انتقل إلى المحتوى

مبرهنة منصف الزاوية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
AD منصف للزاوية A

في الهندسة الرياضية، مبرهنة أو نظرية منصف زاوية هي مبرهنة في المثلث تعطي العلاقة بين طول الضلع المقابل لأي زاوية إلى طول الضلعين الباقيين.[1] وتنص على أنه في المثلث ABC، إذا كان AD منصف للزاوية A وكانت D نقطة تقاطع AD مع BC فإن:

تعميم المبرهنة

[عدل]

مبرهنة مُنصّف الزّاوية هي حالة خاصّة من القانون النّاص على أنه: في المثلث ABC، إذا كان AD يقطع BC في D ويقسم الزاوية A إلى و فإن:

وعندما تصبح مبرهنة منصف الزاوية.

البراهين

[عدل]

البرهان الأول

[عدل]
المثلث ABC

باستخدام قوانين مساحة المثلث:

1- مساحة المثلث ADC

2- مساحة المثلث ADB

بقسمة 2 على 1 نصل إلى:

و إذا كان AD منصف الزاوية A ستحقق المبرهنة و ذلك لأن .

البرهان الثاني

[عدل]
AD منصف للزاوية A

باستخدام قانون الجيوب:

في المثلث ADC:

في المثلث ADB:

و (Sin x = Sin (180-x. و إذا كانت سنصل إلى مبرهنة منصف الزاوية.

البرهان الثالث

[عدل]
المثلث ABC

برهان هندسي، باستخدام تشابه المثلثات:

ِAD منصف الزاوية A، نسقط عمود من B على AD يقطعه في F، ونسقط عمود من C على امتداد AD يقطعه في E.

المثلث AEC يشابه المثلث AFB

( لأن E و F قائمتان و لأن AD منصف A)

المثلث DEC يشابه المثلث DFB

( لأن E و F قائمتان و للتقابل بالرأس)

وهو المطلوب إثباته .

انظر أيضاً

[عدل]

مراجع

[عدل]
  1. ^ "معلومات عن مبرهنة منصف الزاوية على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 2019-08-10.