Barnes G-funktion är en speciell funktion som definieras som
![{\displaystyle G(z+1)=(2\pi )^{z/2}\exp(-(z(z+1)+\gamma z^{2})/2)\ \times \ \prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}\exp(-z+z^{2}/(2n))\right]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Fyjo5yts3oteOnAhFztwQzNlCzAdDnjK3nqnCaqoPzNK2o2w4nti3)
där γ är Eulers konstant. Funktionen är uppkallad efter Ernest William Barnes.
Barnes G-funktion satisfierar funktionalekvationerna
![{\displaystyle \!\ G(z+1)=\Gamma (z)G(z)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OoNm2otCOage4o2iPytoOo2i4ztwQyja2njwNoDs1oteQntmOajzD)
och
![{\displaystyle G(1-z)=G(1+z){\frac {1}{(2\pi )^{z}}}\exp \int \limits _{0}^{z}\pi z\cot \pi z\,\mathrm {d} z.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Nyji0oqrEzta4ygePzghEaArBzqwQaNsNaDiPajdFotlCzAoPotlE)
Barnes G-funktion satisfierar multiplikationsformeln
![{\displaystyle G(nz)=K(n)n^{n^{2}z^{2}/2-nz}(2\pi )^{-{\frac {n^{2}-n}{2}}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G\left(z+{\frac {i+j}{n}}\right)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AoAzAaNo2aDhFnDdDagrFztsPajnAnqrBoNaNzts3ztJDzDm5nji4)
där
ges av
![{\displaystyle K(n)=e^{-(n^{2}-1)\zeta ^{\prime }(-1)}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}\,=\,(Ae^{-{\frac {1}{12}}})^{n^{2}-1}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9FatnEz2e0otG1yti3a2aNzjGQnqi3nAvFnqnCzNsOoAhEaAeOztiO)
För
gäller Taylorserien
![{\displaystyle \ln G(1+z)={\frac {1}{2}}\left(\ln(2\pi )-1\right)-(1-\gamma ){\frac {z^{2}}{2}}+\sum _{n=3}^{\infty }(-1)^{n-1}\zeta (n-1){\frac {z^{n}}{n}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NotdAoqrCzNa4ytBAoti1atBDaAzBzqi4oqiNoNs2atm4ntm4yjs0)
där
är Riemanns zetafunktion.
![{\displaystyle G(1/4)=A^{-9/8}\left(\Gamma (1/4)\right)^{-3/4}e^{3/32-G/(4\pi )}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AajrEzNi0nDm4z2a4aNw4ntvCatmQzDGQagi2njm0ngvEyjdCyga3)
![{\displaystyle G(3/4)=A^{-9/8}\left(\Gamma (3/4)\right)^{-1/4}e^{3/32+G/(4\pi )}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CngsOoDCPotCPnji4ntmOatoQajlEaNC2nAi4zArEoqe3oqe2nqi4)
![{\displaystyle G(1/2)\,=\,A^{-3/2}\pi ^{-1/4}e^{1/8}2^{1/24}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AngaNzNdEoqzAoDa5zAnCnteOngaPyjCOnjlEaAs5oDJCzAi4z2vC)
![{\displaystyle G(3/2)\,=\,A^{-3/2}\pi ^{1/4}e^{1/8}2^{1/24}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83ztGPaqwPajoNzti2othEzDe0aAe0oNdDztC3aDlEnjoNaDmPzNrF)
![{\displaystyle G(5/2)\,=\,A^{-3/2}\pi ^{3/4}e^{1/8}2^{-23/24}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85agwQzDs3o2vBotG3zAdCntK0aDC5ztBCzDeQyqrBzNFDotGNo2zA)
där G är Catalans konstant och A är Glaisher–Kinkelins konstant.
Logaritmen för Barnes G-funktion har följande asymptotiska expansion:
![{\displaystyle \log G(z+1)={\frac {1}{12}}~-~\log A~+~{\frac {z}{2}}\log 2\pi ~+~\left({\frac {z^{2}}{2}}-{\frac {1}{12}}\right)\log z~-~{\frac {3z^{2}}{4}}~+~\sum _{k=1}^{N}{\frac {B_{2k+2}}{4k\left(k+1\right)z^{2k}}}~+~O\left({\frac {1}{z^{2N+2}}}\right).}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EzAvDajoOnqhEngvFaNrAytrBnge2zAa1yqiQaDFBo2eNotC1ntvC)
Integralen av gammafunktionens logaritm kan ges med hjälp av Barnes G-funktion:
![{\displaystyle \int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx={\frac {z(1-z)}{2}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi +z\log \Gamma (z)-\log G(1+z).}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AoNGNoNC1ytK3aDm1oAvEytG1aDJCoDeQzDhBnDGQoNw1aqhDotzD)
Formeln kan bevisas genom att först ta logaritmen av gammafunktionens och G-funktionens produktrepresentationer:
![{\displaystyle z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)=-z\log \left({\frac {1}{\Gamma (z)}}\right)-\log G(1+z)=}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PzNC1njdByghFnDdFzgvFoAiPoNK2oDG2ygnBzge1a2hAoqsNagw0)
![{\displaystyle -z\left[\log z+\gamma z+\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z}{k}}{\Bigg \}}\right]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Eo2dAzNBEaAa1zgdDoqa0yjBFzNe0oNC4a2a2zNw2zga2zDo2ztG1)
![{\displaystyle -\left[{\frac {z}{2}}\log 2\pi -{\frac {z}{2}}-{\frac {z^{2}}{2}}-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}k\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)+{\frac {z^{2}}{2k}}-z{\Bigg \}}\right]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9FotzFoNFCnjlDoNwNa2e4zgo2aDzCoqi0nta3ajzAzjeOnDCNoqe1)
och med lite förenkling får man
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}(k+z)\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z^{2}}{2k}}-z{\Bigg \}}=}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83ygdCoqePotvDoNs3ngvAzDw1ntnDo2s0oNvFnDa0zjiOnte2njFE)
![{\displaystyle -z\log z-{\frac {z}{2}}\log 2\pi +{\frac {z}{2}}+{\frac {z^{2}}{2}}-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}-z\log \Gamma (z)+\log G(1+z)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Qati5ajGQyqvAoAs0aqe2a2sPzqrDzta3ajJFatlFo2oNntw2yjFA)
Slutligen tar man logaritmen av gammafunktionens produktrepresentation och integrerar över
:
![{\displaystyle \int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx=-\int _{0}^{z}\log \left({\frac {1}{\Gamma (x)}}\right)\,dx=}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Ezje0oNC0nDsPztnEoAs4aqs2zqdBngzEnjoNoDm4oDFBnAwOoNzC)
![{\displaystyle -(z\log z-z)-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}(k+z)\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z^{2}}{2k}}-z{\Bigg \}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80zgzBzjm0oAzBo2hDzjzFaDw1nqo4zDGNotK0aNFByje1aAzAzgsN)
Eftersom de två uttrycken är identiska är
![{\displaystyle \int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx={\frac {z(1-z)}{2}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi +z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)\,.\,\Box }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9FyqaNotsPnDFFoNBBaNmNaNBFzqhCzAw1nDs4ajo1ztdEzNePzDFC)
Speciella funktioner |
---|
| Gamma- och relaterade funktioner | | | Zeta- och L-funktioner | | | Besselfunktioner och relaterade funktioner | | | Elliptiska funktioner och thetafunktioner | | | Hypergeometriska funktioner | | | Ortogonala polynom | | | Andra funktioner | |
|