في الرياضيات، تستعمل قاعدة الرفع إلى أس أو قاعدة القوة(بالإنجليزية: power rule) للتفاضل وتستعمل لبرهنة الصيغتين الموجودتين في الأسفل.
تُعتبر متعددات الحدود من أبسط الدوال المستعملة في الحسبان. وتُعطى مشتقاتها وتكاملها غير المحدود بواسطة القوانين التالية:
و
- .
لذلك, تكون مشتقة هي والتكامل غير المحدود للقيمة هو حيث أن C هو الثابت الكيفي للتكامل.
قاعدة القوة[عدل]
تذكر قاعدة القوة للتفاضل بأنه إذا كان n هو عدد طبيعي, تكون مشتقة هي , وبالتالي تكون القاعدة هي
و قاعدة القوة للتكامل هي
عندما يكون n عدد طبيعي, سيسهل لنا استنتاج الإجابة. ويبقى على المرء فقط القيام باشتقاق هذه المتباينة واستعمال قاعدة القوة والتحويل الخطي للتفاضل على الجانب الأيمن من المعادلة.
البرهان[عدل]
لبرهنة قاعدة القوة للتفاضل, يجب استعمال طريقة الاشتقاق كنهاية رياضياتية:
و عند تعويض ستكون المعادلة على النحو التالي
ثم يمكن للمرء التعبير عن باستعمال مبرهنة ثنائية الحد للحصول على
يمكن كتابة الحد من المجموع في جهة مستقلة للحصول على
و بسبب إلغاء قيم الحدود ستكون المعادلة
و يمكن إخراج قيمة من جميع الحدود من المجموع للحصول على
و بذلك يمكننا إلغاء قيم من المقام والحصول على
و لإيجاد قيمة هذه النهاية نلاحظ بأن لكل وتساوي صفر لكل لذلك نجد قيمة فقط عندما يكون , وبالتالي تكون المعادلة
و بإيجاد قيمة المعامل الثنائي الحد سنجد هذه المعادلة
و بالتالي هذه المعادلة
تفاضل متعددات الحدود الكيفية[عدل]
لمفاضلة متعددات الحدود الكيفية, يمكن للمرء استعمال الخاصية الخطية للمؤثر التفاضلي (differential operator) للحصول على:
و باستعمال التحويل الخطي للتكامل وقاعدة القوة للتكامل, وباستعمال نفس الخطوات, سنجد المعادلة على النحو التالي
تعميم[عدل]
يمكن البرهان بأن قاعدة القوة تكون صحيحة عند أي أس حقيقي, والمعادلة هي
عندما تكون قيمة a أي عدد حقيقي ما دام أن قيم x من مجال الدوال لكلا الجانبين من المعادلة. وباستعمال هذه الصيغة, مع
سيستطيع المرء القيام بمفاضلة ومكاملة التركيبات الخطية لقوى القيمة x, والتي ليست بالضرورة أن تكون متعددة الحدود.
المراجع[عدل]
- Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; and Edwards, Bruce H. (2003). Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions (3rd edition). Houghton Mifflin Company. ISBN 0-618-22307-X.