Ураўненні Максвела

Электрадынаміка

Электрычнасць · Магнетызм Электрастатыка Закон Кулона Тэарэма Гауса Электрычны дыпольны момант Электрычны зарад Электрычная індукцыя Электрычнае поле Электрастатычны патэнцыял Магнітастатыка Закон Біё — Савара — Лапласа Закон Ампера Магнітны момант Магнітнае поле Магнітны паток Электрадынаміка Вектарны патэнцыял Электрычны дыполь Патэнцыялы Ліенара — Віхерта Сіла Лорэнца Ток зрушэння Уніпалярная індукцыя Ураўненні Максвела Электрычны ток Электрарухальная сіла Электрамагнітная індукцыя Электрамагнітнае выпраменьванне Электрамагнітнае поле Электрычны ланцуг Закон Ома Правілы Кірхгофа Індуктыўнасць Радыёхвалявод Рэзанатар Электрычная ёмістасць Электрычная праводнасць Электрычнае супраціўленне Электрычны імпеданс Каварыянтная фармулёўка Тэнзар электрамагнітнага поля Тэнзар энергіі-імпульсу 4-патэнцыял 4-ток Вядомыя вучоныя Генры Кавендыш Майкл Фарадэй Андрэ Мары Ампер Густаў Роберт Кірхгоф Джэймс Клерк Максвел Генрых Рудольф Герц Альберт Абрахам Майкельсан Роберт Эндрус Мілікен

Ураўненні Максвела — сістэма ўраўненняў у дыферэнцыяльнай або інтэгральнай форме, якія апісваюць электрамагнітнае поле і яго сувязь з электрычнымі зарадамі і токамі ў вакууме і суцэльных асяроддзях. Разам з выразам для сілы Лорэнца, што задае меру ўздзеяння электрамагнітнага поля на зараджаныя часціцы, якія ўтвараюць поўную сістэму ўраўненняў класічнай электрадынамікі, званую часам ураўненнямі Максвела — Лорэнца. Ураўненні, сфармуляваныя Джэймсам Клеркам Максвелам на аснове назапашаных да сярэдзіны XIX стагоддзя эксперыментальных вынікаў, згулялі ключавую ролю ў развіцці уяўленняў тэарэтычнай фізікі і аказалі моцны, часта вырашальны, уплыў не толькі на ўсе вобласці фізікі, непасрэдна звязаныя з электрамагнетызмам, але і на многія фундаментальныя тэорыі, якія ўзніклі пасля, прадмет якіх не зводзіўся да электрамагнетызму (адным з самых яскравых прыкладаў тут можа служыць спецыяльная тэорыя адноснасці).

Гісторыя

Джэймс Клерк Максвел

Ураўненні, сфармуляваныя Джэймсам Клеркам Максвелам, паўсталі на аснове шэрагу важных эксперыментальных адкрыццяў, якія былі зроблены ў пачатку XIX стагоддзя. У 1820 годзе Ганс Хрысціян Эрстэд выявіў, гальванічны ток, што прапускаецца праз провад, прымушае адхіляцца магнітную стрэлку компаса. Гэта адкрыццё прыцягнула шырокую ўвагу навукоўцаў таго часу. У тым жа 1820 Біё і Савар эксперыментальна знайшлі выраз для спараджанай токам магнітнай індукцыі (закон Біё — Савара), і Андрэ Мары Ампер выявіў, што ўзаемадзеянне на адлегласці ўзнікае таксама паміж двума праваднікамі, па якіх прапускаецца ток. Ампер ўвёў тэрмін «электрадынамічны» і высунуў гіпотэзу, што прыродны магнетызм звязаны з існаваннем у магнітаў кругавых токаў.

Ўплыў току на магніт, выяўлены Эрстэдам, прывёў Майкла Фарадэя да ідэі аб тым, што павінна існаваць адваротны ўплыў магніта на токі. Пасля працяглых эксперыментаў, ў 1831 годзе, Фарадэй адкрыў, што магніт, які перамяшчаецца каля правадніка, спараджае ў правадніку электрычны ток. Гэта з'ява было названа электрамагнітнай індукцыяй. Фарадэй увёў паняцце «поля сіл» — пэўнага асяроддзя, якое знаходзіцца паміж зарадамі і токамі. Яго развагі насілі якасны характар, аднак яны аказалі вялікі ўплыў на даследаванні Максвела.

Пасля адкрыццяў Фарадэя стала ясна, што старыя мадэлі электрамагнетызму (Ампера, Пуасона і інш.) няпоўныя. Неўзабаве з'явілася тэорыя Вебера, заснаваная на дальнадзеянні. Аднак да гэтага моманту ўся фізіка, акрамя тэорыі прыцягнення, мела справу толькі з блізкадзеючымі сіламі (оптыка, тэрмадынаміка, механіка суцэльных асяроддзяў і інш.). Гаус, Рыман і шэраг іншых навукоўцаў выказвалі здагадкі, што святло мае электрамагнітную прыроду, так што тэорыя электрамагнітных з'яў таксама павінна быць блізкадзеючай. Гэты прынцып стаў істотнай асаблівасцю тэорыі Максвела.

У сваім знакамітым «Трактаце аб электрычнасці і магнетызме» (1873) Максвел пісаў:

Прыступаючы да вывучэння працы Фарадэя, я ўсталяваў, што яго метад разумення з'яў быў гэтак жа матэматычным, хоць і не прадстаўленым у форме звычайных матэматычных знакаў. Я таксама знайшоў, што гэты метад можна выказаць у звычайнай матэматычнай форме і такім чынам параўнаць з метадамі прафесійных матэматыкаў.

Замяняючы фарадэяўскі тэрмін «поле сіл» на паняцце «напружанасць поля», Максвел зрабіў яго ключавым аб'ектам сваёй тэорыі:

Калі мы прымем гэтае асяроддзе ў якасці гіпотэзы, я лічу, што яно павінна займаць выбітнае месца ў нашых даследаваннях, і што нам варта было б паспрабаваць сканструяваць рацыянальнае прадстаўленне пра ўсіх дэталях яго дзеяння, што і было маёй пастаяннай мэтай у гэтым трактаце.

Падобная электрадынамічныя асяроддзі з'явіліся абсалютна новым паняццем для ньютанаўскай фізікі. Апошняя вывучала ўзаемадзеянне паміж сабой матэрыяльных цел. Максвел ж запісаў ўраўненні, якім павінна падпарадкоўвацца асяроддзе, якое вызначае ўзаемадзеянне зарадаў і токаў і існуючае нават у іх адсутнасць.

Электрычны ток стварае магнітную індукцыю (закон Ампера)

Аналізуючы вядомыя эксперыменты, Максвел атрымаў сістэму ўраўненняў для электрычнага і магнітнага палёў. У 1855 годзе ў сваім самым першым артыкуле «Аб фарадэявых сілавых лініях» («On Faraday's Lines of Force») ён упершыню запісаў у дыферэнцыяльнай форме сістэму ўраўненняў электрадынамікі, але не уводзячы яшчэ ток зрушэння. Такая сістэма ўраўненняў апісвала ўсе вядомыя да таго часу эксперыментальныя дадзеныя, але не дазваляла звязаць паміж сабой зарады і токі і прадказаць электрамагнітныя хвалі. Упершыню ток зрушэння быў ​​уведзены Максвелам у працы «Аб фізічных сілавых лініях» («On Physical Lines of Force»), якая складаецца з чатырох частак і апублікаванай у 1861-1862 гадах. Абагульняючы закон Ампера, Максвел ўводзіць ток зрушэння, імаверна, каб звязаць токі і зарады ўраўненнем бесперапыннасці, якое ўжо было вядома для іншых фізічных велічынь. Такім чынам, у гэтым артыкуле фактычна была завершана фармулёўка поўнай сістэмы ўраўненняў электрадынамікі. У артыкуле 1864 «Дынамічная тэорыя электрамагнітнага поля» («A dynamical theory of the electromagnetic field») разгледжана сфармуляваная раней сістэма ўраўненняў з 20 скалярных ураўненняў для 20 скалярных невядомых. У гэтым артыкуле Максвел ўпершыню сфармуляваў паняцце электрамагнітнага поля як фізічнай рэальнасці, якая мае ўласную энергію і канчатковы час распаўсюджвання, якое вызначае характар ​​электрамагнітнага ўзаемадзеяння, што пазніцца.

Пераменны паток магнітнага поля стварае электрычнае поле (закон Фарадэя)

Аказалася, што не толькі ток, але электрычнае поле, якое змяняецца з часам, (ток зрушэння) спараджае магнітнае поле. У сваю чаргу, у сілу закона Фарадэя, зменлівае магнітнае поле зноў спараджае электрычнае. У выніку, у пустой прасторы можа распаўсюджвацца электрамагнітная хваля. З ураўненняў Максвела вынікала, што яе хуткасць роўная хуткасці святла, таму Максвел зрабіў выснову аб электрамагнітнай прыродзе святла.

Частка фізікаў выступіла супраць тэорыі Максвела (асабліва шмат пярэчанняў выклікала канцэпцыя току зрушэння). Гельмгольц прапанаваў сваю тэорыю, кампрамісную ў адносінах да мадэляў Вебера і Максвела, і даручыў свайму вучню Генрыху Герцу правесці яе эксперыментальную праверку. Аднак вопыты Герца адназначна пацвердзілі правасць Максвела.

Максвел не выкарыстаў вектарных пазначэнняў і запісваў свае ўраўненні ў досыць грувасткім кампанентным выглядзе. У сваім трактаце ён, акрамя таго, часткова выкарыстаў кватэрніённую фармулёўку. Сучасная форма ўраўненняў Максвела з'явілася каля 1884 пасля работ Хэвісайда, Герца і Гібса. Яны не толькі перапісалі сістэму Максвела ў вектарным выглядзе, але і сіметрызовалі яе, перафармуляваўшы ў тэрмінах поля, пазбавіўшыся ад электрычнага і магнітнага патэнцыялаў, якія гулялі ў тэорыі Максвела істотную ролю, паколькі лічылі, што гэтыя функцыі з'яўляюцца толькі непатрэбнымі дапаможнымі матэматычнымі абстракцыямі. Цікава, што сучасная фізіка падтрымлівае Максвела, але не падзяляе негатыўнае стаўленне яго ранніх паслядоўнікаў да патэнцыялаў. Электрамагнітны патэнцыял гуляе важную ролю ў квантавай фізіцы і праяўляецца як фізічна вымяраная велічыня ў некаторых эксперыментах, напрыклад, у эфекце Ааронава — Бома.

Сістэма ўраўнанняў у фармулёўцы Герца і Хэвісайда некаторы час звалася ўраўненнямі Герца — Хэвісайда. Эйнштэйн у класічным артыкуле «Да электрадынаміцы цел, што рухаюцца» назваў іх ураўненнямі Максвела — Герца . Часам у літаратуры сустракаецца таксама назва ўраўненні Максвела — Хэвісайда.

Ураўненні Максвела згулялі важную ролю пры ўзнікненні спецыяльнай тэорыі адноснасці (СТА). Джозэф Лармор (1900) і незалежна ад яго Хендрык Лорэнц (1904 год) знайшлі пераўтварэнні каардынат, часу і электрамагнітных палёў, якія пакідаюць ўраўненні Максвелла інварыянтнымі пры пераходзе ад адной інерцыйнай сістэмы адліку да іншай. Гэтыя пераўтварэнні адрозніваліся ад пераўтварэнняў Галілея класічнай механікі і, з падачы Анры Пуанкарэ, сталі называцца пераўтварэннямі Лорэнца. Яны сталі матэматычным падмуркам спецыяльнай тэорыі адноснасці.

Распаўсюджванне электрамагнітных хваль з хуткасцю святла першапачаткова інтэрпрэтаваць як абурэнне некаторай асяроддзя, так званага эфіру. Былі зроблены шматлікія спробы выявіць рух Зямлі адносна эфіру, аднак яны нязменна давалі адмоўны вынік. Таму Анры Пуанкарэ выказаў гіпотэзу аб прынцыповай немагчымасці выявіць падобны рух (прынцып адноснасці). Яму ж належыць пастулат аб незалежнасці хуткасці святла ад хуткасці яго крыніцы і вывад (разам з Лорэнцам), зыходзячы з сфармуляванага так прынцыпу адноснасці, дакладнага выгляду пераўтварэнняў Лорэнца (пры гэтым былі паказаны і групавыя ўласцівасці гэтых пераўтварэнняў). Гэтыя дзве гіпотэзы (пастулаты) ляглі і ў аснову артыкула Альберта Эйнштэйна (1905 год). З іх дапамогай ён таксама вывеў пераўтварэнні Лорэнца і зацвердзіў іх агульнафізічны сэнс, асабліва падкрэсліўшы магчымасць іх прымянення для пераходу з любых інерцыйных сістэм адліку ў любую іншую інерцыйную. Гэтая праца фактычна адзначыла сабой пабудова спецыяльнай тэорыі адноснасці. У СТА пераўтварэнні Лорэнца адлюстроўваюць агульныя ўласцівасці прасторы і часу, а мадэль эфіру аказваецца непатрэбнай. Электрамагнітныя палі з'яўляюцца самастойнымі аб'ектамі, існуючымі нароўні з матэрыяльнымі часціцамі.

Класічная электрадынаміка, заснаваная на ўраўненнях Максвелла, ляжыць у аснове шматлікіх дадаткаў электра- і радыётэхнікі, ЗВЧ і оптыкі. Да цяперашняга часу не было выяўлена ні аднаго эфекту, які патрабаваў бы перайначванні ўраўненняў. Яны аказваюцца дастасавальныя і ў квантавай механіцы, калі разглядаецца рух, напрыклад, зараджаных часціц ў знешніх электрамагнітных палях. Таму ўраўненні Максвелла з'яўляюцца асновай мікраскапічнага апісання электрамагнітных уласцівасцей рэчыва.

Ураўненні Максвелла запатрабаваныя таксама ў астрафізіцы і касмалогіі, паколькі многія планеты і зоркі валодаюць магнітным полем. Магнітнае поле вызначае, у прыватнасці, ўласцівасці такіх аб'ектаў, як пульсары і квазары.

На сучасным узроўні разумення ўсё фундаментальныя часціцы з'яўляюцца квантавымі ўзбуджэннямі («квантамі») розных палёў. Напрыклад, фатон — гэта квант электрамагнітнага поля, а электрон — квант спінарнага поля. Таму палявой падыход, прапанаваны Фарадэем і істотна развіты Максвелам, з'яўляецца асновай сучаснай фізікі фундаментальных часціц, у тым ліку яе стандартнай мадэлі.

Гістарычна некалькі раней ён адыграў важную ролю ў з'яўленні квантавай механікі ў фармулёўцы Шродзінгера і наогул адкрыцці квантавых ураўненняў, якія апісваюць рух часціц, у тым ліку і рэлятывісцкіх (ураўненне Клейна — Гордана, ураўненне Дзірака), хоць першапачаткова аналогія з ураўненнямі Максвела тут бачылася хутчэй толькі ў агульнай ідэі, тады як пасля аказалася, што яна можа быць зразуметая як больш канкрэтная і дэталёвая (як гэта апісана вышэй).

Таксама палявой падыход, у цэлым узыходзячы да Фарадэя і Максвела, стаў цэнтральным ў тэорыі гравітацыі (уключаючы АТА).

Запіс ураўненняў Максвела і сістэмы адзінак

Запіс большасці ўраўненняў у фізіцы не залежыць ад выбару сістэмы адзінак. Аднак у электрадынаміцы гэта не так. У залежнасці ад выбару сістэмы адзінак у ўраўненнях Максвела ўзнікаюць розныя каэфіцыенты (канстанты). Міжнародная сістэма адзінак (СІ) з'яўляецца стандартам у тэхніцы і выкладанні, аднак спрэчкі сярод фізікаў аб яе вартасцях і недахопах у параўнанні з канкуруючай сіметрычнай гаусавай сістэмай адзінак (СГС) не сціхаюць. Перавага сістэмы СГС ў электрадынаміцы складаецца ў тым, што ўсе палі ў ёй маюць адну размернасць, а ўраўненні, на думку многіх навукоўцаў, запісваюцца прасцей і натуральней. Таму СГС працягвае прымяняцца ў навуковых публікацыях па электрадынаміцы і ў выкладанні тэарэтычнай фізікі, напрыклад, у курсе тэарэтычнай фізікі Ландау і Ліфшыца. Аднак для практычных ужыванняў ў СГС уводзяцца адзінкі вымярэнняў, многія з якіх не маюць назвы і неадназначныя, часта нязручныя. Сістэма СІ стандартызаваная і лепш самаўзгоджаная, на гэтай сістэме пабудаваная ўся сучасная метралогія. Акрамя таго, сістэма СІ звычайна выкарыстоўваецца ў курсах агульнай фізікі. У сувязі з гэтым усё суадносіны, калі яны па-рознаму запісваюцца ў сістэмах СІ і СГС, далей прыводзяцца ў двух варыянтах.

Часам (напрыклад, у «Фейнманаўскіх лекцыях па фізіцы», а таксама ў сучаснай квантавай тэорыі поля) ужываецца сістэма адзінак, у якой хуткасць святла, электрычная і магнітная пастаянная прымаюцца за адзінку ($c=\varepsilon _{0}=\mu _{0}=1$). У такой сістэме ўраўненні Максвела запісваюцца наогул без каэфіцыентаў, усе палі маюць адзіную размернасць, а ўсе патэнцыялы — сваю адзіную. Такая сістэма асабліва зручная ў каварыянтнай чатырохмернай фармулёўцы законаў электрадынамікі праз 4-патэнцыял і 4-тэнзар электрамагнітнага поля.

Дыферэнцыяльная форма

Ураўненні Максвела прадстаўляюць сабой у вектарным запісу сістэму з чатырох ураўненняў, якая зводзіцца ў кампанентным прадстаўленні да васьмі (два вектарных ураўненні ўтрымліваюць па тры кампаненты кожнае плюс два скалярных) лінейных дыферэнцыяльных ураўненняў ў прыватных вытворных першага парадку для 12 кампанент чатырох вектарных функцый ($\mathbf {D} ,\;\mathbf {E} ,\;\mathbf {H} ,\;\mathbf {B}$):

Назва	СГС	СІ	Прыкладны славесны выраз
Закон Гауса	$\nabla \cdot \mathbf {D} =4\pi \rho$	$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho$	Электрычны зарад з'яўляецца крыніцай электрычнай індукцыі.
Закон Гауса для магнітнага поля	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	Не існуе магнітных зарадаў.
Закон індукцыі Фарадэя	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	Змена магнітнай індукцыі спараджае віхравое электрычнае поле.
Тэарэма аб цыркуляцыі магнітнага поля	$\nabla \times \mathbf {H} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$	$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$	Электрычны ток і змяненне электрычнай індукцыі спараджаюць віхравое магнітнае поле

Тлустым шрыфтам у далейшым абазначаюцца вектарныя велічыні, курсівам — скалярныя.

Уведзеныя абазначэнні:

• $\rho \$ — шчыльнасць старонняга электрычнага зарада (у адзінках СІ — Кл/м³);
• $\mathbf {j}$ — шчыльнасць электрычнага току (шчыльнасць току праводнасці) (у адзінках СІ — А/м²); у найпростым выпадку — выпадку току, спараджальнага адным тыпам носьбітаў зарада, яна выяўляецца проста як $\mathbf {j} =\mathbf {u} \rho _{1}$, дзе $\mathbf {u}$ — (сярэдняя) хуткасць руху гэтых носьбітаў у наваколлі дадзенай кропкі, $\rho _{1}$ — шчыльнасць зарада гэтага тыпу носьбітаў (яна ў агульным выпадку не супадае з $\rho$); у агульным выпадку гэта выраз трэба асерадніць па розных тыпах носьбітаў;
• $c\,$ — хуткасць святла ў вакууме (299792458 м/с);
• $\mathbf {E}$ — напружанасць электрычнага поля (у адзінках СІ — В/м);
• $\mathbf {H}$ — напружанасць магнітнага поля (у адзінках СІ — А/м);
• $\mathbf {D}$ — электрычная індукцыя (у адзінках СІ — Кл/м²);
• $\mathbf {B}$ — магнітная індукцыя (у адзінках СІ — Тл = Вб/м² = кг•с⁻²•А⁻¹);
• $\nabla$ — дыферэнцыяльны аператар набла, пры гэтым:

  $\nabla \times \mathbf {E} \equiv \mathrm {rot} \,\mathbf {E}$ азначае ротар вектара,

  $\nabla \cdot \mathbf {E} \equiv \mathrm {div} \,\mathbf {E}$ азначае дывергенцыю вектара.

Прыведзеныя вышэй ураўненні Максвела не складаюць яшчэ поўнай сістэмы ўраўненняў электрамагнітнага поля, паколькі яны не ўтрымліваюць уласцівасцяў асяроддзя, у якім узбуджана электрамагнітнае поле. Суадносіны, якія злучаюць велічыні $\mathbf {E}$, $\mathbf {B}$, $\mathbf {D}$, $\mathbf {H}$ і $\mathbf {j}$ і ўлічваюць індывідуальныя ўласцівасці асяроддзя, называюцца матэрыяльнымі ўраўненнямі.

Інтэгральная форма

Пры дапамозе формул Астраградскага — Гауса і Стокса дыферэнцыяльным ураўнанням Максвела можна надаць форму інтэгральных ураўненняў:

Назван	СГС	СІ	Прыкладны славесны выраз
Закон Гауса	$\oint _{s}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s} =4\pi Q$	$\oint _{s}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s} =Q$	Паток электрычнай індукцыі праз замкнёную паверхню $s$ прапарцыянальны велічыні свабоднага зарада, які знаходзіцца ў аб'ёме $v$, які акружае паверхню $s$.
Закон Гауса для магнітнага поля	$\oint _{s}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} =0$	$\oint _{s}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} =0$	Паток магнітнай індукцыі праз замкнёную паверхню роўны нулю (магнітныя зарады не існуюць).
Закон індукцыі Фарадэя	$\oint _{l}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =$ $-{\frac {1}{c}}{\frac {d}{dt}}\int _{s}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s}$	$\oint _{l}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =$ $-{\frac {d}{dt}}\int _{s}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s}$	Змена патоку магнітнай індукцыі, што праходзіць праз незамкнёную паверхню $s$, узятая з адваротным знакам, прапарцыянальна цыркуляцыі электрычнага поля на замкнёным контуры $l$, які з'яўляецца мяжой паверхні $s$.
Тэарэма аб цыркуляцыі магнітнага поля	$\oint _{l}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =$ ${\frac {4\pi }{c}}I+{\frac {1}{c}}{\frac {d}{dt}}\int _{s}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s}$	$\oint _{l}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =$ $I+{\frac {d}{dt}}\int _{s}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s}$	Поўны электрычны ток свабодных зарадаў і змяненне патоку электрычнай індукцыі праз незамкнёную паверхню $s$, прапарцыянальныя цыркуляцыі магнітнага поля на замкнёным контуры $l$, які з'яўляецца мяжой паверхні $s$.

Паток электрычнага поля праз замкнёную паверхню

Уведзеныя абазначэнні:

• $s\$ — двухмерная замкнёная ў выпадку тэарэмы Гауса паверхня, якая абмяжоўвае аб'ём $v\$, і адкрытая паверхня ў выпадку законаў Фарадэя і Ампера — Максвелла (яе мяжой з'яўляецца замкнёны контур $l\$).
• $Q=\int _{v}\rho \,dv\$ — электрычны зарад, які заключаны у аб'ёме $v\$, якая абмяжоўваецца $s\$ (у адзінках СІ — Кл);
• $I=\int _{s}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {s} \$ — электрычны ток, які праходзіць праз паверхню $s\$ (у адзінках СІ — А).

Пры інтэграванні па замкнёнай паверхні вектар элемента плошчы $d\mathbf {s}$ накіраваны з аб'ёму вонкі. Арыентацыя $d\mathbf {s}$ пры інтэграванні па незамкнутой паверхні вызначаецца напрамкам правай шрубы, якая «укручваецца» пры павароце ў кірунку абыходу контурнага інтэграла па $d\mathbf {l}$.

Славеснае апісанне законаў Максвела, напрыклад, закона Фарадэя, нясе адбітак традыцыі, паколькі спачатку пры кантраляваным змене магнітнага патоку рэгістравалася ўзнікненне электрычнага поля (дакладней электрарухальнай сілы). У агульным выпадку у ўраўненнях Максвела (як у дыферэнцыяльнай, так і ў інтэгральнай форме) вектарныя функцыі $\mathbf {E} ,\mathbf {B} ,\mathbf {D} ,\mathbf {H}$ з'яўляюцца раўнапраўнымі невядомымі велічынямі, якiя вызначаюцца ў выніку рашэння ўраўненняў.

Гл. таксама

• Электрыдынаміка
• Квантавая электрадынаміка
• Джэймс Клерк Максвел
• Тэорыя Янга — Мілса
• Закон электрамагнітнай індукцыі Фарадэя

Літаратура

Гістарычныя публікацыі

• Максвелл Дж. К. Статьи и речи. — М.: Наука, 1968. — 423 с.
• Maxwell J. C. A dynamical theory of the electromagnetic field // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. — 1865. — Т. 155. — С. 459—512.
• Maxwell J. C., A Treatise on Electricity And Magnetism — Volume 1 — 1873 — Posner Memorial Collection — Carnegie Mellon University
• Maxwell J. C., A Treatise on Electricity And Magnetism — Volume 2 — 1873 — Posner Memorial Collection — Carnegie Mellon University
• Maxwell J. C. On Physical Lines of Force // Philosophical Magazine : Ser. 4. — 1861,1862. — Т. 11,13. — С. 161—175, 281—291, 338—347; 12—23, 85—95.
• Maxwell J. C. On Faraday's Lines of Force // Transactions of the Cambridge Philosophical Society. — 1856. — Т. 10. — № 1. — С. 155—229.

Гісторыя развіцця

• Болотовский Б. М. Оливер Хевисайд. — М.: Наука, 1985. — 260 с.
• Карцев В. П. Максвелл (Жизнь замечательных людей). — М.: Молодая гвардия, 1976. — 336 с.
• Карцев В. П. Приключения великих уравнений. — М., 1986. — 288 с.
• Шапиро И. С. К истории открытия уравнений Максвелла // УФН. — 1972. — Т. 108. — № 2. — С. 319-333.
• Купер Л. Физика для всех. т.1 = Leon N. Cooper An Introduction to the Meaning and Structure of Phisics, 1968,1970. — М.: Мир, 1973.

Агульныя курсы фізікі

• Астахов А. В., Широков Ю. М. Курс физики, Т. II, Электромагнитное поле. — М.: Наука, 1980. — 360 с.
• Баскаков С. И. Основы электродинамики. — М.: Сов. радио, 1973. — 248 с.
• Калашников С. Г. Электричество (Общий курс физики, т. 2).. — М.: Физматлит, 6-е изд., 2003. — 624 с. — ISBN 5-9221-0312-1.
• Матвеев А. Н. Электричество и магнетизм. — М.: Высшая школа, 1983.
• Никольский В. В., Никольская Т. И. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1989.
• Пеннер Д. И., Угаров В. А. Электродинамика и специальная теория относительности. М.: Просвещение, 1980.
• Парселл Э. Электричество и магнетизм. Берклеевский курс физики. Том 2. М.: Наука, 1971.
• Тоннела М. А. Основы электромагнетизма и теории относительности. М.: ИЛ, 1962.
• Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Том 5. Электричество и магнетизм. М.: Мир, 1965
• Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Том 6. Электродинамика. М.: Мир, 1966

Курсы тэарэтычнай фізікі

• Баранов А. М., Овчинников С. Г., Золотов О. А., Паклин Н. Н., Титов Л. С. Теоретическая физика: Электродинамика. Электродинамика сплошных сред. Учебное пособие по курсу «Электродинамика и основы электродинамики сплошных сред» // СФУ, Красноярск, 2008. — 198 с.
• Джексон Дж. Классическая электродинамика. — М.: Мир, 1965.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля (Теоретическая физика, т. II). — М.: Физматлит, 2003. — 536 с. — ISBN 5-9221-0056-4.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред (Теоретическая физика, т. VIII). — М.: Физматлит, 2005. — 656 с. — ISBN 5-9221-0123-4.
• Батыгин В. В., Топтыгин И. Н. Современная электродинамика. Часть 1. Микроскопическая теория. — М.: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005. — 736 с. — ISBN 5-93972-492-2.
• Топтыгин И. Н. Современная электродинамика. Часть 2. Теория электромагнитных явлений в веществе. — М.: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005. — 848 с. — ISBN 5-93972-493-0.
• Тамм И. Е. Основы теории электричества. — М.: Наука, 1989.
• Фущич В. И., Никитин А. Г. Симметрия уравнений Максвелла. — Киев: Наук. думка, 1983. — C. 200.
• Болибрух А. А. Уравнения Максвелла и дифференциальные формы. — МЦНМО, 2002.

Рашэнні ўраўненняў Максвела

• Баландин М. Ю., Шурина Э. П. Векторный метод конечных элементов: Учебное пособие. — Новосибирск: НГТУ, 2001. — 69 с.
• Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. — М.: Радио и связь, 1988.
• Вонсовский С. В. Магнетизм. Магнитные свойства диа-, пара-, ферро-, антиферро-, и ферримагнетиков. — М.: Наука, 1971.
• Гинзбург В. Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. — 2-е изд. — М.: Наука, 1967.
• Сильвестер П. и Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков. — М.: Мир, 1986. — 336 с.

Спасылкі

• Уравнения Максвелла (Научный портал «Элементы большой науки»)