerovi zakoni

Pomoću Univerzalnog zakona gravitacije, mogu se dokazati i svi Keplerovi zakoni i uočavaju se greške u Trećem Keplerovom zakonu.

Galilejev zakon

Glavni članak: Galilejev zakon

Njutnov zakon gravitacije može da iskaže Galilejev zakon. Ako se sa $d$ označi poluprečnik zemlje, a $m_{T}=$ je masa Zemlje, dobija se da je $g=G\cdot {\frac {m_{T}}{d^{2}}}=9,81$ m·s^-2.

Primena

Ponašanje satelita i projektila, iz razloga što podležu Univerzalnom zakonu gravitacije

Kao i svaka teorija, i Univerzalni zakon gravitacije je od hipoteze eksperimentalno potvrđen.

Jedno od otkrića, kojem je osnovnu podlogu dao upravo Univerzalni zakon gravitacije, je otkriće da je moguće u vazduh podignuti, tj. poslati na nebo i predmete koji su teži od vazduha.

Vidi još

• Gravitacija
• Njutnovi zakoni - osnovni zakoni klasične mehanike
• Keplerovi zakoni
• Galilejev zakon
• Isak Njutn