في الرياضيات، تستعمل قاعدة الرفع إلى أس أو قاعدة القوة(بالإنجليزية: power rule) للتفاضل وتستعمل لبرهنة الصيغتين الموجودتين في الأسفل.
تُعتبر متعددات الحدود من أبسط الدوال المستعملة في الحسبان. وتُعطى مشتقاتها وتكاملها غير المحدود بواسطة القوانين التالية:
![{\displaystyle \left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}\right)'=\sum _{k=0}^{n}ka_{k}x^{k-1}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84oAa4aNs4otJEytJCzthEotsPyjFCaAdBaDrBztnCzDGOaDJCzjs3)
و
.
لذلك, تكون مشتقة
هي
والتكامل غير المحدود للقيمة
هو
حيث أن C هو الثابت الكيفي للتكامل.
قاعدة القوة[عدل]
تذكر قاعدة القوة للتفاضل بأنه إذا كان n هو عدد طبيعي, تكون مشتقة
هي
, وبالتالي تكون القاعدة هي
![{\displaystyle \left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EytC2oqnBnga0zDo2nge1otK4oNK5aDrEzgeNzDC5yjBEngoQotJA)
و قاعدة القوة للتكامل هي
![{\displaystyle \int \!x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9FaDvFajrBaNvDotoPnAe2zja1zgiQaDvAaDK1zNoNzNlBoNlEyjlB)
عندما يكون n عدد طبيعي, سيسهل لنا استنتاج الإجابة. ويبقى على المرء فقط القيام باشتقاق هذه المتباينة واستعمال قاعدة القوة والتحويل الخطي للتفاضل على الجانب الأيمن من المعادلة.
البرهان[عدل]
لبرهنة قاعدة القوة للتفاضل, يجب استعمال طريقة الاشتقاق كنهاية رياضياتية:
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81oAzFngvBnqaOoDKQajoOnqhCats4oDmQnDe1ztzFati3atCOaNs3)
و عند تعويض
ستكون المعادلة على النحو التالي
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DytlAaAzCagzBnto2nAnEytrCaDi5aqsQygw4o2nEzAzDo2wQzgiN)
ثم يمكن للمرء التعبير عن
باستعمال مبرهنة ثنائية الحد للحصول على
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sum _{i=0}^{n}{{n \choose i}x^{i}h^{n-i}}-x^{n}}{h}}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NaqhEo2hEzjsPzNoPaga4z2s5oDK0zNJCz2a5aDJCztdDnDhEnAdF)
يمكن كتابة الحد
من المجموع في جهة مستقلة للحصول على
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sum _{i=0}^{n-1}{{n \choose i}x^{i}h^{n-i}}+x^{n}-x^{n}}{h}}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9BaAsQatvCnDJBngeOaDlCzAs0ytBAyti1oqhBnAsQzAdCzDdAnAa3)
و بسبب إلغاء قيم الحدود
ستكون المعادلة
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sum _{i=0}^{n-1}{{n \choose i}x^{i}h^{n-i}}}{h}}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8QzAsOzAoPotm5a2nBytw2oNw4ygo1nDm3ztK0nDK4njlEoqoNzDs3)
و يمكن إخراج قيمة
من جميع الحدود من المجموع للحصول على
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {h\sum _{i=0}^{n-1}{{n \choose i}x^{i}h^{n-i-1}}}{h}}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EngiOyga0nqoOytBFzgeQotG4nAi3ytm0zDwOnqoPatJAoDJCyqvA)
و بذلك يمكننا إلغاء قيم
من المقام والحصول على
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}\sum _{i=0}^{n-1}{{n \choose i}x^{i}h^{n-i-1}}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9BoNC2ztdFaDFEnDnEnqs2yjo0oqrEatzAzDi0oDzDzqnEa2a3zNm2)
و لإيجاد قيمة هذه النهاية نلاحظ بأن
لكل
وتساوي صفر لكل
لذلك نجد قيمة
فقط عندما يكون
, وبالتالي تكون المعادلة
![{\displaystyle f'(x)={n \choose {n-1}}x^{n-1}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9FajKPzje0ytBCzAs2nDm0yqhAoNiPntnAyjFDyjhCoqwQztwQzgeN)
و بإيجاد قيمة المعامل الثنائي الحد سنجد هذه المعادلة
![{\displaystyle {n \choose {n-1}}={\frac {n!}{(n-1)!\ 1!}}={\frac {n\ (n-1)!}{(n-1)!}}=n.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EotK4oNlFnjiPo2a3otw3ntlCoNeQago3yqdDajo3otdCagvDzqaQ)
و بالتالي هذه المعادلة
![{\displaystyle f'(x)=nx^{n-1}.\!}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Czgo4nAdFatiQnAoOnji4a2aOatC0yge4aNsPnqw5ngi0z2vEyqa2)
تفاضل متعددات الحدود الكيفية[عدل]
لمفاضلة متعددات الحدود الكيفية, يمكن للمرء استعمال الخاصية الخطية للمؤثر التفاضلي (differential operator) للحصول على:
![{\displaystyle \left(\sum _{r=0}^{n}a_{r}x^{r}\right)'=\sum _{r=0}^{n}\left(a_{r}x^{r}\right)'=\sum _{r=0}^{n}a_{r}\left(x^{r}\right)'=\sum _{r=0}^{n}ra_{r}x^{r-1}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83oDaPoAs5yji3agsQntBCztC4yjK2aqdAntwOajzEngi1nDo1ntm3)
و باستعمال التحويل الخطي للتكامل وقاعدة القوة للتكامل, وباستعمال نفس الخطوات, سنجد المعادلة على النحو التالي
![{\displaystyle \int \!\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}\right)\,dx=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{k}x^{k+1}}{k+1}}+c.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84yjvAygo0ajzAagi4zNG4aqiQzqrCygrAztBBagzBa2hAa2s5zjnE)
تعميم[عدل]
يمكن البرهان بأن قاعدة القوة تكون صحيحة عند أي أس حقيقي, والمعادلة هي
![{\displaystyle \left(x^{a}\right)'=ax^{a-1}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8QoAe0zts1yjiNoDa0oqw2aDGQajG0oAeNate2nqeQothCoteOo2eQ)
عندما تكون قيمة a أي عدد حقيقي ما دام أن قيم x من مجال الدوال لكلا الجانبين من المعادلة. وباستعمال هذه الصيغة, مع
![{\displaystyle \int \!x^{-1}\,dx=\ln x+c,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80zgvAntvBz2s4zqwOatJCzgwQnDoQzje4zqoOngsQntlBaNBEo2aO)
سيستطيع المرء القيام بمفاضلة ومكاملة التركيبات الخطية لقوى القيمة x, والتي ليست بالضرورة أن تكون متعددة الحدود.
المراجع[عدل]
- Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; and Edwards, Bruce H. (2003). Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions (3rd edition). Houghton Mifflin Company. ISBN 0-618-22307-X.